10. 如图,线段 $BC=10$,A 是线段 BC 外一点,连接 AB,AC,D,E 分别是 AB,AC 的中点,连接 BE,CD 交于点 F. 当四边形ADFE 的面积为 10 时,线段 AB 长的最小值为.

10. 6 提示:如图,过点A作$AH⊥BC$于点H,连接AF.因为D,E分别是AB,AC的中点,所以$S_{三角形BCD}=\frac{1}{2}S_{三角形ABC}$,$S_{三角形ABE}=\frac{1}{2}S_{三角形ABC}$,所以$S_{三角形ABE}=S_{三角形BCD}$,所以$S_{三角形BCF}=S_{四边形ADFE}=10$.因为D,E分别是AB,AC的中点,所以$S_{三角形BDF}=S_{三角形ADF}$,$S_{三角形CEF}=S_{三角形AEF}$,所以$S_{三角形BDF}+S_{三角形CEF}=S_{四边形ADFE}=10$,所以$S_{三角形ABC}=3S_{四边形ADFE}=10×3=30$,所以$S_{三角形ABC}=\frac{1}{2}BC·AH=30$.因为$BC=10$,所以$AH=6$.因为$AB≥AH$,所以线段AB长的最小值是6.

【分析】
解题思路如下：1. 首先看到D、E分别是AB、AC的中点，联想到三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，先通过该性质推导各部分面积之间的等量关系；2. 逐步转化得到△ABC的总面积为定值，结合已知BC的长度，算出BC边上的高AH的数值；3. 最后根据“垂线段最短”的几何性质，点A到点B的连线长度一定大于等于A到BC的垂线段长度，当AB与该垂线段重合时AB取得最小值，即可得到最终结果。
【解析】
解：连接AF，过点A作$AH⊥BC$于点H。
1. 推导面积等量关系：
因为D是AB的中点，CD是△ABC的AB边上的中线，因此$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$；
同理，E是AC的中点，BE是△ABC的AC边上的中线，因此$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$；
可得$S_{△ ABE}=S_{△ BCD}$，两边同时减去公共部分$△ BDF$的面积，得到$S_{\mathrm{四边形}ADFE}=S_{△ BCF}=10$。
2. 计算△ABC的总面积：
由D是AB中点，可知$△ ADF$和$△ BDF$等底同高，面积相等；同理E是AC中点，$△ AEF$和$△ CEF$面积相等，因此$S_{△ BDF}+S_{△ CEF}=S_{△ ADF}+S_{△ AEF}=S_{\mathrm{四边形}ADFE}=10$。
因此$S_{△ ABC}=S_{\mathrm{四边形}ADFE}+S_{△ BDF}+S_{△ CEF}+S_{△ BCF}=10+10+10=30$。
3. 计算高AH的长度：
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AH$，已知$BC=10$，代入得：
$\frac{1}{2}×10× AH=30$，解得$AH=6$。
4. 求AB的最小值：
根据垂线段最短的性质，点A到直线BC上点B的连线中，垂线段AH是A到BC的最短距离，因此$AB≥ AH$，即AB的最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
三角形中线性质，垂线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题的核心突破口是利用三角形中线等分面积的特点，推导出△ABC的面积为定值，不少同学容易忽略中点和面积的关联，无法得到△ABC面积固定的结论，后续结合垂线段最短求线段最小值的思路就很难展开，需要熟练掌握中点相关的面积转化技巧。
【难度系数】
0.3

11. 如图,O 是直线 AB 上一点,射线 OC 绕点O 顺时针旋转,从 OA 出发,旋转速度为$10°/\mathrm{s}$,射线 OD 绕点 O 逆时针旋转,从OB 出发,旋转速度为$20°/\mathrm{s}$,射线 OC 与OD 同时旋转,设旋转的时间为 t s,当 OC旋转到与 OB 重合时,OC,OD 都停止运动.
(1) 当$t=2$时,$∠ COD=$$°$.
(2) 当$t=$时,$OC⊥ OD$.

