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4.(2025·嵊州)如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H依次是AB,BC,CD,DA的中点。
①若四边形ABCD是平行四边形,则四边形EFGH是平行四边形;
②若$AC=BD$,则四边形EFGH是菱形;
③若$AC⊥BD$,则四边形EFGH是矩形;
④若$AC=BD,AC⊥BD$,则四边形EFGH是正方形。
则上述四个结论正确的是 （
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
①若四边形ABCD是平行四边形,则四边形EFGH是平行四边形;
②若$AC=BD$,则四边形EFGH是菱形;
③若$AC⊥BD$,则四边形EFGH是矩形;
④若$AC=BD,AC⊥BD$,则四边形EFGH是正方形。
则上述四个结论正确的是 （
D
）A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
答案
4.D
解析
【分析】本题考查中点四边形的判定，核心依据是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。对于任意四边形ABCD，E、F、G、H为各边中点，根据中位线性质可推导出四边形EFGH的基础形状，再结合原四边形对角线AC、BD的关系，进一步判断EFGH的特殊类型，逐一分析四个结论即可得出答案。
【解析】
根据三角形中位线定理：
1. 分析结论①：E、F是AB、BC中点，故$EF// AC$且$EF=\frac{1}{2}AC$；G、H是CD、DA中点，故$GH// AC$且$GH=\frac{1}{2}AC$。因此$EF// GH$且$EF=GH$，四边形EFGH是平行四边形，①正确。
2. 分析结论②：EH是△ABD的中位线，故$EH=\frac{1}{2}BD$。若$AC=BD$，则$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=EH$，平行四边形EFGH的邻边相等，因此是菱形，②正确。
3. 分析结论③：由中位线性质，$EF// AC$，$EH// BD$，若$AC⊥BD$，则$EF⊥EH$，平行四边形EFGH有一个内角为直角，因此是矩形，③正确。
4. 分析结论④：若$AC=BD$，结合结论②可知EFGH是菱形；若$AC⊥BD$，结合结论③可知EFGH是矩形；既是菱形又是矩形的四边形是正方形，因此④正确。
综上，四个结论均正确。
【答案】D
【知识点】三角形中位线定理、平行四边形判定、菱形判定、矩形判定、正方形判定
【点评】本题围绕中点四边形的性质展开，需熟练运用三角形中位线定理，明确原四边形对角线与中点四边形形状的对应关系，结合特殊四边形的判定定理进行推理，是几何中考查逻辑推理能力的基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】
根据三角形中位线定理：
1. 分析结论①：E、F是AB、BC中点，故$EF// AC$且$EF=\frac{1}{2}AC$；G、H是CD、DA中点，故$GH// AC$且$GH=\frac{1}{2}AC$。因此$EF// GH$且$EF=GH$，四边形EFGH是平行四边形，①正确。
2. 分析结论②：EH是△ABD的中位线，故$EH=\frac{1}{2}BD$。若$AC=BD$，则$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=EH$，平行四边形EFGH的邻边相等，因此是菱形，②正确。
3. 分析结论③：由中位线性质，$EF// AC$，$EH// BD$，若$AC⊥BD$，则$EF⊥EH$，平行四边形EFGH有一个内角为直角，因此是矩形，③正确。
4. 分析结论④：若$AC=BD$，结合结论②可知EFGH是菱形；若$AC⊥BD$，结合结论③可知EFGH是矩形；既是菱形又是矩形的四边形是正方形，因此④正确。
综上，四个结论均正确。
【答案】D
【知识点】三角形中位线定理、平行四边形判定、菱形判定、矩形判定、正方形判定
【点评】本题围绕中点四边形的性质展开，需熟练运用三角形中位线定理，明确原四边形对角线与中点四边形形状的对应关系，结合特殊四边形的判定定理进行推理，是几何中考查逻辑推理能力的基础题型。
【难度系数】0.5
5.(2024·宁波鄞州)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E,F是对角线AC上的两点,AE=CF=2,点P在边AD上运动(不与点A,D重合),连结点P与AC的中点O并延长交BC于点Q,连结PE,PF,QE,QF。在点P从点D运动到点A的整个过程中,四边形PEQF的形状变化依次是（
A.平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
B.平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
C.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
C
）A.平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
B.平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
C.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
