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20.(8分)已知$a=\sqrt{3}+1,b=\sqrt{3}-1$,求$a^2 - b^2$和$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值。
答案
20.$4\sqrt{3},4$。
解析
【分析】
要计算$a^2 - b^2$和$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值，可利用代数公式简化运算：①$a^2 - b^2$符合平方差公式，变形为$(a+b)(a-b)$，先计算$a+b$和$a-b$再相乘；②$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$通分后为$\frac{a^2 + b^2}{ab}$，其中$a^2 + b^2$可利用完全平方公式变形为$(a+b)^2 - 2ab$，先计算$ab$、$a+b$，再代入计算，避免直接代入复杂根式运算。
【解析】
1. 计算$a^2 - b^2$：
已知$a=\sqrt{3}+1$，$b=\sqrt{3}-1$，
则$a+b=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}$，
$a-b=(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)=2$，
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，
代入得：$a^2 - b^2=2\sqrt{3}×2=4\sqrt{3}$。
2. 计算$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$：
先通分：$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2 + b^2}{ab}$，
计算$ab$：$ab=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2 -1^2=3-1=2$，
计算$a^2 + b^2$：利用完全平方公式变形$a^2 + b^2=(a+b)^2 -2ab$，
代入$a+b=2\sqrt{3}$，$ab=2$得：$a^2 + b^2=(2\sqrt{3})^2 -2×2=12-4=8$，
因此$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{8}{2}=4$。
【答案】
$4\sqrt{3},4$
【知识点】
平方差公式、分式运算、完全平方公式
【点评】
本题考查代数公式的灵活应用，通过公式变形简化了根式运算，避免直接代入复杂计算，体现了数学运算的简洁性，是初中代数的基础题型，需熟练掌握相关公式的变形与应用。
【难度系数】
0.7
要计算$a^2 - b^2$和$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值，可利用代数公式简化运算：①$a^2 - b^2$符合平方差公式，变形为$(a+b)(a-b)$，先计算$a+b$和$a-b$再相乘；②$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$通分后为$\frac{a^2 + b^2}{ab}$，其中$a^2 + b^2$可利用完全平方公式变形为$(a+b)^2 - 2ab$，先计算$ab$、$a+b$，再代入计算，避免直接代入复杂根式运算。
【解析】
1. 计算$a^2 - b^2$：
已知$a=\sqrt{3}+1$，$b=\sqrt{3}-1$，
则$a+b=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}$，
$a-b=(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)=2$，
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，
代入得：$a^2 - b^2=2\sqrt{3}×2=4\sqrt{3}$。
2. 计算$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$：
先通分：$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2 + b^2}{ab}$，
计算$ab$：$ab=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2 -1^2=3-1=2$，
计算$a^2 + b^2$：利用完全平方公式变形$a^2 + b^2=(a+b)^2 -2ab$，
代入$a+b=2\sqrt{3}$，$ab=2$得：$a^2 + b^2=(2\sqrt{3})^2 -2×2=12-4=8$，
因此$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{8}{2}=4$。
【答案】
$4\sqrt{3},4$
【知识点】
平方差公式、分式运算、完全平方公式
【点评】
本题考查代数公式的灵活应用，通过公式变形简化了根式运算，避免直接代入复杂计算，体现了数学运算的简洁性，是初中代数的基础题型，需熟练掌握相关公式的变形与应用。
【难度系数】
0.7
21.(8分)已知二次根式$\sqrt{x+2}$。
(1)求使得该二次根式有意义的$x$的取值范围；
(2)已知$\sqrt{x+2}$是最简二次根式，且与$\sqrt{\frac{5}{2}}$可以合并。
①求$x$的值；②求$\sqrt{x+2}$与$\sqrt{\frac{5}{2}}$的乘积。
