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24.(12分)观察以下式子:记$x_n=(1+n\sqrt{2})^2$,则
①$x_1^2 - x_0^2=(1+\sqrt{2})^2 - 1^2=(1+\sqrt{2}+1)(1+\sqrt{2}-1)=2+2\sqrt{2}$；
②$x_1^2 - x_1^2=(1+2\sqrt{2})^2 - (1+\sqrt{2})^2=6+2\sqrt{2}$；……
【计算观察】
(1)$x_3^2 - x_2^2=$
【归纳验证】
(2)猜想:$x_n^2 - x_{n-1}^2=$
【应用推广】
(3)令$M_n=x_n^2 - x_{n-1}^2$,计算$M_1+M_2+M_3+\dots+M_{20}$的值。
①$x_1^2 - x_0^2=(1+\sqrt{2})^2 - 1^2=(1+\sqrt{2}+1)(1+\sqrt{2}-1)=2+2\sqrt{2}$；
②$x_1^2 - x_1^2=(1+2\sqrt{2})^2 - (1+\sqrt{2})^2=6+2\sqrt{2}$；……
【计算观察】
(1)$x_3^2 - x_2^2=$
$10+2\sqrt{2}$
；$x_4^2 - x_3^2=$$14+2\sqrt{2}$
；(直接写出结果即可)【归纳验证】
(2)猜想:$x_n^2 - x_{n-1}^2=$
$4n-2+2\sqrt{2}$
($n$为正整数);并证明；【应用推广】
(3)令$M_n=x_n^2 - x_{n-1}^2$,计算$M_1+M_2+M_3+\dots+M_{20}$的值。
答案
24.(1)$10+2\sqrt{2}\ \ 14+2\sqrt{2}$ 解析:$x_3^2 - x_2^2=(1+3\sqrt{2})^2-(1+2\sqrt{2})^2=(1+3\sqrt{2}+1+2\sqrt{2})(1+3\sqrt{2}-1-2\sqrt{2})=(2+5\sqrt{2})×\sqrt{2}=10+2\sqrt{2}$，$x_4^2 - x_3^2=(1+4\sqrt{2})^2-(1+3\sqrt{2})^2=(1+4\sqrt{2}+1+3\sqrt{2})(1+4\sqrt{2}-1-3\sqrt{2}=(2+7\sqrt{2})×\sqrt{2}=14+2\sqrt{2}$；(2)$4n-2+2\sqrt{2}$ 证明如下:$x_n^2 - x_{n-1}^2=(1+n\sqrt{2})^2-[1+(n-1)\sqrt{2}]^2=[1+n\sqrt{2}+1+(n-1)\sqrt{2}][1+n\sqrt{2}-1-(n-1)\sqrt{2}]=[2+(2n-1)\sqrt{2}]×\sqrt{2}=4n-2+2\sqrt{2}$；(3)$M_1+M_2+M_3+\dots+M_{20}=2+2\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}+10+2\sqrt{2}+\dots+78+2\sqrt{2}=\frac{(2+78)×20}{2}+20×2\sqrt{2}=800+40\sqrt{2}$。
解析
【分析】
本题主要考查平方差公式的应用、归纳推理及代数式求和。解题思路如下：
1. 计算(1)时，利用题目示例提示的平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，将$x_n=(1+n\sqrt{2})^2$代入展开化简，直接得到结果；
2. 猜想(2)时，先计算前几个$x_n^2 -x_{n-1}^2$的结果，观察整数部分的规律，再通过代数展开证明猜想的正确性；
3. 计算(3)时，先明确$M_n$的表达式，将求和拆分为含$n$的等差数列求和和常数项求和，分别计算后合并结果。
【解析】
(1) 根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$：
$x_3^2 - x_2^2=(1+3\sqrt{2})^2 - (1+2\sqrt{2})^2=(1+3\sqrt{2}+1+2\sqrt{2})(1+3\sqrt{2}-1-2\sqrt{2})=(2+5\sqrt{2})×\sqrt{2}=10+2\sqrt{2}$；
$x_4^2 - x_3^2=(1+4\sqrt{2})^2 - (1+3\sqrt{2})^2=(1+4\sqrt{2}+1+3\sqrt{2})(1+4\sqrt{2}-1-3\sqrt{2})=(2+7\sqrt{2})×\sqrt{2}=14+2\sqrt{2}$；
(2) 猜想：$x_n^2 - x_{n-1}^2=4n-2+2\sqrt{2}$，证明如下：
$x_n^2 - x_{n-1}^2=(1+n\sqrt{2})^2 - [1+(n-1)\sqrt{2}]^2$
