23.(10分)定义:若两个二次根式$m,n$满足$m · n = p$,且$p$是有理数,则称$m$与$n$是关于$p$的美好二次根式。
(1)若$m$与$\sqrt{2}$是关于6的美好二次根式,求$m$的值;
(2)若$1-\sqrt{3}$与$4+\sqrt{3}m$是关于$n$的美好二次根式,求$m$和$n$的值。

23.(1)由题意，得$m · \sqrt{2}=6$，所以$m=3\sqrt{2}$；(2)由题意，得$(1-\sqrt{3})(4+\sqrt{3}m)=n$，整理，得$4+\sqrt{3}m-4\sqrt{3}-3m=n$。因为$n$是有理数，$m$是二次根式，所以$n=4$，所以$(\sqrt{3}-3)m=4\sqrt{3}$，解得$m=-2-2\sqrt{3}$。

【分析】
本题是新定义题型，需先明确“美好二次根式”的定义：若两个二次根式相乘结果为有理数，则称它们是关于该有理数的美好二次根式。解题思路为：根据定义将问题转化为二次根式的乘法运算，再结合有理数的性质（无理数项系数为0）求解。第(1)问直接利用定义列等式求m；第(2)问先展开乘积，整理后根据n为有理数的条件求出m和n。
【解析】
(1) 根据“美好二次根式”的定义，得：
$ m · \sqrt{2} = 6 $
对等式变形求解：
$ m = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2} · \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} $
(2) 根据“美好二次根式”的定义，得：
$ (1 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}m) = n $
展开并整理左边的式子：
$\begin{aligned}(1 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}m) &= 1 × 4 + 1 × \sqrt{3}m - \sqrt{3} × 4 - \sqrt{3} × \sqrt{3}m \\&= 4 + \sqrt{3}m - 4\sqrt{3} - 3m \\&= (\sqrt{3} - 3)m + (4 - 4\sqrt{3})\end{aligned}$
因为n是有理数，所以含无理数$\sqrt{3}$的项必须为0，常数项即为n：
令$ n = 4 $，此时：
$ (\sqrt{3} - 3)m = 4\sqrt{3} $
求解m：
$m = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 3} = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{3} + 3)}{(\sqrt{3} - 3)(\sqrt{3} + 3)} = \frac{12 + 12\sqrt{3}}{-6} = -2 - 2\sqrt{3}$
【答案】
(1) $ m=3\sqrt{2} $；(2) $ m=-2-2\sqrt{3} $，$ n=4 $
【知识点】
二次根式的乘法运算、二次根式的化简、有理数的性质
【点评】
本题考查新定义下的二次根式运算，核心是理解“美好二次根式”的定义，将问题转化为二次根式的乘法与化简，利用有理数的性质（无理数项系数为0）求解，对学生的运算能力和新定义应用能力有一定要求，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5