21.(6分)如图，P是∠ABC内一点，点Q在AB上。过点P画一条直线a平行于AB，过点Q画一条直线b平行于BC，直线a，b交于点M。
(1)用直尺和三角尺画平行线的方法，画出图形。
(2)若∠PMQ=50°，求∠ABC的度数。

21.(1)如图。
(2)因为$PM// AB$,所以$∠MQA=∠PMQ=50°$。因为$MQ// BC$,所以$∠ABC=∠MQA=50°$。

【分析】
本题分为两小问，(1)需用直尺和三角尺的平移法画平行线：将三角尺一边与已知直线重合，直尺靠紧三角尺另一边，平移三角尺使过目标点的边画出平行线；(2)利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等）推导角度关系，进而计算∠ABC的度数。
【解析】
(1) 画图步骤：
① 过点P作直线a平行于AB：把三角尺的一条边与AB重合，用直尺靠紧三角尺的另一条边，沿直尺平移三角尺，使三角尺与AB重合的边经过点P，沿该边画出直线a，即a//AB；
② 过点Q作直线b平行于BC：同理，将三角尺的一条边与BC重合，直尺靠紧后平移三角尺，使三角尺与BC重合的边经过点Q，沿该边画出直线b，即b//BC；直线a与b交于点M，完成图形绘制。
(2) 角度计算：
∵ a//AB（已知），根据“两直线平行，内错角相等”，
∴ ∠PMQ = ∠MQA = 50°；
又
∵ b//BC（已知），同理可得∠ABC = ∠MQA = 50°；
∴ ∠ABC的度数为50°。
【答案】
(1) 图形如参考答案所示；(2) 50°
【知识点】
平行线的画法，平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的基本作图方法及平行线性质的应用，属于基础题型，需熟练掌握平行线的作图步骤和性质，难度适中。
【难度系数】
0.6

22.(6 分)已知$M=x^2 - x - 1$，$N=3x^2 - 5x + 1$。
(1)当$N=3M$时，求$x$的值。
(2)试说明无论$x$取何值时，$M≤ N$。

22.(1)由题意得$3x^2-5x+1=3(x^2-x-1)$,解得$x=2$。
(2)$N-M=(3x^2-5x+1)-(x^2-x-1)=3x^2-5x+1-x^2+x+1=2x^2-4x+2=2(x-1)^2$,因为$(x-1)^2≥0$,所以$M≤N$。

【分析】
(1) 已知N=3M，将M、N的表达式代入该等式，可得到关于x的方程，通过去括号、移项、合并同类项等步骤求解方程即可得到x的值；
(2) 要证明无论x取何值时M≤N，采用作差法，计算N-M，对结果化简、配方，利用平方数的非负性判断差的符号，进而得出结论。
【解析】
(1) 因为N=3M，将M=x² -x -1，N=3x² -5x +1代入等式得：
3x² -5x +1 = 3(x² -x -1)
去括号得：3x² -5x +1 = 3x² -3x -3
移项得：3x² -5x -3x² +3x = -3 -1
合并同类项得：-2x = -4
系数化为1得：x=2
(2) 计算N-M：
N-M = (3x² -5x +1) - (x² -x -1)
去括号得：3x² -5x +1 -x² +x +1
合并同类项得：2x² -4x +2
提取公因式2得：2(x² -2x +1)
由完全平方公式得：2(x-1)²
因为对于任意实数x，(x-1)²≥0，所以2(x-1)²≥0，即N-M≥0，因此M≤N。
【答案】
(1) x=2；(2) 无论x取何值，M≤N成立。
【知识点】
整式的加减、一元一次方程、配方法
【点评】
本题是整式运算与不等式证明的基础题，考查作差法比较代数式大小、一元一次方程的求解，解题思路清晰，步骤明确，适合巩固整式相关知识，难度不大。
【难度系数】
0.8