6.(2024·余姚)如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD，BC上的点，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点B的对应点B'恰好落在边CD上，A'B'交AD于点N，作BM⊥A'B'于点M，交EF于点H，连结B'H。
(1)求证：$BM// FB'$。
(2)四边形$BFB'H$是什么特殊四边形？请说明理由。
(3)①若B，M，D三点在同一条直线上，求证：$DN=\sqrt{2}AN$。
②若N为AD的中点，求$DB':B'C$的值。

(1)证明:因为四边形ABCD为正方形,所以∠ABC=90°,由折叠可知,∠A'B'F=∠ABC=90°,因为BM⊥A'B',所以BM//FB'。
(2)解:四边形BFB'H为菱形。理由如下:由折叠知,∠BFH=∠B'FH,BF=B'F,BH=B'H。因为BM//FB',所以∠BHF=∠B'FH,所以∠BHF=∠BFH,所以BH=BF,所以BH=BF=B'F=B'H,所以四边形BFB'H为菱形。
(3)①证明:如图1,连结BB',BN,DM。因为四边形BFB'H为菱形,所以∠MBB'=∠CBB',因为∠BMB'=∠CB B',BB'=BB',所以△MBB'≌△CBB',所以MB'=CB',BM=BC。因为BC=BA,所以BM=BA。因为∠A=∠BMN=90°,BN=BN,所以Rt△BAN≌Rt△BMN(AAS),所以AN=MN,因为B,M,D三点在同一直线上,∠NDM=45°,所以易得ND=√2 MN,所以ND=√2 AN。
②解:如图2,设AN=DN=x,CB'=y,则DC=AD=2x,NM=x,B'M=y,B'D=2x-y,NB'=x+y,在Rt△NDB'中,DN²+B'D²=B'N²,即x²+(2x-y)²=(x+y)²,解得x=3/2 y,所以DB':B'C=(2x-y)/y=2。

【分析】
1. 第(1)问：要证BM//FB'，需利用正方形的直角和折叠后对应角相等，结合BM⊥A'B'的垂直条件，推导同位角相等，从而证明平行；
2. 第(2)问：先由折叠得到边和角的等量关系，结合第(1)问的平行线性质，推出角相等得边相等，进而证明四边形四边相等，判定为菱形；
3. 第(3)①问：利用菱形的角平分线性质，结合全等三角形得到对应边相等，再证直角三角形全等，结合三点共线的45°角，推出等腰直角三角形，得到DN与AN的关系；
4. 第(3)②问：设未知数表示相关线段长度，利用勾股定理建立方程，求解后计算DB'与B'C的比值。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°。由折叠的性质可知，∠A'B'F=∠ABC=90°。又
∵BM⊥A'B'，
∴∠BMA'=90°，
∴∠A'B'F=∠BMA'，根据“同位角相等，两直线平行”，可得BM//FB'。
(2) 解：四边形BFB'H为菱形，理由如下：
由折叠的性质，得∠BFH=∠B'FH，BF=B'F，BH=B'H。
由(1)知BM//FB'，
∴∠BHF=∠B'FH，
∴∠BHF=∠BFH，
∴BH=BF。
∴BH=BF=B'F=B'H，根据“四边相等的四边形是菱形”，可知四边形BFB'H为菱形。
(3) ① 证明：连结BB'、BN、DM。
∵四边形BFB'H为菱形，
∴∠MBB'=∠CBB'。
又
∵∠BMB'=∠C=90°，BB'=BB'，
∴△MBB'≌△CBB'（AAS），
∴MB'=CB'，BM=BC。
∵正方形ABCD中BC=BA，
∴BM=BA。
又
∵∠A=∠BMN=90°，BN=BN，
∴Rt△BAN≌Rt△BMN（HL），
∴AN=MN。
∵B、M、D三点在同一直线上，∠NDM=45°，
∴△NMD为等腰直角三角形，
∴DN=√2 MN，故DN=√2 AN。
② 解：设AN=DN=x，CB'=y，则DC=AD=2x，NM=x，B'M=y，B'D=2x - y，NB'=NM + B'M = x + y。
在Rt△NDB'中，由勾股定理得：DN² + B'D² = B'N²，即x² + (2x - y)² = (x + y)²。
展开并化简：x² + 4x² - 4xy + y² = x² + 2xy + y² → 4x² - 6xy = 0 → 2x = 3y（x≠0），即x= (3/2)y。
则DB'=2x - y=2*(3/2 y) - y=2y，B'C=y，故DB':B'C=2y:y=2。
【答案】