答案
5.C
解析
【分析】
要判断四边形PEQF的形状变化，需结合矩形性质、全等三角形及特殊四边形的判定逐步分析：首先利用矩形对角线性质确定中点及线段长度，通过全等证明四边形对角线互相平分，得出初始为平行四边形；再根据平行四边形的特殊判定（对角线垂直为菱形、对角线相等为矩形），分析动点P运动过程中对角线的变化，确定形状的依次变化。
【解析】
1. 计算矩形对角线：在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=10，因此AC中点O满足AO=OC=5。
2. 确定线段OE、OF：已知AE=CF=2，故OE=AO-AE=5-2=3，OF=OC-CF=5-2=3，即OE=OF。
3. 证明四边形为平行四边形：因AD//BC，得∠PAO=∠QCO，又AO=OC，∠AOP=∠COQ，故△AOP≌△COQ（ASA），得OP=OQ。结合OE=OF，四边形PEQF的对角线互相平分，初始为平行四边形。
4. 分析形状变化：当PQ⊥AC时，平行四边形PEQF的对角线互相垂直，变为菱形；P继续运动，PQ不再垂直AC，变为一般平行四边形；后续运动中再次出现PQ⊥AC的情况，变为菱形；最终回到平行四边形。因此形状依次为平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形。
【答案】
C
【知识点】
矩形性质、平行四边形判定、菱形判定
【点评】
本题结合动点问题，综合考查特殊四边形的判定，需理清动点运动时对角线的变化规律，熟练运用全等三角形和特殊四边形的判定定理。
【难度系数】
0.5
要判断四边形PEQF的形状变化，需结合矩形性质、全等三角形及特殊四边形的判定逐步分析：首先利用矩形对角线性质确定中点及线段长度，通过全等证明四边形对角线互相平分，得出初始为平行四边形；再根据平行四边形的特殊判定（对角线垂直为菱形、对角线相等为矩形），分析动点P运动过程中对角线的变化，确定形状的依次变化。
【解析】
1. 计算矩形对角线：在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=10，因此AC中点O满足AO=OC=5。
2. 确定线段OE、OF：已知AE=CF=2，故OE=AO-AE=5-2=3，OF=OC-CF=5-2=3，即OE=OF。
3. 证明四边形为平行四边形：因AD//BC，得∠PAO=∠QCO，又AO=OC，∠AOP=∠COQ，故△AOP≌△COQ（ASA），得OP=OQ。结合OE=OF，四边形PEQF的对角线互相平分，初始为平行四边形。
4. 分析形状变化：当PQ⊥AC时，平行四边形PEQF的对角线互相垂直，变为菱形；P继续运动，PQ不再垂直AC，变为一般平行四边形；后续运动中再次出现PQ⊥AC的情况，变为菱形；最终回到平行四边形。因此形状依次为平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形。
【答案】
C
【知识点】
矩形性质、平行四边形判定、菱形判定
【点评】
本题结合动点问题，综合考查特殊四边形的判定，需理清动点运动时对角线的变化规律，熟练运用全等三角形和特殊四边形的判定定理。
【难度系数】
0.5
二、填空题
6.(2024·丽水)如图,AC是矩形ABCD的一条对角线,∠ACB=α,依据尺规作图的痕迹,AF与EF的交点为F,则∠AFE的度数是
6.(2024·丽水)如图,AC是矩形ABCD的一条对角线,∠ACB=α,依据尺规作图的痕迹,AF与EF的交点为F,则∠AFE的度数是
90°-α/2
。(用含α的代数式表示)答案
6.90°-α/2
解析
【分析】首先利用矩形对边平行的性质，得到∠DAC与∠ACB是内错角，相等为α；再根据尺规作图的痕迹，判断出AF是∠DAC的角平分线，EF垂直于AC；最后利用直角三角形两锐角互余的性质，计算∠AFE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DAC=∠ACB=α（两直线平行，内错角相等）。
由尺规作图的痕迹可知，AF平分∠DAC，EF⊥AC，
∴ ∠CAF=½∠DAC=α/2，∠AEF=90°。
在Rt△AEF中，根据直角三角形两锐角互余，得：
∠AFE=90°−∠CAF=90°−α/2。
【答案】
90°−α/2
【知识点】
矩形的性质、角平分线的尺规作图、直角三角形的性质
【点评】
本题结合矩形的性质与尺规作图，考查了角的计算，关键是正确判断角平分线和垂直关系，利用直角三角形的性质求解，难度适中。
【难度系数】
0.5
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DAC=∠ACB=α（两直线平行，内错角相等）。
由尺规作图的痕迹可知，AF平分∠DAC，EF⊥AC，
∴ ∠CAF=½∠DAC=α/2，∠AEF=90°。
在Rt△AEF中，根据直角三角形两锐角互余，得：
∠AFE=90°−∠CAF=90°−α/2。
【答案】
90°−α/2
【知识点】
矩形的性质、角平分线的尺规作图、直角三角形的性质
【点评】
本题结合矩形的性质与尺规作图，考查了角的计算，关键是正确判断角平分线和垂直关系，利用直角三角形的性质求解，难度适中。
【难度系数】
0.5
7.(2024·衢州)在直角坐标系中,四边形ABCD的四个顶点坐标依次是$A(-a,-b),B(a,-b),C(a,b),D(-a,b)$,则四边形ABCD的形状一定为
矩形
。答案
7.矩形
解析
【分析】
