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21.(8分)如图,四边形ABCD为平行四边形,线段AC为对角线,点E,F分别为线段BC,AD的中点,连结EF交AC于点O,连结AE,CF。
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
(2)若$OF=3$,求CD的长。
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
(2)若$OF=3$,求CD的长。
答案
21.(1)因为四边形ABCD为平行四边形,所以AD=BC,AD//BC。因为点E,F分别为线段BC,AD的中点,所以AF=1/2 AD,CE=1/2 BC,所以AF=CE。又因为AF//CE,所以四边形AECF为平行四边形；(2)因为四边形AECF为平行四边形,所以OA=OC。因为AF=DF,所以OF为△ACD的中位线,所以CD=2OF=2×3=6。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需证明四边形AECF是平行四边形，利用平行四边形ABCD的性质结合中点条件得到一组对边平行且相等，即可完成判定；第(2)问利用平行四边形AECF的性质得到O为AC中点，结合F是AD中点，得出OF是△ACD的中位线，再根据中位线定理计算CD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC。
∵ 点E、F分别为线段BC、AD的中点，
∴ AF = $\frac{1}{2}$AD，CE = $\frac{1}{2}$BC，
∴ AF = CE，且AF//CE（由AD//BC可得），
∴ 四边形AECF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵ 四边形AECF为平行四边形，
∴ OA = OC（平行四边形的对角线互相平分），即O为AC的中点。
又
∵ F是AD的中点，
∴ OF是△ACD的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴ CD = 2OF。
已知OF=3，
∴ CD = 2×3 = 6。
【答案】
(1) 四边形AECF为平行四边形，证明见解析；(2) CD的长为6。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定、性质及三角形中位线定理的应用，属于基础几何题型，熟练掌握相关定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需证明四边形AECF是平行四边形，利用平行四边形ABCD的性质结合中点条件得到一组对边平行且相等，即可完成判定；第(2)问利用平行四边形AECF的性质得到O为AC中点，结合F是AD中点，得出OF是△ACD的中位线，再根据中位线定理计算CD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC。
∵ 点E、F分别为线段BC、AD的中点，
∴ AF = $\frac{1}{2}$AD，CE = $\frac{1}{2}$BC，
∴ AF = CE，且AF//CE（由AD//BC可得），
∴ 四边形AECF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵ 四边形AECF为平行四边形，
∴ OA = OC（平行四边形的对角线互相平分），即O为AC的中点。
又
∵ F是AD的中点，
∴ OF是△ACD的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴ CD = 2OF。
已知OF=3，
∴ CD = 2×3 = 6。
【答案】
(1) 四边形AECF为平行四边形，证明见解析；(2) CD的长为6。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定、性质及三角形中位线定理的应用，属于基础几何题型，熟练掌握相关定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
22.(10分)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB,CE交于点F,DF=BF,AF$//$DC。
(1)求证:四边形AFCD为平行四边形;
(2)若$∠ EFB=90°,EF=2,DF=5$,求BC的长。