(1)求使得该二次根式有意义的$x$的取值范围；
(2)已知$\sqrt{x+2}$是最简二次根式，且与$\sqrt{\frac{5}{2}}$可以合并。
①求$x$的值；②求$\sqrt{x+2}$与$\sqrt{\frac{5}{2}}$的乘积。
答案
21.(1)$x≥-2$；(2)①8；②5。
解析
【分析】
本题围绕二次根式的相关性质展开，解题思路如下：
1. 对于二次根式有意义的问题，核心是利用“二次根式的被开方数必须是非负数”这一条件，直接列不等式求解x的范围；
2. 对于同类二次根式的问题，需先将非最简的二次根式化为最简形式，再根据“同类二次根式是化为最简后被开方数相同的二次根式”这一定义，建立等式求出x的值；
3. 计算两个二次根式的乘积时，运用二次根式的乘法法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），化简后得到结果。
【解析】
(1) 要使二次根式$\sqrt{x+2}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$x + 2 ≥ 0$，
解得：$x ≥ -2$。
(2) ① 先化简$\sqrt{\frac{5}{2}}$：
$\sqrt{\frac{5}{2}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$，
因为$\sqrt{x+2}$是最简二次根式，且与$\sqrt{\frac{5}{2}}$可合并，说明二者是同类二次根式，即最简形式下被开方数相同，因此：
$x + 2 = 10$，
解得：$x = 8$。
② 计算$\sqrt{x+2}$与$\sqrt{\frac{5}{2}}$的乘积：
将$x=8$代入得$\sqrt{x+2} = \sqrt{10}$，
则$\sqrt{10} × \sqrt{\frac{5}{2}} = \sqrt{10 × \frac{5}{2}} = \sqrt{25} = 5$。
【答案】
21.(1)$x≥-2$；(2)①8；②5。
【知识点】
二次根式有意义的条件、同类二次根式、二次根式的乘法
【点评】
本题考查二次根式的基础知识点，涵盖二次根式有意义的条件、同类二次根式的判定及二次根式的乘法运算，属于初中数学的基础题型，要求学生熟练掌握二次根式的基本性质与运算法则，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题围绕二次根式的相关性质展开，解题思路如下：
1. 对于二次根式有意义的问题，核心是利用“二次根式的被开方数必须是非负数”这一条件，直接列不等式求解x的范围；
2. 对于同类二次根式的问题，需先将非最简的二次根式化为最简形式，再根据“同类二次根式是化为最简后被开方数相同的二次根式”这一定义，建立等式求出x的值；
3. 计算两个二次根式的乘积时，运用二次根式的乘法法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），化简后得到结果。
【解析】
(1) 要使二次根式$\sqrt{x+2}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$x + 2 ≥ 0$，
解得：$x ≥ -2$。
(2) ① 先化简$\sqrt{\frac{5}{2}}$：
$\sqrt{\frac{5}{2}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$，
因为$\sqrt{x+2}$是最简二次根式，且与$\sqrt{\frac{5}{2}}$可合并，说明二者是同类二次根式，即最简形式下被开方数相同，因此：
$x + 2 = 10$，
解得：$x = 8$。
② 计算$\sqrt{x+2}$与$\sqrt{\frac{5}{2}}$的乘积：
将$x=8$代入得$\sqrt{x+2} = \sqrt{10}$，
则$\sqrt{10} × \sqrt{\frac{5}{2}} = \sqrt{10 × \frac{5}{2}} = \sqrt{25} = 5$。
【答案】
21.(1)$x≥-2$；(2)①8；②5。
【知识点】
二次根式有意义的条件、同类二次根式、二次根式的乘法
【点评】
本题考查二次根式的基础知识点，涵盖二次根式有意义的条件、同类二次根式的判定及二次根式的乘法运算，属于初中数学的基础题型，要求学生熟练掌握二次根式的基本性质与运算法则，难度适中。
【难度系数】
0.6
22.(10分)高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及。据研究，高空抛物下落的时间$ t $（单位：s）和高度$ h $（单位：m）近似满足公式$ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} $（不考虑风速的影响，$ g\approx10\ \mathrm{m/s}^2 $）。
(1)求从40 m高空抛物到落地的时间；(结果保留根号)
(2)已知高空抛物动能(单位：J)$ =10× $物体质量(单位：kg)$×$高度(单位：m)。某质量为0.2 kg的玩具在高空被抛出后经过4 s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由。(注：伤害无防护人体只需要65 J的动能)
(1)求从40 m高空抛物到落地的时间；(结果保留根号)
(2)已知高空抛物动能(单位：J)$ =10× $物体质量(单位：kg)$×$高度(单位：m)。某质量为0.2 kg的玩具在高空被抛出后经过4 s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由。(注：伤害无防护人体只需要65 J的动能)
答案
