24.(12分)如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,其中$AC=2$,$BD=2\sqrt{3}$,过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$。
(1)若$AC⊥ BD$,求边$AB$的长。
(2)在第(1)小题的条件下,点$F$为线段$BD$上的动点,连结$AF$,$EF$,当$△ AFE$的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$时,求线段$OF$的长。
(3)设$BE=x$,$BC=y$,当$x$,$y$值变化时,代数式$xy$的值是否发生变化?请说明理由。

24.(1)在□ABCD中,AC⊥BD,所以AO=1/2 AC=1,BO=1/2 BD=√3,所以AB=√(AO²+OB²)=√(1+3)=2；(2)由(1)易得AB=AC=BC=2,BD=2√3,所以△ABC是等边三角形,所以∠BCD=120°,∠ABC=∠ADC=2∠CBD=2∠CDB=60°,AE=√3。因为S△AEF=√3/2,即△AEF边AE上的高为1,①当点F在AE左侧,此时点F与点B重合时满足条件,即OF=OB=√3;②当点F在AE右侧,如图,过点C作AE的平行线,交BD于点F',点F'为满足要求的点,所以∠F'CD=∠F'DC=30°,即F'C=F'D。设OF=a,则CF'=F'D=3−a,故Rt△OF'C中有a²+1=(√3−a)²,解得a=√3/3,所以OF=√3或√3/3；(3)不变。理由如下:如图,过点D作BC延长线的垂线,垂足为点H。在□ABCD中,AB=CD,因为AE⊥BC,所以AE=DH,∠AEB=∠DHC=90°,所以Rt△AEB≌Rt△DHC(HL),所以CH=BE=x。在Rt△AEC中,AE²=AC²−CE²=4−(y−x)²,在Rt△DBH中,DH²=DB²−BH²=12−(x+y)²,由AE²=DH²,得4−(y−x)²=12−(x+y)²,所以4+2xy=12−2xy,即xy=2。

【分析】
第(1)问利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合AC⊥BD得到直角三角形，用勾股定理计算AB；第(2)问由(1)推出△ABC为等边三角形，求出AE长度，根据△AEF面积得F到AE的距离，分两种情况结合平行四边形性质和勾股定理求OF；第(3)问通过作辅助线构造全等三角形，用勾股定理建立等式化简，判断xy为定值。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=2，BD=2√3，
∴AO=1/2 AC=1，BO=1/2 BD=√3，
又AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB=√(AO²+BO²)=√(1²+(√3)²)=2；
(2) 由(1)知AB=2，结合AC=2，得△ABC是等边三角形，AE为BC边上的高，AE=√(AB²-BE²)=√3，
∵S△AEF=√3/2，设F到AE的距离为h，则1/2×AE×h=√3/2，代入AE=√3得h=1，
①当F在AE左侧时，F与B重合，OF=OB=√3；
②当F在AE右侧时，设OF=a，由勾股定理得a²+1²=(√3 -a)²，解得a=√3/3，故OF=√3/3；
综上，OF的长为√3或√3/3；
(3) xy的值不变，理由：过D作DH⊥BC延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，又AE⊥BC，DH⊥BH，
∴∠AEB=∠DHC=90°，Rt△AEB≌Rt△DHC(HL)，得CH=BE=x，
则BH=y+x，CE=y-x，
在Rt△AEC中，AE²=AC²-CE²=4-(y-x)²，
在Rt△DBH中，DH²=BD²-BH²=12-(x+y)²，
∵AE=DH，
∴4-(y-x)²=12-(x+y)²，
展开化简得4+2xy=12-2xy，即xy=2，故xy的值不变；
【答案】
(1) AB=2；(2) OF的长为√3或√3/3；(3) xy的值不变，xy=2
【知识点】
平行四边形性质、勾股定理、三角形面积
【点评】
本题为平行四边形综合题，融合勾股定理、全等三角形判定等知识点，分层次考查几何推理与计算能力，辅助线构造是解题关键，需逐步分析各条件间的关系。
【难度系数】
0.5