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18.(4 分)(1)解方程组：$\begin{cases} x+2y=12, \\ 4x-2y=-2 \end{cases}$。
(2)解方程：$\dfrac{x-1}{x-2}=3-\dfrac{1}{2-x}$。
(2)解方程：$\dfrac{x-1}{x-2}=3-\dfrac{1}{2-x}$。
答案
18.(1)$\begin{cases} x+2y=12 \ \ \ ①, \\ 4x-2y=-2 \ \ ②, \end{cases}$ ①+②得$5x=10$,解得$x=2$,将$x=2$代入①得$2+2y=12$,解得$y=5$,故原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=5 \end{cases}$。
(2)原方程去分母得$x-1=3x-6+1$,解得$x=2$,检验:当$x=2$时,$x-2=0$,则$x=2$是分式方程的增根,故原方程无解。
(2)原方程去分母得$x-1=3x-6+1$,解得$x=2$,检验:当$x=2$时,$x-2=0$,则$x=2$是分式方程的增根,故原方程无解。
解析
【分析】
1. 解二元一次方程组时，观察两个方程中y的系数互为相反数，采用加减消元法，将两式相加消去y，先求x的值，再代入原方程求y的值；
2. 解分式方程时，先将分母统一，确定最简公分母，去分母转化为整式方程求解，最后必须代入原分母检验，判断是否为增根，确定方程是否有解。
【解析】
(1) 解方程组：
$\begin{cases} x+2y=12 \ \ \ ①, \\ 4x-2y=-2 \ \ ②, \end{cases}$
①+②得：$5x=10$，
解得：$x=2$，
把$x=2$代入①得：$2+2y=12$，
解得：$y=5$，
故原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=5 \end{cases}$；
(2) 解方程：$\dfrac{x-1}{x-2}=3-\dfrac{1}{2-x}$，
原方程变形为：$\dfrac{x-1}{x-2}=3+\dfrac{1}{x-2}$，
去分母（两边同乘$x-2$）得：$x-1=3(x-2)+1$，
展开得：$x-1=3x-6+1$，
移项合并得：$-2x=-4$，
解得：$x=2$，
检验：当$x=2$时，$x-2=0$，则$x=2$是分式方程的增根，
故原方程无解。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=2, \\ y=5 \end{cases}$；
(2) 无解
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题考查二元一次方程组和分式方程的基础解法，加减消元法是解二元一次方程组的常用方法，解分式方程的核心是去分母转化为整式方程，且必须检验增根，整体难度较低，属于初中数学的基础题型。
【难度系数】
0.8
1. 解二元一次方程组时，观察两个方程中y的系数互为相反数，采用加减消元法，将两式相加消去y，先求x的值，再代入原方程求y的值；
2. 解分式方程时，先将分母统一，确定最简公分母，去分母转化为整式方程求解，最后必须代入原分母检验，判断是否为增根，确定方程是否有解。
【解析】
(1) 解方程组：
$\begin{cases} x+2y=12 \ \ \ ①, \\ 4x-2y=-2 \ \ ②, \end{cases}$
①+②得：$5x=10$，
解得：$x=2$，
把$x=2$代入①得：$2+2y=12$，
解得：$y=5$，
故原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=5 \end{cases}$；
(2) 解方程：$\dfrac{x-1}{x-2}=3-\dfrac{1}{2-x}$，
原方程变形为：$\dfrac{x-1}{x-2}=3+\dfrac{1}{x-2}$，
去分母（两边同乘$x-2$）得：$x-1=3(x-2)+1$，
展开得：$x-1=3x-6+1$，
移项合并得：$-2x=-4$，
解得：$x=2$，
检验：当$x=2$时，$x-2=0$，则$x=2$是分式方程的增根，
故原方程无解。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=2, \\ y=5 \end{cases}$；
(2) 无解
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题考查二元一次方程组和分式方程的基础解法，加减消元法是解二元一次方程组的常用方法，解分式方程的核心是去分母转化为整式方程，且必须检验增根，整体难度较低，属于初中数学的基础题型。
【难度系数】
0.8
19.(4分)先化简,再求值:$\frac{3x}{x^2 - x} - \frac{2x + 1}{x^2 - x}$,其中 $x=\frac{1}{2}$。
答案
19.$原式=\dfrac{3x}{x(x-1)}-\dfrac{2x+1}{x(x-1)}=\dfrac{3x-2x-1}{x(x-1)}=\dfrac{x-1}{x(x-1)}=\dfrac{1}{x}$,当$x=\dfrac{1}{2}$时,原式$=2$。
解析
【分析】首先观察原式中两个分式的分母相同，均为$x^2 - x$，先将分母因式分解为$x(x-1)$，利用同分母分式的减法法则合并分子，再对合并后的式子约分，最后将$x=\frac{1}{2}$代入化简后的式子计算结果。
【解析】先对分母因式分解，再按同分母分式减法法则计算，最后约分并代入求值：
$\begin{aligned}原式&=\frac{3x}{x(x-1)} - \frac{2x+1}{x(x-1)}\\&=\frac{3x - (2x + 1)}{x(x-1)}\\&=\frac{3x - 2x -1}{x(x-1)}\\&=\frac{x -1}{x(x-1)}\\&=\frac{1}{x} \quad (x≠0且x≠1)\end{aligned}$
当$x=\frac{1}{2}$时，原式$=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$。
【答案】2
【知识点】分式的加减运算、分式的化简求值
