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18.(8分)在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$是$AB$的中点。尺规作图：在$BC$上确定点$E$，连结$DE$，使得$DE=\dfrac{1}{2}AB$。现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
(1)做法正确的同学有________；
(2)用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法。
(1)做法正确的同学有________；
(2)用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法。
答案
18.(1)甲、丙 解析:对于甲同学的作法:根据作图痕迹得AE平分∠BAC,因为AB=AC,所以BE=CE。因为点D是AB的中点,所以DE为△ABC的中位线,所以DE=1/2 AC=1/2 AB,所以甲同学的作法正确;对于乙同学的作法:根据作图痕迹得BD=BE,只有当∠B=60°时,DE=BD=1/2 AB,所以乙同学的作法不正确;对于丙同学的作法:根据作图痕迹得AE⊥BC,因为AB=AC,所以BE=CE。因为点D是AB的中点,所以DE为△ABC的中位线,所以DE=1/2 AC=1/2 AB,所以丙同学的作法正确；(2)如图,DE为所作。
解析
【分析】
要判断哪位同学的做法正确，需结合“DE=1/2AB”的条件分析：已知D是AB中点，若E为BC中点，则DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，DE=1/2AC，又因AB=AC，故DE=1/2AB。因此只需判断甲、乙、丙的作图是否得到E为BC中点即可。
【解析】
(1) 对三位同学的做法逐一分析：
甲同学：作图痕迹显示AE平分∠BAC，因AB=AC，根据等腰三角形“三线合一”，AE是BC边上的中线，故E为BC中点。又D是AB中点，所以DE是△ABC的中位线，因此DE=1/2AC=1/2AB，甲的做法正确。
乙同学：作图痕迹显示BD=BE，此时仅当∠B=60°时，△ABC为等边三角形，DE=BD=1/2AB，一般情况下不成立，故乙的做法错误。
丙同学：作图痕迹显示AE⊥BC，因AB=AC，根据等腰三角形“三线合一”，AE是BC边上的中线，故E为BC中点。同理，DE是△ABC的中位线，DE=1/2AB，丙的做法正确。
因此做法正确的同学是甲、丙。
(2) 不同于三位同学的画法：可取AC中点F，连接DF，作DF的垂直平分线交BC于E，使DE=1/2AB（或其他合理画法）。
【答案】
(1) 甲、丙；(2) 如图，DE为所作。
【知识点】
等腰三角形性质，三角形中位线定理，尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查等腰三角形性质与三角形中位线定理的应用，需通过作图痕迹分析线段关系，理解中位线的判定条件是解题关键。
【难度系数】
0.5
要判断哪位同学的做法正确，需结合“DE=1/2AB”的条件分析：已知D是AB中点，若E为BC中点，则DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，DE=1/2AC，又因AB=AC，故DE=1/2AB。因此只需判断甲、乙、丙的作图是否得到E为BC中点即可。
【解析】
(1) 对三位同学的做法逐一分析：
甲同学：作图痕迹显示AE平分∠BAC，因AB=AC，根据等腰三角形“三线合一”，AE是BC边上的中线，故E为BC中点。又D是AB中点，所以DE是△ABC的中位线，因此DE=1/2AC=1/2AB，甲的做法正确。
乙同学：作图痕迹显示BD=BE，此时仅当∠B=60°时，△ABC为等边三角形，DE=BD=1/2AB，一般情况下不成立，故乙的做法错误。
丙同学：作图痕迹显示AE⊥BC，因AB=AC，根据等腰三角形“三线合一”，AE是BC边上的中线，故E为BC中点。同理，DE是△ABC的中位线，DE=1/2AB，丙的做法正确。
因此做法正确的同学是甲、丙。
(2) 不同于三位同学的画法：可取AC中点F，连接DF，作DF的垂直平分线交BC于E，使DE=1/2AB（或其他合理画法）。
【答案】
(1) 甲、丙；(2) 如图，DE为所作。
【知识点】
等腰三角形性质，三角形中位线定理，尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查等腰三角形性质与三角形中位线定理的应用，需通过作图痕迹分析线段关系，理解中位线的判定条件是解题关键。
【难度系数】
0.5
19.(8分)如图,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别在边$BC,AD$上,且$BE=DF$,连结$AE,CF$。
(1)求证:四边形$AECF$是平行四边形;