(1)求证:四边形AFCD为平行四边形;
(2)若$∠ EFB=90°,EF=2,DF=5$,求BC的长。
答案
22.(1)证明:因为E是AB的中点,DF=BF,所以EF是△ABD的中位线。所以EF//AD,所以CF//AD。又因为AF//DC,所以四边形AFCD为平行四边形；(2)因为∠EFB=90°,所以∠BFC=90°,由(1)知:EF是△ABD的中位线,所以EF=1/2 AD,所以AD=2EF=2×2=4。由(1)知,四边形AFCD为平行四边形,所以CF=AD=4。因为BF=DF=5,在Rt△BCF中,BC=√(CF²+BF²)=√(4²+5²)=√41。所以BC的长为√41。
解析
【分析】
要解决本题，需分两步分析：第一问证明四边形AFCD为平行四边形，利用三角形中位线定理得到对边平行，结合已知条件AF//DC即可完成证明；第二问求BC的长，需结合直角关系、中位线性质和平行四边形性质求出相关边长，再用勾股定理计算。
【解析】
(1) 证明：
∵ E是AB的中点，DF=BF，
∴ EF是△ABD的中位线，
根据三角形中位线定理，得EF//AD，即CF//AD。
又
∵ AF//DC，
∴ 四边形AFCD的两组对边分别平行，故四边形AFCD为平行四边形。
(2) 解：
∵ ∠EFB=90°，
∴ ∠BFC=180°−∠EFB=90°。
由(1)知EF是△ABD的中位线，
∴ EF=1/2 AD，
已知EF=2，
∴ AD=2×EF=2×2=4。
∵ 四边形AFCD是平行四边形，
∴ CF=AD=4。
又
∵ BF=DF=5，
在Rt△BCF中，根据勾股定理：
BC=√(CF²+BF²)=√(4²+5²)=√41。
【答案】
(1) 四边形AFCD为平行四边形，证明见解析；(2) BC的长为√41。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查几何定理的应用，需熟练掌握三角形中位线、平行四边形的判定及勾股定理，解题逻辑清晰，是常规的几何证明与计算题型，侧重考查学生的推理和计算能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需分两步分析：第一问证明四边形AFCD为平行四边形，利用三角形中位线定理得到对边平行，结合已知条件AF//DC即可完成证明；第二问求BC的长，需结合直角关系、中位线性质和平行四边形性质求出相关边长，再用勾股定理计算。
【解析】
(1) 证明：
∵ E是AB的中点，DF=BF，
∴ EF是△ABD的中位线，
根据三角形中位线定理，得EF//AD，即CF//AD。
又
∵ AF//DC，
∴ 四边形AFCD的两组对边分别平行，故四边形AFCD为平行四边形。
(2) 解：
∵ ∠EFB=90°，
∴ ∠BFC=180°−∠EFB=90°。
由(1)知EF是△ABD的中位线，
∴ EF=1/2 AD，
已知EF=2，
∴ AD=2×EF=2×2=4。
∵ 四边形AFCD是平行四边形，
∴ CF=AD=4。
又
∵ BF=DF=5，
在Rt△BCF中，根据勾股定理：
BC=√(CF²+BF²)=√(4²+5²)=√41。
【答案】
(1) 四边形AFCD为平行四边形，证明见解析；(2) BC的长为√41。
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查几何定理的应用，需熟练掌握三角形中位线、平行四边形的判定及勾股定理，解题逻辑清晰，是常规的几何证明与计算题型，侧重考查学生的推理和计算能力。
【难度系数】
0.6
23.(10分)综合与实践
【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动。在平行四边形纸片$ABCD$中，点$E$为$CD$边上任意一点，将$△ ADE$沿$AE$折叠，点$D$的对应点为$D'$。
【分析探究】
(1)如图1，当点$D'$恰好落在$AB$边上时，判断四边形$D'BCE$的形状，并说明理由；
【问题解决】
(2)如图2，当点$E,F$为$CD$边的三等分点时，连结$FD'$并延长，交$AB$边于点$G$。试判断线段$AG$与$BG$的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当$∠ ABC=60°$，$∠ DAE=45°$时，连结$DD'$并延长，交$BC$边于点$H$。若$□ ABCD$的面积为$24$，$AD=4$，求线段$D'H$的长。
【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动。在平行四边形纸片$ABCD$中，点$E$为$CD$边上任意一点，将$△ ADE$沿$AE$折叠，点$D$的对应点为$D'$。
