一、选择题
1. 下列工具中，能够抽象出对顶角的是()

A.
B.
C.
D.

B

2. 下列实数中，是无理数的是()

A.$0$
B.$\sqrt{36}$
C.$\frac{π}{3}$
D.$3.14159265$

C

无理数是指无限不循环小数，需要根据定义逐一分析选项：
选项A：$0$是整数，属于有理数。
选项B：$\sqrt{36} = 6$，是整数，属于有理数。
选项C：$\frac{π}{3}$，因为$π$是无限不循环小数，所以$\frac{π}{3}$也是无限不循环小数，是无理数。
选项D：$3.14159265$是有限小数，属于有理数。

3. 学校为了了解七年级学生喜欢的课外书中语文课外阅读书、数学辅导书及英语读物所占的比例，通常采用的统计图是()

A.条形图
B.扇形图
C.折线图
D.以上均可

B

要了解各部分数量占总数的比例，扇形图能直观反映部分与整体的关系，条形图侧重数量多少，折线图侧重变化趋势，故应选扇形图。

4. 将一副三角尺(厚度不计)按图示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则$∠ 1$的大小为()


A.$135^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$105^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

C

一副三角尺的角度分别为45°、45°、90°和30°、60°、90°。有刻度的两条直角边互相平行，设上面三角尺的45°角与下面三角尺的60°角的边相交形成∠1。过∠1顶点作平行线，根据平行线性质，∠1等于45°与60°之和，即∠1=45°+60°=105°。

5. 某企业要购进两款机器狗共$5$只，已知$A$款的单价是$1.3$万元，$B$款的单价是$1$万元，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过$6.2$万元，则$A$款最多可以购进()

A.$1$只
B.$2$只
C.$3$只
D.$4$只

D

设购进A款机器狗$x$只，则购进B款机器狗$(5 - x)$只。根据题意，得$1.3x + 1×(5 - x) ≤ 6.2$，解得$x ≤ 4$。因为$x$为正整数，所以$x$最大为4。

6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》有这样一题：“甲乙二人沽酒，不知谁少谁多.乙钞少半甲相和，二百无零堪可.乙得甲钱中半，亦然二百无那，英贤算得的无讹，将甚法儿方可.”其大意：甲、乙两人买酒，不知谁买多买少.只知乙买酒钱的$\frac{1}{3}$与甲买酒钱之和恰好为$200$文，若乙得到甲买酒钱的一半，也有$200$文，试问甲、乙买酒各用了多少钱.才智出众的人算得无误，就称为好解法.设甲买酒钱为$x$文，乙买酒钱为$y$文，则可列方程组为()

A.$\begin{cases}\frac{1}{3}x + y = 200, \\x + \frac{1}{2}y = 200\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + \frac{1}{3}y = 200, \frac{1}{2}x + y = 200\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 200 - \frac{1}{3}y, \frac{1}{2}y = 200 - x\end{cases}$
D.$\begin{cases}\frac{1}{3}x = 200 - y, \frac{1}{2}y = x - 200\end{cases}$

B

根据题意，“乙买酒钱的$\frac{1}{3}$与甲买酒钱之和恰好为200文”，可列方程$x + \frac{1}{3}y = 200$；“乙得到甲买酒钱的一半，也有200文”，即乙的钱加上甲钱的一半为200文，可列方程$\frac{1}{2}x + y = 200$。所以方程组为$\begin{cases}x + \frac{1}{3}y = 200, \\frac{1}{2}x + y = 200\end{cases}$。

7. “两直线平行，内错角相等”这一命题的题设为.

两直线平行

8. 在三角形$ABC$中，$D$为线段$BC$上一动点.

(1) 当$∠ ADB = 50^{\circ}$时，可得$∠ ADC = 130^{\circ}$，依据是；
(2) 当$∠ ADB = 90^{\circ}$时，在线段$AB$，$AC$和$AD$中，线段$AD$的长度最短，理由是.

(1) 邻补角互补
(2) 垂线段最短