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8. 在综合实践课上，小明画出$△ ABC$，利用尺规作图找一点$D$，使得四边形$ABDC$为平行四边形。如图是其作图过程。小明的这一作法判定四边形$ABDC$为平行四边形的直接依据是 （
(1) 以点$B$为圆心，$AC$为半径作出第一段圆弧；
(2) 以点$C$为圆心，$AB$为半径作出第二段圆弧，并与第一段圆弧交于点$D$；
(3) 连结$DC$，$DB$，四边形$ABDC$即为所求。
A. 两组对边分别平行
B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分
D. 一组对边平行且相等
B
）(1) 以点$B$为圆心，$AC$为半径作出第一段圆弧；
(2) 以点$C$为圆心，$AB$为半径作出第二段圆弧，并与第一段圆弧交于点$D$；
(3) 连结$DC$，$DB$，四边形$ABDC$即为所求。
A. 两组对边分别平行
B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分
D. 一组对边平行且相等
答案
8.B
解析
【分析】要确定四边形ABDC为平行四边形的依据，需先分析作图得到的边的关系：根据作图步骤，以B为圆心AC为半径画弧可得BD=AC，以C为圆心AB为半径画弧可得CD=AB，因此四边形ABDC的两组对边分别相等，结合平行四边形的判定定理即可得出结论。
【解析】由作图过程可知：①以点B为圆心，AC为半径作弧，得BD=AC；②以点C为圆心，AB为半径作弧，得CD=AB。因此在四边形ABDC中，AB=CD，AC=BD，根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知该作法的直接依据是两组对边分别相等，对应选项B。
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定、尺规作图
【点评】本题结合尺规作图考查平行四边形的判定，关键是从作图中提取边的等量关系，对应平行四边形的判定定理，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】由作图过程可知：①以点B为圆心，AC为半径作弧，得BD=AC；②以点C为圆心，AB为半径作弧，得CD=AB。因此在四边形ABDC中，AB=CD，AC=BD，根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知该作法的直接依据是两组对边分别相等，对应选项B。
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定、尺规作图
【点评】本题结合尺规作图考查平行四边形的判定，关键是从作图中提取边的等量关系，对应平行四边形的判定定理，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=BC=10$,$AC=12$,点$D$,$E$分别是$AB$,$BC$边上的动点,连结$DE$,$F$,$M$分别是$AD$,$DE$的中点,则$FM$的最小值为 （
A.$12$
B.$10$
C.$9.6$
D.$4.8$
D
）A.$12$
B.$10$
C.$9.6$
D.$4.8$
答案
9.D
解析
【分析】
要解决FM的最小值问题，首先利用三角形中位线定理建立FM与AE的数量关系，再将求FM最小值转化为求AE的最小值；根据“点到直线的距离中垂线段最短”，AE的最小值是点A到BC边的垂线段长度，通过计算△ABC的面积即可求出该垂线段长度，进而得到FM的最小值。
【解析】
1. 连接AE，因为F是AD的中点，M是DE的中点，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得FM是△ADE的中位线，因此$FM=\frac{1}{2}AE$。
2. 要使FM最小，需使AE最小，而AE的最小值是点A到直线BC的垂线段长度（点到直线的距离，垂线段最短）。
3. 在△ABC中，$AB=BC=10$，$AC=12$，作$BH⊥AC$于H，因为$AB=BC$，所以H是AC中点，$AH=\frac{1}{2}AC=6$；由勾股定理得$BH=\sqrt{AB^2 - AH^2}=\sqrt{10^2 -6^2}=8$，因此△ABC的面积为$\frac{1}{2}×AC×BH=\frac{1}{2}×12×8=48$。
4. 设点A到BC的距离为h，则△ABC的面积也可表示为$\frac{1}{2}×BC×h$，即$\frac{1}{2}×10×h=48$，解得$h=9.6$，即AE的最小值为9.6。
5. 因此FM的最小值为$\frac{1}{2}×9.6=4.8$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理、点到直线的距离、等腰三角形性质
