9. 为解决供水问题，需铺设一条长2400m的管道，实际施工时……。设实际每天铺设管道$ x $m，可得方程$\frac{2400}{x - 20} - \frac{2400}{x} = 6$。根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为……（）

A.每天比原计划少铺设20m，结果延期6天完成
B.每天比原计划多铺设20m，结果提前6天完成
C.每天比原计划少铺设6m，结果延期20天完成
D.每天比原计划多铺设6m，结果提前20天完成

9.B 解析:因为利用工作时间列出方程:$\frac{2400}{x-20}-\frac{2400}{x}=6$,所以缺失的条件为每天比原计划多铺设20m,结果提前6天完成。故选B。

【分析】
要解决这道题，需先明确方程中各代数式的实际意义：设实际每天铺设管道$ x $m，那么$ x-20 $是原计划每天铺设的长度；$\frac{2400}{x-20}$是原计划完成任务的天数，$\frac{2400}{x}$是实际完成任务的天数。方程中两者的差为6，说明原计划用时比实际用时多6天，即实际比原计划提前6天完成，同时实际每天比原计划多铺设20m，据此可判断缺失的条件。
【解析】
设实际每天铺设管道$ x $m，则原计划每天铺设管道$(x-20)$m。
原计划完成任务的时间为$\frac{2400}{x-20}$天，实际完成任务的时间为$\frac{2400}{x}$天。
根据方程$\frac{2400}{x - 20} - \frac{2400}{x} = 6$，可知原计划用时减去实际用时等于6天，即实际比原计划提前6天完成，且实际每天比原计划多铺设20m，因此缺失的条件为“每天比原计划多铺设20m，结果提前6天完成”，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的应用；工程问题
【点评】
本题考查分式方程在工程问题中的实际应用，核心是理解方程中各代数式对应的实际意义，理清时间差所表示的“提前”关系，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

10.如图,一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后,其折射光线与另一束经过光心O的光线相交于点P,F为焦点。若∠1=α,∠2=β,则∠3的度数表示为 ……（）

A.α−β
B.2α−β
C.$180°+α-β$
D.$180°-α+β$

10.D 解析:由题意可知$∠1+∠OFP=180°$。因为$∠1=α$,所以$∠OFP=180°-α$。因为$∠2=∠POF=β$,所以$∠3=180°-α+β$。故选D。

【分析】
要解决本题，需结合凸透镜的特殊光线性质：平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过焦点，经过光心的光线传播方向不变。先明确各角的关系：经过光心的光线与主光轴形成的内错角相等，平行光线的折射光线与入射光线的夹角和折射光线与主光轴的邻角互补，再通过角度关系推导∠3的度数。
【解析】
1. 根据凸透镜性质，平行于主光轴的光线经折射后过焦点，入射光线（平行主光轴）与折射光线的夹角∠1和折射光线与主光轴的夹角∠OFP为邻补角，因此$∠1 + ∠ OFP = 180°$。已知$∠1=α$，代入得$∠ OFP = 180° - α$。
2. 经过光心O的光线传播方向不变，因此∠2与∠POF是内错角，大小相等，即$∠ POF = ∠2 = β$。
3. 在△OPF中，结合角度关系可得$∠3 = 180° - ∠ OFP + ∠ POF$，将$∠ OFP=180°-α$、$∠ POF=β$代入，得$∠3 = 180° - (180° - α) + β = 180° - α + β$。
【答案】
D
【知识点】
凸透镜的光学性质、角度计算
【点评】
本题结合凸透镜特殊光线的光学性质，利用几何中的邻补角、内错角关系推导角度，考查学生对光学与几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.5

二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 因式分解：$2x^2 - x = \_\_\_\_\_\_$。

11.$x(2x-1)$

【分析】本题考查因式分解的提公因式法，解题思路是先观察多项式的各项，找出共有的公因式，再将公因式提取出来完成因式分解。对于多项式$2x^2 - x$，两项都含有公因式$x$，提取该公因式即可得到结果。
【解析】对多项式$2x^2 - x$因式分解，先确定公因式为$x$，提取公因式后剩余部分为$2x - 1$，因此$2x^2 - x = x(2x - 1)$。
【答案】$x(2x-1)$
【知识点】因式分解-提公因式法
【点评】本题是基础的因式分解题目，直接考查提公因式法的应用，属于代数基础题型，主要检验学生对因式分解基本方法的掌握情况，难度较低。
【难度系数】0.9

