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13.如图,在$□ ABCD$中,$BA=BD,AE ⊥ BD$。若$∠ C=70°$,则$∠ DAE$的度数为________。
答案
13.20°
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形、等腰三角形和直角三角形的性质逐步推导：首先利用平行四边形对角相等得到∠BAD的度数，再由BA=BD得出等腰△ABD中∠BDA的度数，最后根据直角三角形两锐角互余计算∠DAE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠BAD = ∠C = 70°（平行四边形的对角相等）。
又
∵ BA = BD，
∴ △ABD是等腰三角形，∠BAD = ∠BDA = 70°（等腰三角形两底角相等）。
∵ AE ⊥ BD，
∴ ∠AED = 90°（垂直的定义）。
在Rt△ADE中，∠DAE + ∠ADE = 90°（直角三角形两锐角互余），
其中∠ADE = ∠BDA = 70°，
∴ ∠DAE = 90° - 70° = 20°。
【答案】
20°
【知识点】
平行四边形性质，等腰三角形性质，直角三角形性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、等腰三角形及直角三角形的角度相关性质，解题关键是利用各图形的性质逐步推导角度关系，属于基础几何题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合平行四边形、等腰三角形和直角三角形的性质逐步推导：首先利用平行四边形对角相等得到∠BAD的度数，再由BA=BD得出等腰△ABD中∠BDA的度数，最后根据直角三角形两锐角互余计算∠DAE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠BAD = ∠C = 70°（平行四边形的对角相等）。
又
∵ BA = BD，
∴ △ABD是等腰三角形，∠BAD = ∠BDA = 70°（等腰三角形两底角相等）。
∵ AE ⊥ BD，
∴ ∠AED = 90°（垂直的定义）。
在Rt△ADE中，∠DAE + ∠ADE = 90°（直角三角形两锐角互余），
其中∠ADE = ∠BDA = 70°，
∴ ∠DAE = 90° - 70° = 20°。
【答案】
20°
【知识点】
平行四边形性质，等腰三角形性质，直角三角形性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、等腰三角形及直角三角形的角度相关性质，解题关键是利用各图形的性质逐步推导角度关系，属于基础几何题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
14.如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB=4 cm,∠ABC=60°,∠BAC=90°,将纸片沿对角线AC对折,CF交边AD于点E,则折后图中重合部分的面积是
4√3
cm²。答案
14.4√3
解析
【分析】
先利用平行四边形的性质得到边和角的关系，结合直角三角形ABC的条件计算AC长度；再根据折叠性质得到角相等，结合平行线的内错角相等推出AE=EC；最后通过角度关系确定△EDC为等边三角形，求出AE的长度，进而计算重合部分△AEC的面积。
【解析】
1. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AB=4cm，
∴∠ACB=30°，BC=2AB=8cm，
由勾股定理得：AC=√(BC² - AB²)=√(8² - 4²)=4√3 cm。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，AD=BC=8cm，∠D=∠ABC=60°，
∴∠EAC=∠ACB=30°。
3. 沿AC对折后，△ABC≌△AFC，故∠ACF=∠ACB=30°，
∴∠EAC=∠ACF=30°，因此AE=EC。
4. 又AB//CD，∠BAC=90°，所以∠ACD=∠BAC=90°，
∴∠ECD=∠ACD - ∠ACF=90° - 30°=60°，
在△EDC中，∠D=60°，∠ECD=60°，所以△EDC是等边三角形，
∴ED=CD=AB=4cm，故AE=AD - ED=8 - 4=4cm，即AE=EC=4cm。
5. 在△AEC中，∠AEC=180° - 30° - 30°=120°，
重合部分△AEC的面积为：
S=1/2 × AE × EC × sin120°=1/2 × 4 × 4 × (√3/2)=4√3 cm²。
【答案】
4√3
【知识点】
平行四边形性质、折叠性质、三角形面积计算
【点评】
本题结合平行四边形与折叠的性质，通过角度推导得到等腰三角形，再利用等边三角形的性质求出边长，进而计算面积，关键是找到等角关系推出AE=EC，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
