21. 提升题 【发现问题】如图①所示,小明在做光的折射实验时发现:平行于主光轴 $MN$ 的光线 $AB$ 和 $CD$ 经过凹透镜的折射后,折射光线 $BE,DF$ 的反向延长线交于主光轴 $MN$ 上一点 $P$.

【提出问题】$∠ BPD,∠ ABP$ 和 $∠ CDP$ 之间存在着怎样的数量关系?
【分析问题】已知平行,可以利用平行线的性质,把 $∠ BPD$ 分成两部分进行探究.
【解决问题】
(1) 探究一:请你帮小明解决这个问题,并说明理由.
(2) 探究二:如图②所示,$∠ P,∠ AMP,∠ CNP$ 的数量关系为;如图③所示,若 $∠ B=25^{\circ},∠ C=60^{\circ},AE // CD$,则 $∠ BAE=$.
(3) 利用探究一得到的结论解决问题:如图④所示,射线 $ME,NF$ 分别平分 $∠ BMP$ 和 $∠ CNP,ME$ 交直线 $CD$ 于点 $E,NF$ 与 $∠ AMP$ 内部的一条射线 $MF$ 交于点 $F$. 若 $∠ P=2 ∠ F$,求 $∠ FME$ 的度数.

解：（1）∠BPD=∠ABP+∠CDP.理由如下：

如图①所示
∵AB//MN//CD，
∴∠ABP=∠BPN,∠DPN=∠CDP
∴∠BPN+∠DPN=∠ABP+∠CDP.
即∠BPD=∠ABP+∠CDP.
结论：∠BPD=∠ABP+∠CDP.
（2）如图②所示，∠AMP=∠P+∠CNP，理由如下：

∵AB//CD，∴∠MKP=∠CNP
∵∠AMP=∠P+∠MKP
∴∠AMP=∠P+∠CNP
如图③所示，延长EA交BC于点L

∵AE//CD∴∠ALC=∠C=60°。
∴∠ALB=180°-∠ALC=120°
∴∠BAE=∠B+∠ALE=145°
（3）∵射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，∴∠PME=1/2∠PMB，∠CNF=∠PNF
如图④所示，由探究一的结论，得∠P=∠AMF+∠PMF+∠CNF＋∠PNF，
∠F=∠AMF+∠CNF,
∵∠P=2∠F，∴∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF=2∠AMF+2∠CNF
∴∠AMF+∠PMF=2∠AMF
∴∠PMF=∠AMF=1/2∠AMP
∴∠PMF+∠PME=1/2（∠AMP+∠PMB）
∴∠FME=1/2∠AMB=1/2×180°=90°

(1)探究一：
过点$P$作$PQ// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore PQ// AB// CD$，
$\therefore∠ AMP=∠ MPQ$，$∠ PNC=∠ NPQ$，
$\therefore∠ MPN=∠ MPQ+∠ NPQ=∠ AMP+∠ PNC$。
(2)探究二：
$∠ P=∠ CNP - ∠ AMP$；
过点$E$作$EF// BC$，
$\because AE// CD$，
$\therefore EF// BC// AD$，
$\because∠ B = 25^{\circ}$，$∠ C=60^{\circ}$，
$\therefore∠ BEF=∠ B = 25^{\circ}$，$∠ CEF=∠ C = 60^{\circ}$，
$\therefore∠ AEB=180^{\circ}-∠ BEF-\left ( 180^{\circ}-∠ CEF\right ) =∠ CEF-∠ BEF=∠ C-∠ B = 35^{\circ}$，
本题