【点评】本题是分式化简求值的基础题，主要考查同分母分式的减法法则和约分的应用，解题时需注意约分的前提是分母不为0，代入求值时计算要准确。
【难度系数】0.6
【解析】先对分母因式分解，再按同分母分式减法法则计算，最后约分并代入求值：
$\begin{aligned}原式&=\frac{3x}{x(x-1)} - \frac{2x+1}{x(x-1)}\\&=\frac{3x - (2x + 1)}{x(x-1)}\\&=\frac{3x - 2x -1}{x(x-1)}\\&=\frac{x -1}{x(x-1)}\\&=\frac{1}{x} \quad (x≠0且x≠1)\end{aligned}$
当$x=\frac{1}{2}$时，原式$=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$。
【答案】2
【知识点】分式的加减运算、分式的化简求值
【点评】本题是分式化简求值的基础题，主要考查同分母分式的减法法则和约分的应用，解题时需注意约分的前提是分母不为0，代入求值时计算要准确。
【难度系数】0.6
20.(6分)某中学数学兴趣小组在开展主题为“绿色出行从我做起——学生上学方式”的调查活动,采取随机抽样的方式进行问卷调查,问卷调查结果分为“私家车接送”“乘公交车”“骑自行车”“步行”四种上学方式,数据整理如下表:
| 上学方式 | 私家车接送 | 乘公交车 | 步行 | 骑自行车 |
|------------|------------|----------|------|----------|
| 频数 | 54 |
| 12 | 42 |
| 频率 | 0.27 | $n$ | 0.06 | $m$ |
(1)本次问卷调查取样的样本容量为________,表中$m$的值为________。
(2)根据表中数据计算“骑自行车”上学的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数。
(3)若该中学有1500人,根据调查结果估计全校学生中“乘公交车”上学的人数。
| 上学方式 | 私家车接送 | 乘公交车 | 步行 | 骑自行车 |
|------------|------------|----------|------|----------|
| 频数 | 54 |
| 12 | 42 || 频率 | 0.27 | $n$ | 0.06 | $m$ |
(1)本次问卷调查取样的样本容量为________,表中$m$的值为________。
(2)根据表中数据计算“骑自行车”上学的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数。
(3)若该中学有1500人,根据调查结果估计全校学生中“乘公交车”上学的人数。
答案
20.(1)200 0.21
(2)“骑自行车”上学的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数为$360°×0.21=75.6°$。
(3)样本中“乘公交车”的频率为$\dfrac{92}{200}=0.46$,$1500×0.46=690$(人)。答:估计全校学生中“乘公交车”上学的人数为690人。
(2)“骑自行车”上学的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数为$360°×0.21=75.6°$。
(3)样本中“乘公交车”的频率为$\dfrac{92}{200}=0.46$,$1500×0.46=690$(人)。答:估计全校学生中“乘公交车”上学的人数为690人。
解析
【分析】
本题考查统计中样本容量、频数、频率的关系及应用，解题思路：①利用已知的私家车接送的频数和频率，通过“样本容量=频数÷频率”求出样本容量；②根据“频率=频数÷样本容量”计算m的值；③利用“扇形圆心角=频率×360°”计算骑自行车对应扇形的圆心角；④先求出样本中乘公交车的频率，再用“总体人数×样本频率”估计全校乘公交车的人数。
【解析】
(1) 计算样本容量：已知私家车接送的频数为54，频率为0.27，根据样本容量公式，样本容量=54÷0.27=200；
计算m的值：骑自行车的频数为42，样本容量为200，根据频率公式，m=42÷200=0.21；
(2) 计算“骑自行车”对应扇形的圆心角：圆心角=频率×360°，代入m=0.21，得360°×0.21=75.6°；
(3) 计算全校乘公交车的人数：先求样本中“乘公交车”的频数，总样本200减去其他方式的频数，即200-54-12-42=92；样本中“乘公交车”的频率=92÷200=0.46；全校估计人数=1500×0.46=690（人）；
【答案】
(1) 200；0.21 (2) 75.6° (3) 690人
【知识点】
频数与频率；扇形统计图；用样本估计总体
【点评】
本题是统计基础应用题，核心是掌握样本容量、频数、频率的换算关系，以及用样本估计总体的方法，步骤清晰，难度适中，适合中等及以上学生解答。
【难度系数】
0.6
本题考查统计中样本容量、频数、频率的关系及应用，解题思路：①利用已知的私家车接送的频数和频率，通过“样本容量=频数÷频率”求出样本容量；②根据“频率=频数÷样本容量”计算m的值；③利用“扇形圆心角=频率×360°”计算骑自行车对应扇形的圆心角；④先求出样本中乘公交车的频率，再用“总体人数×样本频率”估计全校乘公交车的人数。
【解析】
(1) 计算样本容量：已知私家车接送的频数为54，频率为0.27，根据样本容量公式，样本容量=54÷0.27=200；
计算m的值：骑自行车的频数为42，样本容量为200，根据频率公式，m=42÷200=0.21；
(2) 计算“骑自行车”对应扇形的圆心角：圆心角=频率×360°，代入m=0.21，得360°×0.21=75.6°；
(3) 计算全校乘公交车的人数：先求样本中“乘公交车”的频数，总样本200减去其他方式的频数，即200-54-12-42=92；样本中“乘公交车”的频率=92÷200=0.46；全校估计人数=1500×0.46=690（人）；
【答案】
(1) 200；0.21 (2) 75.6° (3) 690人
【知识点】
频数与频率；扇形统计图；用样本估计总体
【点评】
本题是统计基础应用题，核心是掌握样本容量、频数、频率的换算关系，以及用样本估计总体的方法，步骤清晰，难度适中，适合中等及以上学生解答。
【难度系数】
0.6