12.将$2x+3y=2$变形,用含$x$的代数式表示$y$,那么$y=$。

12.$\dfrac{2-2x}{3}$

【分析】
要将方程$2x + 3y = 2$变形为用含$x$的代数式表示$y$，需利用等式的基本性质，把$y$单独整理到等号一侧：先移项将含$x$的项移到等号另一侧，再把$y$的系数化为1，即可得到结果。
【解析】
对$2x + 3y = 2$变形：
1. 移项：将$2x$移到等号右边，得$3y = 2 - 2x$；
2. 系数化为1：两边同时除以3，得$y = \dfrac{2 - 2x}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2 - 2x}{3}$
【知识点】
二元一次方程变形、等式的基本性质
【点评】
本题是二元一次方程的基础变形题，考察等式基本性质的应用，属于必须掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.9

13.如图,将三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置,已知点A,D之间的距离为1,BC=3,则BF的长是。

13.4

【分析】
要解决这道题，需运用图形平移的性质：图形平移后，对应点所连线段的长度等于平移距离。本题中△ABC沿BC方向平移到△DEF，点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F，因此平移距离为AD的长度，即AD=BE=CF=1。观察线段BF，它由BC和CF组成，结合已知BC=3，即可计算出BF的长度。
【解析】
根据平移的性质，△ABC平移到△DEF时，对应点的连线长度等于平移距离，因此BE=CF=AD=1。
已知BC=3，BF = BC + CF = 3 + 1 = 4。
【答案】
4
【知识点】
图形的平移性质
【点评】
本题考查平移的基本性质，属于基础题型，核心是理解平移后对应点连线长度等于平移距离，进而计算线段长度，难度较低。
【难度系数】
0.7

14.一次数学测试后,某班50名学生的成绩被分为5组,第1至4组的频数分别为13,9,8,10,则第5组的频率是。

14.0.2

【分析】首先明确频数与频率的核心关系：各小组频数之和等于数据总个数，某组的频率=该组的频数÷数据总个数。解题思路为：先计算前4组的频数总和，再用总人数减去该和得到第5组的频数，最后根据频率公式计算结果。
【解析】已知总人数（总频数）为50，第1至4组的频数分别为13、9、8、10，先计算前4组的频数和：13+9+8+10=40；再求出第5组的频数：50-40=10；最后根据频率公式计算第5组的频率：10÷50=0.2。
【答案】0.2
【知识点】频数与频率
【点评】本题考查统计中频数与频率的基础计算，属于入门级题型，只要掌握频数总和、频率的基本公式即可轻松解答，是对基础概念的直接应用。
【难度系数】0.8

15.规定:若实数$a,b,c$满足$a^c = b(a＞0$且$a≠1,b＞0)$,则记作$[a,b]=c$。例如:$3^2=9$,则$[3,9]=2$。若$[2,3]=m,[2,5]=n,[2,p]=t$,且$m+n=t$,则$p$的值是$\underline{\hspace{5cm}}$。

15.15 解析:因为$[2,3]=m,[2,5]=n,[2,p]=t$,所以$2^m=3$,$2^n=5,2^t=p$,所以$2^m·2^n=2^{m+n}=15$,因为$m+n=t$,所以$2^{m+n}=2^t=15$,所以$p=15$。故答案为15。

【分析】首先明确题目中的新定义：若[a,b]=c，则等价于$a^c = b$（$a＞0$且$a≠1,b＞0$）。根据该定义，将题目中的$[2,3]=m$、$[2,5]=n$、$[2,p]=t$转化为对应的指数式，再结合同底数幂的乘法法则，利用已知条件$m+n=t$，即可求出$p$的值。
【解析】根据新定义可得：
因为$[2,3]=m$，所以$2^m = 3$；
因为$[2,5]=n$，所以$2^n = 5$；
因为$[2,p]=t$，所以$2^t = p$。
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^m · 2^n = 2^{m+n}$
代入$2^m=3$、$2^n=5$，得$2^{m+n}=3×5=15$。
又因为$m+n=t$，所以$2^{m+n}=2^t$，即$2^t=15$。
结合$2^t=p$，可得$p=15$。
【答案】15
【知识点】新定义运算、同底数幂的乘法、指数运算
【点评】本题是新定义运算结合基础指数运算的题目，关键在于理解新定义的本质（将新符号转化为指数式），再利用同底数幂的乘法法则即可求解，难度较低，主要考察学生对新定义的理解能力和基础运算的掌握。
【难度系数】0.7