$=[1+n\sqrt{2}+1+(n-1)\sqrt{2}][1+n\sqrt{2}-1-(n-1)\sqrt{2}]$
$=[2+(2n-1)\sqrt{2}]×\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2}+(2n-1)×2$
$=4n-2+2\sqrt{2}$，猜想成立；
(3) 由(2)知$M_n=4n-2+2\sqrt{2}$，则：
$M_1+M_2+\dots+M_{20}=\sum_{n=1}^{20}(4n-2+2\sqrt{2})$
$=\sum_{n=1}^{20}(4n-2) + \sum_{n=1}^{20}2\sqrt{2}$
计算$\sum_{n=1}^{20}(4n-2)=4×\frac{20×21}{2} - 2×20=840 -40=800$；
$\sum_{n=1}^{20}2\sqrt{2}=20×2\sqrt{2}=40\sqrt{2}$；
所以总和为$800 +40\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$10+2\sqrt{2}$；$14+2\sqrt{2}$；(2)$4n-2+2\sqrt{2}$；(3)$800+40\sqrt{2}$
【知识点】
平方差公式，代数式化简，数列求和
【点评】
本题是结合平方差公式的归纳推理题，既考查基础代数运算能力，又要求学生具备从特殊到一般的归纳猜想能力，第三问拆分表达式求和是关键步骤，整体难度适中，适合初中阶段学生练习。
【难度系数】
0.5
本题主要考查平方差公式的应用、归纳推理及代数式求和。解题思路如下：
1. 计算(1)时，利用题目示例提示的平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，将$x_n=(1+n\sqrt{2})^2$代入展开化简，直接得到结果；
2. 猜想(2)时，先计算前几个$x_n^2 -x_{n-1}^2$的结果，观察整数部分的规律，再通过代数展开证明猜想的正确性；
3. 计算(3)时，先明确$M_n$的表达式，将求和拆分为含$n$的等差数列求和和常数项求和，分别计算后合并结果。
【解析】
(1) 根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$：
$x_3^2 - x_2^2=(1+3\sqrt{2})^2 - (1+2\sqrt{2})^2=(1+3\sqrt{2}+1+2\sqrt{2})(1+3\sqrt{2}-1-2\sqrt{2})=(2+5\sqrt{2})×\sqrt{2}=10+2\sqrt{2}$；
$x_4^2 - x_3^2=(1+4\sqrt{2})^2 - (1+3\sqrt{2})^2=(1+4\sqrt{2}+1+3\sqrt{2})(1+4\sqrt{2}-1-3\sqrt{2})=(2+7\sqrt{2})×\sqrt{2}=14+2\sqrt{2}$；
(2) 猜想：$x_n^2 - x_{n-1}^2=4n-2+2\sqrt{2}$，证明如下：
$x_n^2 - x_{n-1}^2=(1+n\sqrt{2})^2 - [1+(n-1)\sqrt{2}]^2$
$=[1+n\sqrt{2}+1+(n-1)\sqrt{2}][1+n\sqrt{2}-1-(n-1)\sqrt{2}]$
$=[2+(2n-1)\sqrt{2}]×\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2}+(2n-1)×2$
$=4n-2+2\sqrt{2}$，猜想成立；
(3) 由(2)知$M_n=4n-2+2\sqrt{2}$，则：
$M_1+M_2+\dots+M_{20}=\sum_{n=1}^{20}(4n-2+2\sqrt{2})$
$=\sum_{n=1}^{20}(4n-2) + \sum_{n=1}^{20}2\sqrt{2}$
计算$\sum_{n=1}^{20}(4n-2)=4×\frac{20×21}{2} - 2×20=840 -40=800$；
$\sum_{n=1}^{20}2\sqrt{2}=20×2\sqrt{2}=40\sqrt{2}$；
所以总和为$800 +40\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$10+2\sqrt{2}$；$14+2\sqrt{2}$；(2)$4n-2+2\sqrt{2}$；(3)$800+40\sqrt{2}$
【知识点】
平方差公式，代数式化简，数列求和
【点评】
本题是结合平方差公式的归纳推理题，既考查基础代数运算能力，又要求学生具备从特殊到一般的归纳猜想能力，第三问拆分表达式求和是关键步骤，整体难度适中，适合初中阶段学生练习。
【难度系数】
0.5