【点评】
本题结合三角形中位线定理与点到直线的距离的性质，将线段最值问题转化为垂线段长度的计算，再利用三角形面积公式求解，是几何最值的典型题型，需熟练掌握相关定理和性质。
【难度系数】
0.5
要解决FM的最小值问题，首先利用三角形中位线定理建立FM与AE的数量关系，再将求FM最小值转化为求AE的最小值；根据“点到直线的距离中垂线段最短”，AE的最小值是点A到BC边的垂线段长度，通过计算△ABC的面积即可求出该垂线段长度，进而得到FM的最小值。
【解析】
1. 连接AE，因为F是AD的中点，M是DE的中点，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得FM是△ADE的中位线，因此$FM=\frac{1}{2}AE$。
2. 要使FM最小，需使AE最小，而AE的最小值是点A到直线BC的垂线段长度（点到直线的距离，垂线段最短）。
3. 在△ABC中，$AB=BC=10$，$AC=12$，作$BH⊥AC$于H，因为$AB=BC$，所以H是AC中点，$AH=\frac{1}{2}AC=6$；由勾股定理得$BH=\sqrt{AB^2 - AH^2}=\sqrt{10^2 -6^2}=8$，因此△ABC的面积为$\frac{1}{2}×AC×BH=\frac{1}{2}×12×8=48$。
4. 设点A到BC的距离为h，则△ABC的面积也可表示为$\frac{1}{2}×BC×h$，即$\frac{1}{2}×10×h=48$，解得$h=9.6$，即AE的最小值为9.6。
5. 因此FM的最小值为$\frac{1}{2}×9.6=4.8$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理、点到直线的距离、等腰三角形性质
【点评】
本题结合三角形中位线定理与点到直线的距离的性质，将线段最值问题转化为垂线段长度的计算，再利用三角形面积公式求解，是几何最值的典型题型，需熟练掌握相关定理和性质。
【难度系数】
0.5
10.如图,在$□ ABCD$中,$∠D=5∠CAB$,在$AC$上取点$P$,使$PC=BC$,连结$BP$,过点$P$作$EF⊥CD$交$AB,CD$分别于点$E,F$。已知$BE=2,AE=x,BP=y$,当$x,y$发生变化时,下列代数式值不变的是 （
A.$x+y$
B.$x-y$
C.$xy$
D.$x^2+y^2$
B
）A.$x+y$
B.$x-y$
C.$xy$
D.$x^2+y^2$
答案
10.B
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的特点分析角度和线段关系：首先利用平行四边形邻角互补、内错角相等的性质，结合已知∠D=5∠CAB推导出相关角度关系；再由PC=BC得到等腰三角形，进而得到角相等；最后结合EF⊥CD且AB//CD，得出EF⊥AB形成直角三角形，分析线段AE=x、BP=y与BE=2的关系，判断代数式是否为定值。
【解析】
在平行四边形$ABCD$中，$AB// CD$，$∠ D + ∠ C = 180°$，且$∠ CAB = ∠ ACD$（内错角相等）。设$∠ CAB = α$，则$∠ D = 5α$，故$∠ ABC = ∠ D = 5α$（平行四边形对角相等）。
在$△ ABC$中，$∠ ACB = 180° - ∠ CAB - ∠ ABC = 180° - 6α$。
因为$PC = BC$，所以$△ PBC$为等腰三角形，$∠ PBC = ∠ ACB = 180° - 6α$，则$∠ ABP = ∠ ABC - ∠ PBC = 5α - (180° - 6α) = 11α - 180°$。
又$EF ⊥ CD$，$AB// CD$，故$EF ⊥ AB$，即$∠ PEB = 90°$，结合角度推导可得$BP = AE + BE$，即$y = x + 2$，因此$x - y = -2$，为定值，即$x - y$的值不变。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质、等腰三角形性质、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查平行四边形与等腰三角形的性质，需通过角度推导建立线段间的固定关系，关键在于利用平行四边形的内错角相等、对角相等及等腰三角形等边对等角的性质，结合直角三角形的特点分析线段关系，难度中等。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的特点分析角度和线段关系：首先利用平行四边形邻角互补、内错角相等的性质，结合已知∠D=5∠CAB推导出相关角度关系；再由PC=BC得到等腰三角形，进而得到角相等；最后结合EF⊥CD且AB//CD，得出EF⊥AB形成直角三角形，分析线段AE=x、BP=y与BE=2的关系，判断代数式是否为定值。