先利用平行四边形的性质得到边和角的关系，结合直角三角形ABC的条件计算AC长度；再根据折叠性质得到角相等，结合平行线的内错角相等推出AE=EC；最后通过角度关系确定△EDC为等边三角形，求出AE的长度，进而计算重合部分△AEC的面积。
【解析】
1. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AB=4cm，
∴∠ACB=30°，BC=2AB=8cm，
由勾股定理得：AC=√(BC² - AB²)=√(8² - 4²)=4√3 cm。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，AD=BC=8cm，∠D=∠ABC=60°，
∴∠EAC=∠ACB=30°。
3. 沿AC对折后，△ABC≌△AFC，故∠ACF=∠ACB=30°，
∴∠EAC=∠ACF=30°，因此AE=EC。
4. 又AB//CD，∠BAC=90°，所以∠ACD=∠BAC=90°，
∴∠ECD=∠ACD - ∠ACF=90° - 30°=60°，
在△EDC中，∠D=60°，∠ECD=60°，所以△EDC是等边三角形，
∴ED=CD=AB=4cm，故AE=AD - ED=8 - 4=4cm，即AE=EC=4cm。
5. 在△AEC中，∠AEC=180° - 30° - 30°=120°，
重合部分△AEC的面积为：
S=1/2 × AE × EC × sin120°=1/2 × 4 × 4 × (√3/2)=4√3 cm²。
【答案】
4√3
【知识点】
平行四边形性质、折叠性质、三角形面积计算
【点评】
本题结合平行四边形与折叠的性质，通过角度推导得到等腰三角形，再利用等边三角形的性质求出边长，进而计算面积，关键是找到等角关系推出AE=EC，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
15.如图,四边形ABCD是平行四边形,以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交AD于点F,分别以点B,F为圆心,大于$\frac{1}{2}BF$的长为半径画弧,两弧相交于点G,连结AG并延长,交BC于点E。连结BF。若$AE=2\sqrt{10}$,$BF=2\sqrt{6}$,则CD的长是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
15.4
解析
【分析】首先根据尺规作图的特征，判断出AE是∠BAD的角平分线；结合平行四边形对边平行的性质，推导角的关系，得到AB=BE，再结合作图得到的AF=AB，证明四边形ABEF是菱形；利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出AB的长度，最后根据平行四边形对边相等的性质得到CD的长。
【解析】
1. 由尺规作图可知，AE平分∠BAD，因此∠BAE=∠FAE。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠FAE=∠AEB，故∠BAE=∠AEB，进而推出AB=BE。
3. 由作图知AF=AB，所以AF=BE，又AF//BE（AD//BC），因此四边形ABEF是平行四边形；结合AF=AB，可得平行四边形ABEF是菱形。
4. 菱形的对角线互相垂直平分，设AE与BF交于点O，则AO=½AE=½×2√10=√10，BO=½BF=½×2√6=√6，且∠AOB=90°。
5. 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=√(AO²+BO²)=√[(√10)²+(√6)²]=√(10+6)=√16=4。
6. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以CD=AB=4。
【答案】4
【知识点】平行四边形性质、菱形判定与性质、勾股定理
【点评】本题结合尺规作图考查平行四边形和菱形的核心性质，关键是通过作图判断AE为角平分线，推导得到菱形，利用菱形对角线特性结合勾股定理求解，属于中等难度题型。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 由尺规作图可知，AE平分∠BAD，因此∠BAE=∠FAE。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠FAE=∠AEB，故∠BAE=∠AEB，进而推出AB=BE。
3. 由作图知AF=AB，所以AF=BE，又AF//BE（AD//BC），因此四边形ABEF是平行四边形；结合AF=AB，可得平行四边形ABEF是菱形。
4. 菱形的对角线互相垂直平分，设AE与BF交于点O，则AO=½AE=½×2√10=√10，BO=½BF=½×2√6=√6，且∠AOB=90°。
5. 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=√(AO²+BO²)=√[(√10)²+(√6)²]=√(10+6)=√16=4。
6. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以CD=AB=4。
【答案】4
【知识点】平行四边形性质、菱形判定与性质、勾股定理
【点评】本题结合尺规作图考查平行四边形和菱形的核心性质，关键是通过作图判断AE为角平分线，推导得到菱形，利用菱形对角线特性结合勾股定理求解，属于中等难度题型。
【难度系数】0.5
16. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=3$，$AD=5$，$∠ ABC=60°$，点$E$、$F$分别在线段$AD$、$BD$上，且$DE=DF$，连结$BE$，若$BE$平分$∠ AEF$，则$DE$的长为________。
答案
16.7−√7
解析
【分析】
要解决这个问题，我们通过建立平面直角坐标系，结合平行四边形的性质、向量的角平分线性质来推导。首先确定各点坐标，再利用BE平分∠AEF的向量共线条件列方程，化简后得到DE的长度。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：设点B为原点(0,0)，由∠ ABC=60°，AB=3，得$A(1.5, \frac{3\sqrt{3}}{2})$；平行四边形中BC=AD=5，故C(5,0)，$D(6.5, \frac{3\sqrt{3}}{2})$。
2. 设DE=t，则DF=t，AD=5，因此E点坐标为$(6.5-t, \frac{3\sqrt{3}}{2})$；BD长度为7，F在BD上且BF=7-t，得F点坐标为$(\frac{(7-t)×6.5}{7}, \frac{(7-t)×3\sqrt{3}}{14})$。
3. 计算向量：$\overrightarrow{EA}$的单位向量为(-1,0)；$\overrightarrow{EF}=(\frac{t}{14}, -\frac{3\sqrt{3}t}{14})$，其单位向量为$(\frac{\sqrt{7}}{14}, -\frac{3\sqrt{21}}{14})$。
4. 由BE平分∠ AEF，得单位向量$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{BE}$共线，对应分量成比例：
$ \frac{\frac{\sqrt{7}-14}{14}}{\frac{13}{2}-t} = \frac{-\frac{3\sqrt{21}}{14}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} $化简右边得$-\frac{\sqrt{7}}{7}$，左边化简后解方程：$ \frac{\sqrt{7}-14}{7(13-2t)} = -\frac{\sqrt{7}}{7}$
约去7后整理得：
$ \sqrt{7}-14 = -\sqrt{7}(13-2t) $展开移项得$14\sqrt{7}-14=2\sqrt{7}t$，解得$t=7-\sqrt{7}$。【答案$】7-\sqrt{7}$
【知识点】
平行四边形性质、向量共线、角平分线性质
【点评】
本题通过坐标法将几何问题转化为代数计算，利用向量性质简化角平分线条件的应用，关键在于正确计算各点坐标和向量，化简方程时注意约分，避免复杂运算，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们通过建立平面直角坐标系，结合平行四边形的性质、向量的角平分线性质来推导。首先确定各点坐标，再利用BE平分∠AEF的向量共线条件列方程，化简后得到DE的长度。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：设点B为原点(0,0)，由∠ ABC=60°，AB=3，得$A(1.5, \frac{3\sqrt{3}}{2})$；平行四边形中BC=AD=5，故C(5,0)，$D(6.5, \frac{3\sqrt{3}}{2})$。
2. 设DE=t，则DF=t，AD=5，因此E点坐标为$(6.5-t, \frac{3\sqrt{3}}{2})$；BD长度为7，F在BD上且BF=7-t，得F点坐标为$(\frac{(7-t)×6.5}{7}, \frac{(7-t)×3\sqrt{3}}{14})$。
3. 计算向量：$\overrightarrow{EA}$的单位向量为(-1,0)；$\overrightarrow{EF}=(\frac{t}{14}, -\frac{3\sqrt{3}t}{14})$，其单位向量为$(\frac{\sqrt{7}}{14}, -\frac{3\sqrt{21}}{14})$。
4. 由BE平分∠ AEF，得单位向量$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{BE}$共线，对应分量成比例：
$ \frac{\frac{\sqrt{7}-14}{14}}{\frac{13}{2}-t} = \frac{-\frac{3\sqrt{21}}{14}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} $化简右边得$-\frac{\sqrt{7}}{7}$，左边化简后解方程：$ \frac{\sqrt{7}-14}{7(13-2t)} = -\frac{\sqrt{7}}{7}$
