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1. (2025·广西模拟)根据民间传统,腊月二十四被称为“扫尘日”,家家户户会进行大扫除.这一天小壮和爸爸妈妈一起进行了大扫除.如果一个人单独做完,小壮需 12 h,爸爸需 8 h,妈妈仅需 6 h.三人一起做 2 h 后,爸爸去采购年货,剩下的打扫工作小壮和妈妈还需多少小时才能完成?设剩下的打扫工作小壮和妈妈还需$ t $ h 才能完成,根据题意可列方程为 (
A.$( \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{6} )(t + 2) = 1$
B.$( \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{6} )t + \dfrac{1}{8} × 2 = 1$
C.$( \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{6} ) × 2 + \dfrac{1}{8}t = 1$
D.$( \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{6} )(t + 2) + \dfrac{1}{8} × 2 = 1$
＞＞ 对点专练 P88
D
)A.$( \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{6} )(t + 2) = 1$
B.$( \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{6} )t + \dfrac{1}{8} × 2 = 1$
C.$( \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{6} ) × 2 + \dfrac{1}{8}t = 1$
D.$( \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{6} )(t + 2) + \dfrac{1}{8} × 2 = 1$
＞＞ 对点专练 P88
答案
1. D
2. 根据如图所示的程序计算,若输出$ y $的值为1,则输入$ x $的值为
±2或0
.答案
2. ±2或0
3. ||过程性学习 解关于x的方程$\frac{x}{3}+\frac{x}{5}+\frac{x}{7}=0$，我们也可以这样来解：
整理方程得$(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7})x=0$，因为$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}≠0$，所以方程的解为$x=0$。
请按这种方法解下列方程：(1)$\frac{x-1}{3}+\frac{x-1}{5}+\frac{x-1}{7}+\frac{x-1}{9}=0$；(2)$\frac{x-23}{2}+\frac{x-19}{4}+\frac{x-15}{6}+\frac{x-11}{8}+\frac{x-7}{10}=10$。
整理方程得$(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7})x=0$，因为$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}≠0$，所以方程的解为$x=0$。
请按这种方法解下列方程：(1)$\frac{x-1}{3}+\frac{x-1}{5}+\frac{x-1}{7}+\frac{x-1}{9}=0$；(2)$\frac{x-23}{2}+\frac{x-19}{4}+\frac{x-15}{6}+\frac{x-11}{8}+\frac{x-7}{10}=10$。
答案
3. (1)整理方程得$(x-1)(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9})=0$,因为$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}≠0$,所以$x-1=0$,所以$x=1$.
(2)因为$\dfrac{x-23}{2}+\dfrac{x-19}{4}+\dfrac{x-15}{6}+\dfrac{x-11}{8}+\dfrac{x-7}{10}=10$,
所以$\dfrac{x-23}{2}+\dfrac{x-19}{4}+\dfrac{x-15}{6}+\dfrac{x-11}{8}+\dfrac{x-7}{10}-10=0$,
所以$(\dfrac{x-23}{2}-2)+(\dfrac{x-19}{4}-2)+(\dfrac{x-15}{6}-2)+(\dfrac{x-11}{8}-2)+(\dfrac{x-7}{10}-2)=0$,即$\dfrac{x-27}{2}+\dfrac{x-27}{4}+\dfrac{x-27}{6}+\dfrac{x-27}{8}+\dfrac{x-27}{10}=0$,
所以$(x-27)(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{10})=0$.因为$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{10}≠0$,所以$x-27=0$,所以$x=27$.
(2)因为$\dfrac{x-23}{2}+\dfrac{x-19}{4}+\dfrac{x-15}{6}+\dfrac{x-11}{8}+\dfrac{x-7}{10}=10$,
所以$\dfrac{x-23}{2}+\dfrac{x-19}{4}+\dfrac{x-15}{6}+\dfrac{x-11}{8}+\dfrac{x-7}{10}-10=0$,
所以$(\dfrac{x-23}{2}-2)+(\dfrac{x-19}{4}-2)+(\dfrac{x-15}{6}-2)+(\dfrac{x-11}{8}-2)+(\dfrac{x-7}{10}-2)=0$,即$\dfrac{x-27}{2}+\dfrac{x-27}{4}+\dfrac{x-27}{6}+\dfrac{x-27}{8}+\dfrac{x-27}{10}=0$,
所以$(x-27)(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{10})=0$.因为$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{10}≠0$,所以$x-27=0$,所以$x=27$.
4. |新定义 若规定:如果将两个一元一次方程的解相减,差的绝对值为Q,我们称这两个方程为“值Q方程”.例如:方程$4m-3=1$的解是$m=1$,方程$n-1=3$的解是$n=4$,因为$|m-n|=|1-4|=3$,所以方程$4m-3=1$与方程$n-1=3$是“值3方程”.
(1)下列方程:①$-3x=6$,②$5(x+2)-4=3x$,③$\frac{x-1}{3}-2=\frac{x+2}{2}-x$,为“值1方程”的两个方程是________,为“值6方程”的两个方程是________;(填序号)
(2)若关于$x$的一元一次方程$4x-a=2$和$4(x-2)=2x+6$是“值2方程”,求$a$的值;
(3)无论$k$取任何数,关于$x$的方程$2x+3=x+5$与关于$y$的方程$\frac{3y+km}{4}-\frac{n}{2}=k+mn$是“值3方程”,求$mn$的值.
＞＞ 对点专练 P104
＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习
(1)下列方程:①$-3x=6$,②$5(x+2)-4=3x$,③$\frac{x-1}{3}-2=\frac{x+2}{2}-x$,为“值1方程”的两个方程是________,为“值6方程”的两个方程是________;(填序号)
(2)若关于$x$的一元一次方程$4x-a=2$和$4(x-2)=2x+6$是“值2方程”,求$a$的值;
(3)无论$k$取任何数,关于$x$的方程$2x+3=x+5$与关于$y$的方程$\frac{3y+km}{4}-\frac{n}{2}=k+mn$是“值3方程”,求$mn$的值.