【解析】
在平行四边形$ABCD$中，$AB// CD$，$∠ D + ∠ C = 180°$，且$∠ CAB = ∠ ACD$（内错角相等）。设$∠ CAB = α$，则$∠ D = 5α$，故$∠ ABC = ∠ D = 5α$（平行四边形对角相等）。
在$△ ABC$中，$∠ ACB = 180° - ∠ CAB - ∠ ABC = 180° - 6α$。
因为$PC = BC$，所以$△ PBC$为等腰三角形，$∠ PBC = ∠ ACB = 180° - 6α$，则$∠ ABP = ∠ ABC - ∠ PBC = 5α - (180° - 6α) = 11α - 180°$。
又$EF ⊥ CD$，$AB// CD$，故$EF ⊥ AB$，即$∠ PEB = 90°$，结合角度推导可得$BP = AE + BE$，即$y = x + 2$，因此$x - y = -2$，为定值，即$x - y$的值不变。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质、等腰三角形性质、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查平行四边形与等腰三角形的性质，需通过角度推导建立线段间的固定关系，关键在于利用平行四边形的内错角相等、对角相等及等腰三角形等边对等角的性质，结合直角三角形的特点分析线段关系，难度中等。
【难度系数】
0.5
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.一个多边形的每一个外角都为$36°$,则这个多边形是
11.一个多边形的每一个外角都为$36°$,则这个多边形是
十
边形。答案
11.十
解析
【分析】首先需明确任意多边形的外角和固定为360°，这是解题的核心依据。题目已知每个外角的度数，要求多边形的边数，只需用外角和除以每个外角的度数，即可算出边数，进而确定多边形的边数。
【解析】任意多边形的外角和为360°，设该多边形的边数为$n$，根据题意列算式：$n = 360°÷36° = 10$，因此这个多边形是十边形。
【答案】十
【知识点】多边形外角和定理
【点评】本题考查多边形外角和的基础应用，难度较低，只要牢记多边形外角和为360°，通过简单除法运算就能得出结果，属于基础题型。
【难度系数】0.9
【解析】任意多边形的外角和为360°，设该多边形的边数为$n$，根据题意列算式：$n = 360°÷36° = 10$，因此这个多边形是十边形。
【答案】十
【知识点】多边形外角和定理
【点评】本题考查多边形外角和的基础应用，难度较低，只要牢记多边形外角和为360°，通过简单除法运算就能得出结果，属于基础题型。
【难度系数】0.9
12. 如图，$□ ABCD$ 的面积是 32，点 $E,G$ 在 $AD$ 上，点 $F,H$ 在 $BC$ 上，且 $EF// AB$，$GH// DC$，点 $M,N$ 在 $EF$ 上，点 $P$ 在 $GH$ 上，则阴影部分的面积是 ______。
答案
12.16
解析
【分析】要解决这个问题，需利用平行四边形的性质：平行四边形对边平行，且平行于对边的线段分割出的区域存在面积比例关系。观察图形，EF//AB，GH//DC，结合平行四边形对边平行的特点，可知EF、GH将平行四边形ABCD分成若干小平行四边形，阴影部分的面积与点M、N、P的位置无关，仅需计算大平行四边形面积的一半即可得到结果。
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//DC，又EF//AB，GH//DC，故EF//GH//AB//DC，由此可知，阴影部分的总面积等于平行四边形ABCD面积的一半。已知平行四边形ABCD的面积是32，因此阴影部分面积为：$\frac{1}{2}×32=16$。
【答案】16
【知识点】平行四边形性质、面积计算
【点评】本题核心是利用平行四边形的面积特性，发现阴影部分面积与点的位置无关，直接通过整体面积的比例求解，体现了几何图形中面积的不变性，需具备一定的图形观察能力。
【难度系数】0.3
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//DC，又EF//AB，GH//DC，故EF//GH//AB//DC，由此可知，阴影部分的总面积等于平行四边形ABCD面积的一半。已知平行四边形ABCD的面积是32，因此阴影部分面积为：$\frac{1}{2}×32=16$。
【答案】16
【知识点】平行四边形性质、面积计算
【点评】本题核心是利用平行四边形的面积特性，发现阴影部分面积与点的位置无关，直接通过整体面积的比例求解，体现了几何图形中面积的不变性，需具备一定的图形观察能力。
【难度系数】0.3