【分析探究】
(1)如图1，当点$D'$恰好落在$AB$边上时，判断四边形$D'BCE$的形状，并说明理由；
【问题解决】
(2)如图2，当点$E,F$为$CD$边的三等分点时，连结$FD'$并延长，交$AB$边于点$G$。试判断线段$AG$与$BG$的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当$∠ ABC=60°$，$∠ DAE=45°$时，连结$DD'$并延长，交$BC$边于点$H$。若$□ ABCD$的面积为$24$，$AD=4$，求线段$D'H$的长。
答案
23.(1)四边形D'BCE是平行四边形，理由如下：因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB//CD,AB=CD,所以∠D'AE=∠AED,由折叠可知:AD=AD',∠DAE=∠D'AE,所以∠DAE=∠AED,所以AD=DE=AD',所以AB−AD'=CD−DE,所以CE=BD'。又因为EC//BD',所以四边形D'BCE是平行四边形；(2)BG=2AG,理由如下:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB//CD,AB=CD。又因为点E,F为CD边的三等分点,所以DE=EF=CF=1/3 DC。由折叠可知:ED=ED',∠AED=∠AED',则ED=ED'=EF,所以∠ED'F=∠EFD'。由三角形外角性质可知∠DED'=∠ED'F+∠EFD'=∠AED+∠AED',所以∠AED'=∠ED'F,所以AE//FG,所以四边形AEFG是平行四边形,所以EF=AG,因为EF=1/3 DC,AB=CD,所以AG=1/3 AB,则BG=2/3 AB,所以BG=2AG；(3)由折叠可知∠DAE=∠D'AE=45°,AD=AD',所以∠DAD'=90°,则△DAD'为等腰直角三角形,所以∠ADH=∠AD'D=45°。如图,延长AD'交BC于点M,则∠MD'H=∠AD'D=45°。因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD//BC,所以∠DHM=∠ADH=45°=∠MD'H,∠AMH=∠DAD'=90°,所以MD'=MH。因为□ABCD的面积为24,AD=4,所以AD·AM=24,所以AM=6,则MD'=AM−AD'=AM−AD=2,所以D'H=√(MD'²+MH²)=2√2。
解析
【分析】
本题是平行四边形折叠的综合题，需结合平行四边形性质、折叠性质、等腰三角形/直角三角形性质、平行线判定等知识解题：
（1）要判断四边形D'BCE的形状，先利用平行四边形对边平行且相等，结合折叠性质得到AD=AD'、∠DAE=∠D'AE，再通过角相等推出AD=DE，进而得到BD'=CE且平行，判定为平行四边形；
（2）利用平行四边形对边平行，结合三等分点和折叠性质，得到ED=ED'，推出AE//FG，得四边形AEFG是平行四边形，从而AG=EF，结合EF与AB的关系得BG=2AG；
（3）利用折叠性质得∠DAD'=90°，△DAD'为等腰直角三角形，再结合平行四边形面积求出高AM，通过角度关系得△MD'H为等腰直角三角形，计算MD'长度，进而求出D'H。
【解析】
（1）四边形D'BCE是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠D'AE=∠AED，
由折叠性质得：AD=AD'，∠DAE=∠D'AE，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE，
∴AD'=DE，
∵AB=CD，
∴AB - AD' = CD - DE，即BD'=CE，
又
∵BD'//CE（AB//CD），
∴四边形D'BCE是平行四边形；
（2）BG=2AG，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵E、F是CD三等分点，
∴DE=EF=CF=1/3 CD，
由折叠性质得：ED=ED'，∠AED=∠AED'，
∴ED'=EF，
∴∠ED'F=∠EFD'，
∵∠DED'=∠ED'F + ∠EFD'=2∠ED'F，且∠DED'=∠AED + ∠AED'=2∠AED，
∴∠AED=∠ED'F，
∴AE//FG，
又
∵AB//CD，即AG//EF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴AG=EF，
∵EF=1/3 CD，CD=AB，