11. (1) 120
(2) 3或9或15 提示:在OC与OD重合之前,$0≤t≤6$,$∠AOC=10t°$,$∠BOD=20t°$,因为$OC⊥OD$,所以$∠COD=90°$,因为$∠AOC+∠COD+∠BOD=180°$,所以$10t°+20t°+90°=180°$,解得$t=3$;在OC与OD重合之后,OD到达OA之前(包含OA),$6＜t≤9$,$∠AOC=10t°$,$∠BOD=20t°$,因为$OC⊥OD$,所以$∠COD=90°$,此时$∠AOC-∠COD+∠BOD=180°$,所以$10t°+20t°-90°=180°$,解得$t=9$;在OA与OD重合之后,OC与OD的反向延长线重合前,$∠AOC=10t°$,$∠AOD=20t°-180°$,令$10t°+20t°-180°=180°$,解得$t=12$,所以$9＜t≤12$,因为$∠COD=∠AOC+∠AOD=30t°-180°＞90°$,所以OC不可能垂直于OD;当OC与OD的反向延长线重合后,OC到达OB之前,$12＜t≤18$,$∠BOD=360°-20t°$,$∠BOC=180°-10t°$,此时$∠COD=∠BOC+∠BOD=180°-10t°+360°-20t°=540°-30t°$,所以$540°-30t°=90°$,解得$t=15$.

【分析】
这是射线旋转的角度动态问题，解题思路如下：
1. 第一问：已知AB是直线，因此∠AOB为180°平角。先根据旋转速度和时间t=2，分别计算出OC从OA出发转过的角度、OD从OB出发转过的角度，用平角180°减去两个射线各自转过的角度，即可得到剩余的∠COD的度数。
2. 第二问：首先确定总运动时长，OC从OA转到OB总路程为180°，速度10°/s，因此总时间最多为18s。由于两个射线相向旋转后会继续运动，位置关系会发生变化，需要分不同时间段讨论OC和OD的相对位置，根据垂直时夹角为90°列一元一次方程求解，同时验证解是否符合对应区间的取值范围，避免漏解。
【解析】
(1) 已知O是直线AB上的点，因此∠AOB=180°。
当t=2时：
OC顺时针转过的角度：∠AOC = 10°/s × 2s = 20°
OD逆时针转过的角度：∠BOD = 20°/s × 2s = 40°
因此∠COD = ∠AOB - ∠AOC - ∠BOD = 180° - 20° - 40° = 120°。
(2) OC运动到OB停止，总运动时长为180°÷10°/s = 18s，即0≤t≤18，分阶段讨论：
① 0≤t≤6时，OC和OD尚未相遇，此时∠COD = 180° - 10t° - 20t°，令∠COD=90°：
180 - 30t = 90，解得t=3，符合区间要求，有效。
② 6＜t≤9时，OC和OD已经相遇，OD还未旋转到OA，此时两个射线的夹角满足：∠AOC + ∠BOD - 180° = 90°：
10t + 20t - 180 = 90，解得t=9，符合区间要求，有效。
③ 9＜t≤12时，OD已经越过OA，此时∠COD = 10t + (20t - 180) = 30t - 180，该区间t＞9，因此30t-180＞90，夹角始终大于90°，不存在垂直的解。
④ 12＜t≤18时，OD继续逆时针旋转，此时∠COD = 540° - 30t，令∠COD=90°：
540 - 30t = 90，解得t=15，符合区间要求，有效。
综上t的值为3或9或15。
【答案】
(1) 120；(2) 3或9或15
【知识点】
平角定义，动态角度计算，一元一次方程应用
【点评】
本题属于动态旋转类角度问题，核心是分阶段梳理两个射线的位置关系，多数学生容易只得到前两个解，漏掉t=15的情况，解题时需要结合运动的全过程逐一验证，保证所有符合条件的解都被找出。
【难度系数】
0.3

12. 如图1,将三角板$ABC$与三角板$ADE$摆放在一起,其中$∠ ACB=$$30^{\circ }$,$∠ DAE=45^{\circ }$,$∠ BAC=∠ D=90^{\circ }$. 如图2,固定三角板$ABC$,将三角板$ADE$绕点$A$按顺时针方向旋转,记旋转角$∠ CAE=α$($0^{\circ }＜$$α ＜180^{\circ }$).

巅峰讲坛
(1) 当$α =$时,$AD⊥ BC$,并在图3中画出相应的图形.
(2) 在旋转过程中,试探究$∠ CAD$与$∠ BAE$之间的关系.
(3) 当三角板$ADE$旋转速度为$5^{\circ }/\mathrm{s}$,且它的一边与三角板$ABC$的某一边垂直时,直接写出时间$t$的所有取值.