(2)连结$AC$,若$AC$平分$∠ EAF$,$∠ ABC=90°$,$AB=12$,$BC=18$,求$AF$的长。
(1)求证:四边形$AECF$是平行四边形;
(2)连结$AC$,若$AC$平分$∠ EAF$,$∠ ABC=90°$,$AB=12$,$BC=18$,求$AF$的长。
答案
19.(1)因为四边形ABCD平行四边形,所以AD=BC,AD//BC,因为BE=DF,所以AF=EC,所以四边形AECF是平行四边形；(2)AF=13。
解析
【分析】
第(1)问要证明四边形AECF是平行四边形，利用平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质，结合已知BE=DF，可推出AF与EC平行且相等，依据平行四边形判定定理完成证明；第(2)问由∠ABC=90°得ABCD是矩形，结合AC平分∠EAF，通过平行线内错角相等推出AE=EC，设AF为未知数，用勾股定理列方程求解即可得到AF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD = BC，AD // BC，
又
∵ BE = DF，
∴ AD - DF = BC - BE，即 AF = EC，
且 AF // EC，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD // BC，
∴ ∠FAC = ∠ECA，
∵ AC平分∠EAF，
∴ ∠EAC = ∠FAC，
∴ ∠EAC = ∠ECA，
∴ AE = EC，
设 AF = x，则 EC = x，
∵ BC=18，
∴ BE = 18 - x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理：
AB² + BE² = AE²，
又
∵ AE = EC = x，
∴ 12² + (18 - x)² = x²，
计算得：144 + 324 - 36x + x² = x²，
化简得：468 - 36x = 0，
解得：x = 13，
即 AF = 13。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) AF=13
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、矩形的性质与判定，以及勾股定理的应用，第(2)问通过角平分线和平行线的性质构造等腰三角形，再用勾股定理列方程求解，是几何计算的典型题型，需掌握相关定理的灵活运用。
【难度系数】
0.5
第(1)问要证明四边形AECF是平行四边形，利用平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质，结合已知BE=DF，可推出AF与EC平行且相等，依据平行四边形判定定理完成证明；第(2)问由∠ABC=90°得ABCD是矩形，结合AC平分∠EAF，通过平行线内错角相等推出AE=EC，设AF为未知数，用勾股定理列方程求解即可得到AF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD = BC，AD // BC，
又
∵ BE = DF，
∴ AD - DF = BC - BE，即 AF = EC，
且 AF // EC，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD // BC，
∴ ∠FAC = ∠ECA，
∵ AC平分∠EAF，
∴ ∠EAC = ∠FAC，
∴ ∠EAC = ∠ECA，
∴ AE = EC，
设 AF = x，则 EC = x，
∵ BC=18，
∴ BE = 18 - x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理：
AB² + BE² = AE²，
又
∵ AE = EC = x，
∴ 12² + (18 - x)² = x²，
计算得：144 + 324 - 36x + x² = x²，
化简得：468 - 36x = 0，
解得：x = 13，
即 AF = 13。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) AF=13
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、矩形的性质与判定，以及勾股定理的应用，第(2)问通过角平分线和平行线的性质构造等腰三角形，再用勾股定理列方程求解，是几何计算的典型题型，需掌握相关定理的灵活运用。
【难度系数】
0.5
20.(8分)如图,在$□ ABCD$中,$DE ⊥ AB$于点$E$,$DF ⊥ BC$于点$F$。
(1)若$∠ A=2∠ CDF$,求$∠ EDF$的度数;
(2)若$□ ABCD$的周长为$36$,$DE=5$,$DF=10$,求$CF$的长。
(1)若$∠ A=2∠ CDF$,求$∠ EDF$的度数;