约去7后整理得：
$ \sqrt{7}-14 = -\sqrt{7}(13-2t) $展开移项得$14\sqrt{7}-14=2\sqrt{7}t$，解得$t=7-\sqrt{7}$。【答案$】7-\sqrt{7}$
【知识点】
平行四边形性质、向量共线、角平分线性质
【点评】
本题通过坐标法将几何问题转化为代数计算，利用向量性质简化角平分线条件的应用，关键在于正确计算各点坐标和向量，化简方程时注意约分，避免复杂运算，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
三、解答题(共72分)
17.(8分)如图,在$□ ABCD$中,分别以$B,D$为圆心,$BA,DC$的长为半径画两段圆弧,分别交$BC$于点$M$,交$AD$于点$N$,连结$AM,CN$。请判断四边形$AMCN$是否为平行四边形,并说明理由。
17.(8分)如图,在$□ ABCD$中,分别以$B,D$为圆心,$BA,DC$的长为半径画两段圆弧,分别交$BC$于点$M$,交$AD$于点$N$,连结$AM,CN$。请判断四边形$AMCN$是否为平行四边形,并说明理由。
答案
17.四边形AMCN为平行四边形,理由:因为四边形ABCD是平行四边形,所以CB//AD,CB=AD,BA=DC。因为BM=BA,DN=DC,所以BM=DN,所以CB−BM=AD−DN,所以CM=AN。因为CM//AN,且CM=AN,所以四边形AMCN是平行四边形。
解析
【分析】
要判断四边形AMCN是否为平行四边形，需结合平行四边形的性质与判定定理分析：首先利用平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质，再结合作图得到的线段相等关系，推导四边形AMCN的一组对边平行且相等，进而得出结论。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC，AB=DC（平行四边形对边平行且相等）。
根据作图可知：BM=BA，DN=DC（同圆半径相等），
又
∵ AB=DC，
∴ BM=DN，
∴ BC - BM = AD - DN，即 CM=AN。
又
∵ AD//BC，
∴ AN//CM（AD、BC为平行四边形的对边，AN在AD上，CM在BC上，故AN//CM）。
∴ 四边形AMCN中，AN平行且等于CM，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形AMCN是平行四边形。
【答案】
四边形AMCN为平行四边形，理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以CB//AD，CB=AD，BA=DC。因为BM=BA，DN=DC，所以BM=DN，所以CB−BM=AD−DN，所以CM=AN。因为CM//AN，且CM=AN，所以四边形AMCN是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的性质与判定，解题核心是利用平行四边形的对边关系，结合作图得到的线段相等，推导出目标四边形的一组对边平行且相等，属于基础题型，注重对平行四边形核心知识点的应用。
【难度系数】
0.5
要判断四边形AMCN是否为平行四边形，需结合平行四边形的性质与判定定理分析：首先利用平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质，再结合作图得到的线段相等关系，推导四边形AMCN的一组对边平行且相等，进而得出结论。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC，AB=DC（平行四边形对边平行且相等）。
根据作图可知：BM=BA，DN=DC（同圆半径相等），
又
∵ AB=DC，
∴ BM=DN，
∴ BC - BM = AD - DN，即 CM=AN。
又
∵ AD//BC，
∴ AN//CM（AD、BC为平行四边形的对边，AN在AD上，CM在BC上，故AN//CM）。
∴ 四边形AMCN中，AN平行且等于CM，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形AMCN是平行四边形。
【答案】
四边形AMCN为平行四边形，理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以CB//AD，CB=AD，BA=DC。因为BM=BA，DN=DC，所以BM=DN，所以CB−BM=AD−DN，所以CM=AN。因为CM//AN，且CM=AN，所以四边形AMCN是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的性质与判定，解题核心是利用平行四边形的对边关系，结合作图得到的线段相等，推导出目标四边形的一组对边平行且相等，属于基础题型，注重对平行四边形核心知识点的应用。
【难度系数】
0.5