＞＞ 对点专练 P104
＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习
答案
4. (1)①② ①③ 【解析】①$-3x=6$,解得$x=-2$;②$5(x+2)-4=3x$,$5x+10-4=3x$,$5x-3x=4-10$,$2x=-6$,解得$x=-3$;③$\dfrac{x-1}{3}-2=\dfrac{x+2}{2}-x$,$2(x-1)-12=3(x+2)-6x$,$2x-2-12=3x+6-6x$,$2x-14=6-3x$,$2x+3x=6+14$,$5x=20$,解得$x=4$.因为$|-2-(-3)|=|-2+3|=1$,$|-2-4|=6$,$|-3-4|=7$,所以为“值1方程”的两个方程是①②,为“值6方程”的两个方程是①③.
(2)$4x-a=2$,$4x=2+a$,解得$x=\dfrac{2+a}{4}$.
$4(x-2)=2x+6$,$4x-8=2x+6$,$4x-2x=8+6$,$2x=14$,解得$x=7$.
因为关于$x$的一元一次方程$4x-a=2$和$4(x-2)=2x+6$是“值2方程”,所以$\left|\dfrac{2+a}{4}-7\right|=2$,所以$\dfrac{2+a}{4}-7=±2$,$2+a-28=±8$,$a-26=±8$,解得$a=34$或$18$.
(3)$2x+3=x+5$,$2x-x=5-3$,解得$x=2$.
$\dfrac{3y+km}{4}-\dfrac{n}{2}=k+mn$,$3y+km-2n=4k+4mn$,$3y=4k+4mn-km+2n$,解得$y=\dfrac{4k-km+4mn+2n}{3}$.
因为关于$x$的方程$2x+3=x+5$与关于$y$的方程$\dfrac{3y+km}{4}-\dfrac{n}{2}=k+mn$是“值3方程”,所以$\left|2-\dfrac{4k-km+4mn+2n}{3}\right|=3$,$2-\dfrac{4k-km+4mn+2n}{3}=±3$,所以$\dfrac{4k-km+4mn+2n}{3}=-1$或$5$,$4k-km+4mn+2n=-3$或$15$,即$(4-m)k+4mn+2n=-3$或$15$.
因为无论$k$取任何数,关于$x$的方程$2x+3=x+5$与关于$y$的方程$\dfrac{3y+km}{4}-\dfrac{n}{2}=k+mn$是“值3方程”,所以$4-m=0$,解得$m=4$,所以$4mn+2n=-3$或$15$.把$m=4$代入$4mn+2n=-3$得$16n+2n=-3$,$18n=-3$,$n=-\dfrac{1}{6}$;把$m=4$代入$4mn+2n=15$得$16n+2n=15$,$18n=15$,$n=\dfrac{5}{6}$.当$m=4$,$n=-\dfrac{1}{6}$时,$mn=4×(-\dfrac{1}{6})=-\dfrac{2}{3}$;当$m=4$,$n=\dfrac{5}{6}$时,$mn=4×\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{3}$.所以$mn$的值为$-\dfrac{2}{3}$或$\dfrac{10}{3}$.
(2)$4x-a=2$,$4x=2+a$,解得$x=\dfrac{2+a}{4}$.
$4(x-2)=2x+6$,$4x-8=2x+6$,$4x-2x=8+6$,$2x=14$,解得$x=7$.
因为关于$x$的一元一次方程$4x-a=2$和$4(x-2)=2x+6$是“值2方程”,所以$\left|\dfrac{2+a}{4}-7\right|=2$,所以$\dfrac{2+a}{4}-7=±2$,$2+a-28=±8$,$a-26=±8$,解得$a=34$或$18$.
(3)$2x+3=x+5$,$2x-x=5-3$,解得$x=2$.
$\dfrac{3y+km}{4}-\dfrac{n}{2}=k+mn$,$3y+km-2n=4k+4mn$,$3y=4k+4mn-km+2n$,解得$y=\dfrac{4k-km+4mn+2n}{3}$.
因为关于$x$的方程$2x+3=x+5$与关于$y$的方程$\dfrac{3y+km}{4}-\dfrac{n}{2}=k+mn$是“值3方程”,所以$\left|2-\dfrac{4k-km+4mn+2n}{3}\right|=3$,$2-\dfrac{4k-km+4mn+2n}{3}=±3$,所以$\dfrac{4k-km+4mn+2n}{3}=-1$或$5$,$4k-km+4mn+2n=-3$或$15$,即$(4-m)k+4mn+2n=-3$或$15$.
因为无论$k$取任何数,关于$x$的方程$2x+3=x+5$与关于$y$的方程$\dfrac{3y+km}{4}-\dfrac{n}{2}=k+mn$是“值3方程”,所以$4-m=0$,解得$m=4$,所以$4mn+2n=-3$或$15$.把$m=4$代入$4mn+2n=-3$得$16n+2n=-3$,$18n=-3$,$n=-\dfrac{1}{6}$;把$m=4$代入$4mn+2n=15$得$16n+2n=15$,$18n=15$,$n=\dfrac{5}{6}$.当$m=4$,$n=-\dfrac{1}{6}$时,$mn=4×(-\dfrac{1}{6})=-\dfrac{2}{3}$;当$m=4$,$n=\dfrac{5}{6}$时,$mn=4×\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{3}$.所以$mn$的值为$-\dfrac{2}{3}$或$\dfrac{10}{3}$.
