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24.(8分)将两把直角三角尺按如图所示摆放，$∠ EGF=∠ MPN=90°,∠ GFE=∠ PNM=30°$，直线$AB$过点$E$，$MN$在直线$CD$上，$EG$平分$∠ AEF$。
(1)求$∠ BEF$的度数。
(2)试判断$AB$与$CD$的位置关系，并说明理由。
(3)将$△ EGF$绕点$E$逆时针旋转，速度为每秒$4°$，同时$△ MPN$绕点$N$逆时针旋转，速度为每秒$10°$，记旋转时间为$t$，当$△ PMN$旋转一周时，整个运动停止。当$EF$与$△ MPN$的任意一边平行时，求出所有满足条件的$t$的值。
(1)求$∠ BEF$的度数。
(2)试判断$AB$与$CD$的位置关系，并说明理由。
(3)将$△ EGF$绕点$E$逆时针旋转，速度为每秒$4°$，同时$△ MPN$绕点$N$逆时针旋转，速度为每秒$10°$，记旋转时间为$t$，当$△ PMN$旋转一周时，整个运动停止。当$EF$与$△ MPN$的任意一边平行时，求出所有满足条件的$t$的值。
答案
24.(1)根据题意得$∠GEF=60°$,因为$EG$平分$∠AEF$,所以$∠AEF=2∠GEF=120°$,所以$∠BEF=180°-∠AEF=60°$。
(2)$AB// CD$。理由如下:如图1
所示,过点$G$作$GL// AB$,因为$∠AEG=60°$,$∠PNM=30°$,$∠EGF=90°$,所以$∠EGL=∠AEG=60°$,所以$∠LGP=30°$,所以$∠LGP=∠PNM=30°$,所以$GL// CD$,所以$GL// CD// AB$,所以$CD// AB$。(3)如图2
所示,当$EF// PM$时,延长$EF$交$CD$于点$H$,延长$PN$交$EF$于点$O$,交$AB$于点$K$,因为$∠NPM=90°$,所以$∠NOH=90°$。由(1)得$∠BEF=60°$,$∠PNM=30°$,因为将$△EGF$绕点$E$逆时针旋转,速度为每秒$4°$,同时$△MPN$绕点$N$逆时针旋转,速度为每秒$10°$,记旋转时间为$t$,所以$∠HEK=60°-4°t$,$∠CNP=10°t-30°$。因为$CD// AB$,所以$∠EHN=60°-4°t$,$∠CNP=∠HNO=10°t-30°$,所以$∠HEK+∠CNP=90°$,即$60°-4°t+10°t-30°=90°$,解得$t=10$;如图3
所示,当$EF// NM$时,延长$NM$交$AB$于点$J$,将$△EGF$绕点$E$逆时针旋转,速度为每秒$4°$,同时$△MPN$绕点$N$逆时针旋转,速度为每秒$10°$,记旋转时间为$t$,所以$∠FEJ=4°t-60°$,$∠MND=10°t-180°$。因为$CD// AB$,所以$∠DNM=∠BJM=10°t-180°$。因为$EF// NM$,所以$∠FEB=∠BJM$,即$10°t-180°=4°t-60°$,解得$t=20$;如图4
所示,当$EF// NP$时,延长$NP$交$AB$于点$W$,将$△EGF$绕点$E$逆时针旋转,速度为每秒$4°$,同时$△MPN$绕点$N$逆时针旋转,速度为每秒$10°$,记旋转时间为$t$,所以$∠FEW=4°t-60°$,$∠WND=10°t-180°-30°$。因为$CD// AB$,所以$∠DNW=∠EWN=10°t-180°-30°$。因为$EF// NP$,所以$∠FEW=∠EWN$,即$10°t-180°-30°=4°t-60°$,解得$t=25$。综上可得,$t$的值为10或20或25。解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用直角三角尺的内角和求出∠GEF的度数，结合角平分线定义得到∠AEF，再通过邻补角关系计算∠BEF。
2. 第(2)问：通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质得到内错角相等，结合已知角度证明辅助线平行于CD，进而根据平行公理的推论得出AB与CD平行。
3. 第(3)问：属于旋转动态问题，需分三种情况讨论EF与△MPN的边（PM、NM、NP）平行，每种情况结合平行线性质和旋转的角度变化，列出关于时间t的方程，求解并验证解在旋转一周内的合理性。
【解析】
(1) 在△EGF中，∠EGF=90°，∠GFE=30°，根据三角形内角和为180°，得∠GEF=180°-90°-30°=60°。
因为EG平分∠AEF，所以∠AEF=2∠GEF=2×60°=120°。
又∠AEF与∠BEF是邻补角，所以∠BEF=180°-∠AEF=180°-120°=60°。
(2) AB//CD，理由如下：
过点G作GL//AB，根据平行线内错角相等，得∠EGL=∠AEG=60°。