16. 如图,正方形$AEHG$,正方形$EBKF$和正方形$NKCM$摆放在长方形$ABCD$中,$AB=3$,$BC=4$,且$BK＞KC$。已知正方形$AEHG$与正方形$NKCM$的面积之和为$4.5$,则长方形$PFQD$的面积为$\underline{\hspace{8cm}}$。

16.$\dfrac{7}{4}$ 解析:设正方形$AEHG$的边长为$a$,正方形$NKCM$的边长为$b$。因为依题意得$AP=EF=BE=3-a$,$PD=CK=b$,$DQ=AE=a$,所以$AD=AP+PD=3-a+b$,长方形$PFQD$的面积为$PD·DQ=ab$。因为正方形$AEHG$与正方形$NKCM$的面积之和为4.5,所以$a^2+b^2=4.5$。因为在长方形$ABCD$中,$AB=3,BC=AD=4$,所以$3-a+b=4$,所以$b-a=1$,所以$(b-a)^2=1$,所以$a^2+b^2-2ab=1$,所以$4.5-2ab=1$,所以$ab=\dfrac{7}{4}$,所以长方形$PFQD$的面积为$\dfrac{7}{4}$。故答案为$\dfrac{7}{4}$。

【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设两个正方形的边长为未知数，结合长方形的边长关系找到未知数的联系，再利用完全平方公式求出目标长方形的面积。首先设正方形AEHG的边长为$a$，正方形NKCM的边长为$b$；接着根据长方形ABCD的边长$AB=3$、$BC=4$，推导出$b - a =1$，同时明确目标长方形PFQD的面积为$ab$；最后结合已知的两个正方形面积和$a^2 + b^2=4.5$，利用完全平方公式计算出$ab$的值，即为所求面积。
【解析】
设正方形$AEHG$的边长为$a$，正方形$NKCM$的边长为$b$。
1. 推导边长关系：因为四边形$EBKF$是正方形，所以$BK = EB$，而$EB = AB - AE = 3 - a$，故$BK = 3 - a$。又因为$BC = BK + KC$，且$KC = b$，$BC = 4$，因此$3 - a + b = 4$，整理得$b - a = 1$。
2. 确定目标长方形面积：长方形$PFQD$的长$PD = KC = b$，宽$DQ = AE = a$，所以其面积为$PD × DQ = ab$。
3. 结合已知条件计算：已知正方形$AEHG$与正方形$NKCM$的面积之和为$4.5$，即$a^2 + b^2 = 4.5$。根据完全平方公式$(b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2$，将$b - a =1$、$a^2 + b^2=4.5$代入得：$1^2 = 4.5 - 2ab$，解得$2ab = 4.5 -1 = 3.5$，即$ab = \frac{7}{4}$。
【答案】
$\dfrac{7}{4}$
【知识点】
完全平方公式、正方形面积、长方形面积
【点评】
本题是代数与几何结合的综合题，核心是通过设未知数建立边长关系，利用完全平方公式转化求解，关键在于找准图形中各线段的长度对应关系，将目标面积转化为求$ab$的值，需要学生具备一定的代数变形能力和几何图形分析能力。
【难度系数】
0.5

三、解答题(本大题有8个小题,共46分)
17.(4分)(1)计算:$(-1)^2 + 2^{-1}$。
(2)化简:$x^2 - (x + 1)(x - 1)$。

17.(1)$原式=1+\dfrac{1}{2}=1+0.5=1.5$。
(2)$原式=x^2-(x^2-1)=x^2-x^2+1=1$。

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需先计算有理数的乘方和负整数指数幂，再进行加法运算；第(2)问需利用平方差公式展开整式，再合并同类项化简，均为初中数学基础运算，需牢记相关运算法则和公式。
【解析】
(1) 计算乘方：$(-1)^2 = 1$；计算负整数指数幂：$2^{-1} = \frac{1}{2}$；则原式$=1 + \frac{1}{2} = 1.5$；
(2) 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，得$(x+1)(x-1)=x^2 -1$；去括号合并同类项：原式$=x^2 - (x^2 -1) = x^2 - x^2 +1 =1$。
【答案】
(1) $1.5$；(2) $1$
【知识点】
有理数的乘方、负整数指数幂、平方差公式
【点评】
本题为初中数学基础运算题，考查核心运算法则和公式，难度较低，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】
0.9