∴AG=1/3 AB，
∴BG=AB - AG=2/3 AB，故BG=2AG；
（3）求D'H的长：
由折叠性质得：∠DAE=∠D'AE=45°，AD=AD'=4，
∴∠DAD'=∠DAE + ∠D'AE=90°，
∴△DAD'是等腰直角三角形，
延长AD'交BC于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AMH=∠DAD'=90°，∠AD'H=∠AD'D=45°，
∴△MD'H是等腰直角三角形，即MD'=MH，
∵□ABCD面积=AD×AM=24，AD=4，
∴AM=24÷4=6，
∴MD'=AM - AD'=6 - 4=2，
在Rt△MD'H中，D'H=√(MD'² + MH²)=√(2² + 2²)=2√2；
【答案】
(1) 四边形D'BCE是平行四边形；
(2) BG=2AG；
(3) D'H=2√2；
【知识点】
平行四边形性质、折叠性质、等腰直角三角形
【点评】
本题融合平行四边形、折叠、等腰直角三角形等知识点，解题关键是利用折叠前后对应边/角相等，结合平行四边形性质推导线段关系，需熟练掌握几何图形的判定与性质，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.4
本题是平行四边形折叠的综合题，需结合平行四边形性质、折叠性质、等腰三角形/直角三角形性质、平行线判定等知识解题：
（1）要判断四边形D'BCE的形状，先利用平行四边形对边平行且相等，结合折叠性质得到AD=AD'、∠DAE=∠D'AE，再通过角相等推出AD=DE，进而得到BD'=CE且平行，判定为平行四边形；
（2）利用平行四边形对边平行，结合三等分点和折叠性质，得到ED=ED'，推出AE//FG，得四边形AEFG是平行四边形，从而AG=EF，结合EF与AB的关系得BG=2AG；
（3）利用折叠性质得∠DAD'=90°，△DAD'为等腰直角三角形，再结合平行四边形面积求出高AM，通过角度关系得△MD'H为等腰直角三角形，计算MD'长度，进而求出D'H。
【解析】
（1）四边形D'BCE是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠D'AE=∠AED，
由折叠性质得：AD=AD'，∠DAE=∠D'AE，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE，
∴AD'=DE，
∵AB=CD，
∴AB - AD' = CD - DE，即BD'=CE，
又
∵BD'//CE（AB//CD），
∴四边形D'BCE是平行四边形；
（2）BG=2AG，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵E、F是CD三等分点，
∴DE=EF=CF=1/3 CD，
由折叠性质得：ED=ED'，∠AED=∠AED'，
∴ED'=EF，
∴∠ED'F=∠EFD'，
∵∠DED'=∠ED'F + ∠EFD'=2∠ED'F，且∠DED'=∠AED + ∠AED'=2∠AED，
∴∠AED=∠ED'F，
∴AE//FG，
又
∵AB//CD，即AG//EF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴AG=EF，
∵EF=1/3 CD，CD=AB，
∴AG=1/3 AB，
∴BG=AB - AG=2/3 AB，故BG=2AG；
（3）求D'H的长：
由折叠性质得：∠DAE=∠D'AE=45°，AD=AD'=4，
∴∠DAD'=∠DAE + ∠D'AE=90°，
∴△DAD'是等腰直角三角形，
延长AD'交BC于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AMH=∠DAD'=90°，∠AD'H=∠AD'D=45°，
∴△MD'H是等腰直角三角形，即MD'=MH，
∵□ABCD面积=AD×AM=24，AD=4，
∴AM=24÷4=6，
∴MD'=AM - AD'=6 - 4=2，
在Rt△MD'H中，D'H=√(MD'² + MH²)=√(2² + 2²)=2√2；
【答案】
(1) 四边形D'BCE是平行四边形；
(2) BG=2AG；
(3) D'H=2√2；
【知识点】
平行四边形性质、折叠性质、等腰直角三角形
【点评】
本题融合平行四边形、折叠、等腰直角三角形等知识点，解题关键是利用折叠前后对应边/角相等，结合平行四边形性质推导线段关系，需熟练掌握几何图形的判定与性质，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.4