备用图

12. 解:(1) $105°$ 图略.
(2) $|∠CAD-∠BAE|=45°$或$∠CAD+∠BAE=45°$.理由如下:
当$0°＜α＜45°$时,$∠CAD=45°-α$,$∠BAE=90°-α$,所以$∠BAE-∠CAD=45°$.当$45°≤α＜90°$时,$∠CAD=α-45°$,$∠BAE=90°-α$,所以$∠CAD+∠BAE=45°$.当$90°≤α＜180°$时,$∠CAD=α-45°$,$∠BAE=α-90°$,所以$∠CAD-∠BAE=45°$.
综上所述,在旋转过程中,$∠CAD$与$∠BAE$之间的关系为$|∠CAD-∠BAE|=45°$或$∠CAD+∠BAE=45°$.
(3) 满足题意的$t$的值有3,9,12,18,21,27. 提示:在题中条件下,顺时针旋转会出现$DE⊥BC$,$DE⊥AC$,$AE⊥BC$,$AE⊥AC$,$AD⊥BC$,$AD⊥AC$,$DE⊥AB$七种垂直情况.
当$DE⊥BC$时,$α=15°$,$t=15÷5=3$;当$DE⊥AC$时,$α=45°$,$t=45÷5=9$;当$AE⊥BC$时,$α=60°$,$t=60÷5=12$;当$AE⊥AC$时,$α=90°$,$t=90÷5=18$;当$AD⊥BC$时,$α=105°$,$t=105÷5=21$;当$AD⊥AC$时,$α=135°$,$t=135÷5=27$;当$DE⊥AB$时,$α=135°$,$t=135÷5=27$.

【分析】
我们可以按三个小问的顺序逐步推导：
1. 第一问要找AD⊥BC时的α：先根据直角三角形两锐角互余，AD⊥BC时，∠C=30°，可得∠CAD=90°-∠C=60°，又已知△ADE中∠DAE=45°，旋转角α=∠CAE=∠CAD+∠DAE，代入数值即可算出α。
2. 第二问探究∠CAD和∠BAE的关系：由于旋转角α的范围是0°＜α＜180°，不同区间内两个角的和差表达式不同，因此需要分三类讨论，分别用α表示出∠CAD和∠BAE，再推导两者的恒等关系即可。
3. 第三问枚举所有边垂直的情况：三角板ADE的边有AD、AE、DE，三角板ABC的边有AB、BC、AC，逐一验证所有可能的垂直组合，算出每种情况对应的旋转角α，再用α除以旋转速度5°/s得到时间t，剔除重复的取值即可得到全部结果。
【解析】
(1) 当AD⊥BC时，设AD与BC交于点F，在Rt△AFC中，∠C=30°，∠AFC=90°，因此∠CAD=90°-30°=60°。
已知∠DAE=45°，旋转角α=∠CAE=∠CAD+∠DAE=60°+45°=105°，按要求画出AD垂直BC的对应图形即可。
(2) 分三种情况讨论：
① 当0°＜α＜45°时：
∠CAD = ∠DAE - α = 45° - α，
∠BAE = ∠BAC - α = 90° - α，
因此∠BAE - ∠CAD = (90°-α) - (45°-α) = 45°；
② 当45°≤α＜90°时：
∠CAD = α - ∠DAE = α - 45°，
∠BAE = ∠BAC - α = 90° - α，
因此∠CAD + ∠BAE = (α-45°) + (90°-α) = 45°；
③ 当90°≤α＜180°时：
∠CAD = α - ∠DAE = α - 45°，
∠BAE = α - ∠BAC = α - 90°，
因此∠CAD - ∠BAE = (α-45°) - (α-90°) = 45°；
综上可得∠CAD与∠BAE的关系为|∠CAD - ∠BAE|=45°或∠CAD + ∠BAE=45°。
(3) 逐一枚举所有边垂直的情况：
DE⊥BC时，α=15°，t=15÷5=3；
DE⊥AC时，α=45°，t=45÷5=9；
AE⊥BC时，α=60°，t=60÷5=12；
AE⊥AC时，α=90°，t=90÷5=18；
AD⊥BC时，α=105°，t=105÷5=21；
AD⊥AC时，α=135°，t=135÷5=27；
DE⊥AB时，α=135°，t=135÷5=27，与上一种情况重复；
因此t的所有取值为3，9，12，18，21，27。
【答案】
(1) $105°$，图略；
(2) $|∠CAD-∠BAE|=45°$或$∠CAD+∠BAE=45°$；
(3) $t$的取值为3，9，12，18，21，27。
【知识点】
图形的旋转，动态角度计算，分类讨论思想
【点评】
本题是三角板旋转的经典动态几何题，核心考察旋转过程中角度的变化规律，需要学生具备分区间讨论的意识，避免漏解错解。第三问需要逐一枚举两个三角板所有边的垂直组合，很容易遗漏部分情况，能有效锻炼学生的全面分析能力和几何逻辑思维。
【难度系数】
0.3