22.(1)当$h=40\ \mathrm{m}$时，$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×40}{10}}=2\sqrt{2}(\mathrm{s})$；
(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人。理由如下：当$t=4\ \mathrm{s}$时，$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2h}{10}}=4$，所以$h=80(\mathrm{m})$，所以高空抛物动能$=10×0.2×80=160(\mathrm{J})＞65\ \mathrm{J}$，所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人。
(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人。理由如下：当$t=4\ \mathrm{s}$时，$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2h}{10}}=4$，所以$h=80(\mathrm{m})$，所以高空抛物动能$=10×0.2×80=160(\mathrm{J})＞65\ \mathrm{J}$，所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问直接将已知高度代入给定的时间公式，通过化简二次根式即可得到落地时间；第(2)问需先根据已知落地时间反推高度，再代入动能公式计算动能，最后与伤害人体所需的动能阈值比较，判断是否会造成伤害。解题核心是准确代入公式、正确计算数值并完成大小比较。
【解析】
(1) 当$ h=40\ \mathrm{m} $时，将$ h=40 $、$ g\approx10\ \mathrm{m/s}^2 $代入时间公式$ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} $：
$ t=\sqrt{\frac{2×40}{10}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}(\mathrm{s}) $；
(2) 当$ t=4\ \mathrm{s} $时，先由时间公式求高度$ h $：
$ \sqrt{\frac{2h}{10}}=4 $，两边平方得$ \frac{2h}{10}=16 $，解得$ h=80(\mathrm{m}) $；
再计算玩具的动能：
动能$ =10×0.2×80=160(\mathrm{J}) $，因为$ 160\ \mathrm{J}＞65\ \mathrm{J} $，所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人。
【答案】
22.(1)从40 m高空抛物到落地的时间为$ 2\sqrt{2}\ \mathrm{s} $；(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由：当$ t=4\ \mathrm{s} $时，$ h=80\ \mathrm{m} $，动能为$ 10×0.2×80=160\ \mathrm{J}＞65\ \mathrm{J} $，故会伤害行人。
【知识点】
二次根式的应用、实际问题的计算
【点评】
本题结合高空抛物的实际安全问题，考查公式的代入运算，难度适中，需学生准确理解公式含义，完成数值计算与大小比较，体现了数学与物理知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问直接将已知高度代入给定的时间公式，通过化简二次根式即可得到落地时间；第(2)问需先根据已知落地时间反推高度，再代入动能公式计算动能，最后与伤害人体所需的动能阈值比较，判断是否会造成伤害。解题核心是准确代入公式、正确计算数值并完成大小比较。
【解析】
(1) 当$ h=40\ \mathrm{m} $时，将$ h=40 $、$ g\approx10\ \mathrm{m/s}^2 $代入时间公式$ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} $：
$ t=\sqrt{\frac{2×40}{10}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}(\mathrm{s}) $；
(2) 当$ t=4\ \mathrm{s} $时，先由时间公式求高度$ h $：
$ \sqrt{\frac{2h}{10}}=4 $，两边平方得$ \frac{2h}{10}=16 $，解得$ h=80(\mathrm{m}) $；
再计算玩具的动能：
动能$ =10×0.2×80=160(\mathrm{J}) $，因为$ 160\ \mathrm{J}＞65\ \mathrm{J} $，所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人。
【答案】
22.(1)从40 m高空抛物到落地的时间为$ 2\sqrt{2}\ \mathrm{s} $；(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由：当$ t=4\ \mathrm{s} $时，$ h=80\ \mathrm{m} $，动能为$ 10×0.2×80=160\ \mathrm{J}＞65\ \mathrm{J} $，故会伤害行人。
【知识点】
二次根式的应用、实际问题的计算
【点评】
本题结合高空抛物的实际安全问题，考查公式的代入运算，难度适中，需学生准确理解公式含义，完成数值计算与大小比较，体现了数学与物理知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.6
