23.(8分)根据以下素材,探索完成任务。
如何设计门票购买方案？
素材1 乒乓球比赛的门票分为A,B,C三个档次,购买1张A档门票和2张B档门票需要700元;购买2张A档门票和3张B档门票需要1200元;购买1张C档门票需要80元。
素材2 购票平台有优惠活动:每购买1张A档门票就赠送1张C档门票。
素材3 某公司计划组织30名员工观看比赛。

问题解决
任务1 求A档和B档门票的单价。
任务2 购买门票中,A档9张,B档11张,求公司购买门票至少需要多少元。
任务3 该公司购买门票共花了4040元,且赠送的C档门票全部用完。请你求出所有符合条件的购买方案,并写出解答过程。

23.(任务1)设A档门票的单价是$x$元,B档门票的单价是$y$元。根据题意得$\begin{cases} x+2y=700, \\ 2x+3y=1200, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=300, \\ y=200 \end{cases}$,答:A档门票的单价是300元,B档门票的单价是200元。
(任务2)根据题意得$300×9+200×11+80×(30-9-11-9)=300×9+200×11+80×1=2700+2200+80=4980$(元)。答:公司购买门票至少需要4980元。
(任务3)设购买$m$张A档门票,$n$张B档门票,则购买$(30-m-n-m)$张C档门票。根据题意得$300m+200n+80(30-m-n-m)=4040$,所以$n=\dfrac{82-7m}{6}$。又因为$m,n,(30-m-n-m)$均为非负整数,所以$\begin{cases} m=4, \\ n=9, \end{cases}$或$\begin{cases} m=10, \\ n=2, \end{cases}$所以共有两种购买方案。方案1:购买4张A档门票,9张B档门票,13张C档门票;方案2:购买10张A档门票,2张B档门票,8张C档门票。

【分析】
本题分为三个任务，任务1需利用二元一次方程组求解A、B档门票单价；任务2结合优惠活动规则，计算指定数量门票的最少花费；任务3通过设未知数建立方程，结合非负整数条件筛选出符合要求的购票方案。
【解析】
任务1：设A档门票单价为$x$元，B档门票单价为$y$元，根据素材1的条件列方程组：
$\begin{cases} x + 2y = 700 \\ 2x + 3y = 1200 \end{cases}$
由第一个方程得$x = 700 - 2y$，代入第二个方程：
$2(700 - 2y) + 3y = 1200$，解得$y = 200$，则$x = 700 - 2×200 = 300$。
任务2：已知购买A档9张、B档11张，总人数30人，每买1张A送1张C，故赠送C档9张，需购买C档数量为$30 - 9 - 11 - 9 = 1$张，总花费为：
$300×9 + 200×11 + 80×1 = 2700 + 2200 + 80 = 4980$元。
任务3：设购买$m$张A档、$n$张B档门票，则赠送C档$m$张，需购买C档$(30 - m - n - m) = 30 - 2m - n$张，根据总花费列方程：
$300m + 200n + 80(30 - 2m - n) = 4040$
化简得：$7m + 6n = 82$，即$n = \frac{82 - 7m}{6}$。
因$m、n、30 - 2m - n$均为非负整数，筛选得：
$m=4$时，$n=9$，C档数量为$13$，符合；
$m=10$时，$n=2$，C档数量为$8$，符合；
其余$m$值均不满足条件，故有两种方案。
【答案】
任务1：A档门票单价300元，B档门票单价200元；任务2：至少需要4980元；任务3：方案1：购买4张A档、9张B档、13张C档门票；方案2：购买10张A档、2张B档、8张C档门票。
【知识点】
二元一次方程组应用、方案设计、不定方程应用
【点评】
本题结合实际购票场景，考查方程（组）在实际问题中的应用，需准确理解优惠规则，通过建立方程结合整数条件筛选解，培养学生逻辑分析与应用能力。
【难度系数】
0.5