已知∠EGF=90°，所以∠LGP=∠EGF - ∠EGL=90°-60°=30°。
又∠PNM=30°，故∠LGP=∠PNM，根据同位角相等两直线平行，得GL//CD。
根据平行公理的推论，平行于同一直线的两直线平行，所以AB//CD。
(3) 分三种情况讨论：
① 当EF//PM时，如图2，t秒后，∠HEK=60°-4°t，∠CNP=10°t - 30°。
因为AB//CD，所以∠EHN=∠HEK；又EF//PM，∠NPM=90°，故∠EHN + ∠CNP=90°，即60°-4°t + 10°t - 30°=90°，解得t=10。
② 当EF//NM时，如图3，t秒后，∠FEJ=4°t - 60°，∠DNM=10°t - 180°。
因为AB//CD，所以∠BJM=∠DNM；又EF//NM，故∠FEB=∠BJM，即10°t - 180°=4°t - 60°，解得t=20。
③ 当EF//NP时，如图4，t秒后，∠FEW=4°t - 60°，∠DNW=10°t - 210°。
因为AB//CD，所以∠EWN=∠DNW；又EF//NP，故∠FEW=∠EWN，即10°t - 210°=4°t - 60°，解得t=25。
综上，满足条件的t的值为10、20、25。
【答案】
(1)∠BEF=60°；(2)AB//CD；(3)t的值为10或20或25
【知识点】
平行线的判定与性质、角平分线的定义、旋转的性质
【点评】
本题结合直角三角尺的角度特征，综合考查角平分线、平行线的判定与性质，以及旋转中的动态几何问题，需分情况讨论EF与三角形三边平行的情况，关键是理清旋转过程中角度的变化关系，利用平行线性质建立方程求解，对学生的逻辑分析和分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题分为三个小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用直角三角尺的内角和求出∠GEF的度数，结合角平分线定义得到∠AEF，再通过邻补角关系计算∠BEF。
2. 第(2)问：通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质得到内错角相等，结合已知角度证明辅助线平行于CD，进而根据平行公理的推论得出AB与CD平行。
3. 第(3)问：属于旋转动态问题，需分三种情况讨论EF与△MPN的边（PM、NM、NP）平行，每种情况结合平行线性质和旋转的角度变化，列出关于时间t的方程，求解并验证解在旋转一周内的合理性。
【解析】
(1) 在△EGF中，∠EGF=90°，∠GFE=30°，根据三角形内角和为180°，得∠GEF=180°-90°-30°=60°。
因为EG平分∠AEF，所以∠AEF=2∠GEF=2×60°=120°。
又∠AEF与∠BEF是邻补角，所以∠BEF=180°-∠AEF=180°-120°=60°。
(2) AB//CD，理由如下：
过点G作GL//AB，根据平行线内错角相等，得∠EGL=∠AEG=60°。
已知∠EGF=90°，所以∠LGP=∠EGF - ∠EGL=90°-60°=30°。
又∠PNM=30°，故∠LGP=∠PNM，根据同位角相等两直线平行，得GL//CD。
根据平行公理的推论，平行于同一直线的两直线平行，所以AB//CD。
(3) 分三种情况讨论：
① 当EF//PM时，如图2，t秒后，∠HEK=60°-4°t，∠CNP=10°t - 30°。
因为AB//CD，所以∠EHN=∠HEK；又EF//PM，∠NPM=90°，故∠EHN + ∠CNP=90°，即60°-4°t + 10°t - 30°=90°，解得t=10。
② 当EF//NM时，如图3，t秒后，∠FEJ=4°t - 60°，∠DNM=10°t - 180°。
因为AB//CD，所以∠BJM=∠DNM；又EF//NM，故∠FEB=∠BJM，即10°t - 180°=4°t - 60°，解得t=20。
③ 当EF//NP时，如图4，t秒后，∠FEW=4°t - 60°，∠DNW=10°t - 210°。
因为AB//CD，所以∠EWN=∠DNW；又EF//NP，故∠FEW=∠EWN，即10°t - 210°=4°t - 60°，解得t=25。
综上，满足条件的t的值为10、20、25。
【答案】
(1)∠BEF=60°；(2)AB//CD；(3)t的值为10或20或25
【知识点】
平行线的判定与性质、角平分线的定义、旋转的性质
【点评】
本题结合直角三角尺的角度特征，综合考查角平分线、平行线的判定与性质，以及旋转中的动态几何问题，需分情况讨论EF与三角形三边平行的情况，关键是理清旋转过程中角度的变化关系，利用平行线性质建立方程求解，对学生的逻辑分析和分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