(2)若$□ ABCD$的周长为$36$,$DE=5$,$DF=10$,求$CF$的长。
答案
20.(1)60°；(2)2√11。
解析
【分析】
本题是平行四边形的综合题，解题思路如下：
（1）利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质，结合直角三角形两锐角互余求出∠A的度数，再通过四边形内角和计算∠EDF；
（2）利用平行四边形周长得到邻边和，结合面积公式得到邻边的数量关系，求出BC长度后，在Rt△DFC中用勾股定理计算CF的长。
【解析】
（1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD//BC，
∵DF⊥BC，
∴∠DFC=90°，
在Rt△DFC中，∠C + ∠CDF = 90°，
又
∵∠A=2∠CDF，且∠A=∠C，
∴∠A + (1/2)∠A = 90°，解得∠A=60°，
∴∠C=60°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
平行四边形中∠A + ∠B=180°，故∠B=180°-60°=120°，
在四边形DEBF中，内角和为360°，
∴∠EDF=360° - ∠DEB - ∠DFB - ∠B = 360° - 90° -90° -120°=60°；
（2）设BC=x，AB=y，
∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴2(x+y)=36，即x+y=18，
∵平行四边形面积=AB×DE=BC×DF，DE=5，DF=10，
∴5y=10x，即y=2x，
联立方程组$\begin{cases}x+y=18 \\ y=2x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=6 \\ y=12\end{cases}$，
∴DC=AB=12，
在Rt△DFC中，DF=10，DC=12，
由勾股定理得：CF=$\sqrt{DC^2 - DF^2}$=$\sqrt{12^2 -10^2}$=$\sqrt{44}$=2$\sqrt{11}$；
【答案】
(1)60°；(2)2√11
【知识点】
平行四边形性质，直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质、直角三角形的性质及勾股定理的应用，需熟练掌握平行四边形的周长、面积公式，结合角度关系和方程思想解题，难度中等，适合多数学生解答。
【难度系数】
0.5
本题是平行四边形的综合题，解题思路如下：
（1）利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质，结合直角三角形两锐角互余求出∠A的度数，再通过四边形内角和计算∠EDF；
（2）利用平行四边形周长得到邻边和，结合面积公式得到邻边的数量关系，求出BC长度后，在Rt△DFC中用勾股定理计算CF的长。
【解析】
（1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD//BC，
∵DF⊥BC，
∴∠DFC=90°，
在Rt△DFC中，∠C + ∠CDF = 90°，
又
∵∠A=2∠CDF，且∠A=∠C，
∴∠A + (1/2)∠A = 90°，解得∠A=60°，
∴∠C=60°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
平行四边形中∠A + ∠B=180°，故∠B=180°-60°=120°，
在四边形DEBF中，内角和为360°，
∴∠EDF=360° - ∠DEB - ∠DFB - ∠B = 360° - 90° -90° -120°=60°；
（2）设BC=x，AB=y，
∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴2(x+y)=36，即x+y=18，
∵平行四边形面积=AB×DE=BC×DF，DE=5，DF=10，
∴5y=10x，即y=2x，
联立方程组$\begin{cases}x+y=18 \\ y=2x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=6 \\ y=12\end{cases}$，
∴DC=AB=12，
在Rt△DFC中，DF=10，DC=12，
由勾股定理得：CF=$\sqrt{DC^2 - DF^2}$=$\sqrt{12^2 -10^2}$=$\sqrt{44}$=2$\sqrt{11}$；
【答案】
(1)60°；(2)2√11
【知识点】
平行四边形性质，直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质、直角三角形的性质及勾股定理的应用，需熟练掌握平行四边形的周长、面积公式，结合角度关系和方程思想解题，难度中等，适合多数学生解答。
【难度系数】
0.5