【知识点】
正方形性质、折叠性质、菱形判定
【点评】
本题是正方形折叠的综合几何题，综合考查了平行线判定、菱形判定、全等三角形、勾股定理等知识点，需熟练运用折叠的不变性和几何图形性质，逻辑推理要求较高，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5

1.(2024·诸暨)以下说法正确的是 （）

A.菱形的对角线互相垂直且相等
B.矩形的对角线互相平分且互相垂直
C.正方形的对角线互相垂直且平分
D.平行四边形的对角线互相平分且相等

1.C

【分析】本题考查特殊四边形的对角线性质，解题时需分别回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线特征，逐一分析每个选项的表述是否正确，从而确定正确答案。
【解析】我们逐一分析各选项：
选项A：菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，对角线相等是正方形的性质，故A错误；
选项B：矩形的对角线互相平分且相等，对角线互相垂直是菱形的性质，故B错误；
选项C：正方形是特殊的菱形与矩形，其对角线互相垂直、平分且相等，该表述正确；
选项D：平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，对角线相等是矩形的性质，故D错误。
综上，正确答案为C。
【答案】C
【知识点】特殊四边形的对角线性质
【点评】本题属于基础题型，主要考查特殊四边形对角线的基本性质，需准确区分不同四边形对角线的特征，避免概念混淆。
【难度系数】0.7

2.(2024·东阳)菱形的周长为 32 cm,一个内角的度数是$120°$,则该菱形的面积为 ()

A.$32\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
B.$16\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
C.$32\ \mathrm{cm}^2$
D.$16\ \mathrm{cm}^2$

2.A

【分析】
要解决本题，首先利用菱形四条边相等的性质求出边长，再结合已知内角的度数，通过三角函数求出菱形的高，最后用“底×高”计算面积，从而选出正确选项。
【解析】
解：
∵菱形的周长为32 cm，且菱形四条边长度相等，
∴菱形的边长 = 32 ÷ 4 = 8 cm。
∵菱形的一个内角为120°，则相邻内角为60°，
过菱形的一边向对边作高，高 = 边长 × sin60° = 8 × (√3/2) = 4√3 cm。
∴菱形的面积 = 底 × 高 = 8 × 4√3 = 32√3 cm²。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、菱形的面积计算
【点评】
本题考查菱形的基本性质与面积计算，核心是利用内角求出高，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6

3.(2024·绍兴上虞)如图,正方形ABCD的边长为8,E为边AD上一点。若BE=10,则CE的长为 ()

A.$2\sqrt{17}$
B.$2\sqrt{15}$
C.11
D.6

3.A

【分析】
本题是正方形中线段长度的计算问题，解题思路如下：首先利用正方形的性质得到四边相等、四个角为直角，再结合勾股定理，先在直角三角形ABE中求出AE的长度，进而得到ED的长度，最后在直角三角形CDE中再次运用勾股定理计算CE的长度，即可得出答案。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = AD = CD = 8，∠A = ∠D = 90°。
在Rt△ABE中，根据勾股定理：
AE² + AB² = BE²，
已知BE = 10，AB = 8，代入得：
AE = √(BE² - AB²) = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6。
∴ ED = AD - AE = 8 - 6 = 2。
在Rt△CDE中，根据勾股定理：
CE = √(CD² + ED²) = √(8² + 2²) = √(64 + 4) = √68 = 2√17。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题主要考查正方形的性质和勾股定理的应用，属于基础几何计算题，解题关键是熟练运用勾股定理求解直角三角形的边长，难度较低，适合基础中等的学生解答。
【难度系数】
0.7