要判断四边形ABCD的形状，需结合平面直角坐标系中各顶点的坐标特征，分析边的位置关系与数量关系，再依据特殊四边形的判定定理推导。首先观察四个点的坐标：A(-a,-b)、B(a,-b)纵坐标相同，B(a,-b)、C(a,b)横坐标相同，C(a,b)、D(-a,b)纵坐标相同，D(-a,b)、A(-a,-b)横坐标相同，由此可分析各边的平行、垂直及长度关系，进而判定四边形形状。
【解析】
1. 分析各边的坐标特征：
AB边：A(-a,-b)与B(a,-b)纵坐标相等，故AB平行于x轴，长度AB = a - (-a) = 2a；
BC边：B(a,-b)与C(a,b)横坐标相等，故BC平行于y轴，长度BC = b - (-b) = 2b；
CD边：C(a,b)与D(-a,b)纵坐标相等，故CD平行于x轴，长度CD = a - (-a) = 2a；
DA边：D(-a,b)与A(-a,-b)横坐标相等，故DA平行于y轴，长度DA = b - (-b) = 2b；
2. 推导四边形类型：
由AB=CD=2a，且AB//CD；BC=DA=2b，且BC//DA，可知四边形ABCD是平行四边形；
又AB平行于x轴，BC平行于y轴，故AB⊥BC，即平行四边形ABCD有一个内角为直角；
根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形ABCD为矩形。
【答案】
矩形
【知识点】
平面直角坐标系、矩形的判定
【点评】
本题通过平面直角坐标系中顶点的坐标特征，分析边的位置与数量关系，进而判定四边形形状，考查坐标与图形的结合应用，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要判断四边形ABCD的形状，需结合平面直角坐标系中各顶点的坐标特征，分析边的位置关系与数量关系，再依据特殊四边形的判定定理推导。首先观察四个点的坐标：A(-a,-b)、B(a,-b)纵坐标相同，B(a,-b)、C(a,b)横坐标相同，C(a,b)、D(-a,b)纵坐标相同，D(-a,b)、A(-a,-b)横坐标相同，由此可分析各边的平行、垂直及长度关系，进而判定四边形形状。
【解析】
1. 分析各边的坐标特征：
AB边：A(-a,-b)与B(a,-b)纵坐标相等，故AB平行于x轴，长度AB = a - (-a) = 2a；
BC边：B(a,-b)与C(a,b)横坐标相等，故BC平行于y轴，长度BC = b - (-b) = 2b；
CD边：C(a,b)与D(-a,b)纵坐标相等，故CD平行于x轴，长度CD = a - (-a) = 2a；
DA边：D(-a,b)与A(-a,-b)横坐标相等，故DA平行于y轴，长度DA = b - (-b) = 2b；
2. 推导四边形类型：
由AB=CD=2a，且AB//CD；BC=DA=2b，且BC//DA，可知四边形ABCD是平行四边形；
又AB平行于x轴，BC平行于y轴，故AB⊥BC，即平行四边形ABCD有一个内角为直角；
根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形ABCD为矩形。
【答案】
矩形
【知识点】
平面直角坐标系、矩形的判定
【点评】
本题通过平面直角坐标系中顶点的坐标特征，分析边的位置与数量关系，进而判定四边形形状，考查坐标与图形的结合应用，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
8.(2025·台州椒江)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点B作$BE ⊥ AD$,垂足为E,连结OE,若$AB=5$,$AC=8$,则$OE=\_\_\_\_\_\_$。
答案
8.3
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质和直角三角形的性质逐步推导：首先利用菱形对角线互相垂直平分的特点，求出AO的长度，再通过勾股定理算出BO的长度；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，结合O是BD中点，即可求出OE的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，AO = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}×8 = 4$，BO = $\frac{1}{2}$BD，
在Rt△AOB中，AB=5，AO=4，由勾股定理得：
BO = $\sqrt{AB^2 - AO^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = $\sqrt{9}$ = 3，
∵ BE⊥AD，
∴ △BED是直角三角形，
又
∵ O是BD的中点（菱形对角线互相平分），
∴ 在Rt△BED中，斜边中线OE = $\frac{1}{2}$BD = BO = 3，
【答案】
3
【知识点】
菱形的性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查菱形的性质与直角三角形的性质，解题关键是利用菱形对角线的性质求出相关线段长度，再结合直角三角形斜边中线的性质得到OE的长度，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合菱形的性质和直角三角形的性质逐步推导：首先利用菱形对角线互相垂直平分的特点，求出AO的长度，再通过勾股定理算出BO的长度；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，结合O是BD中点，即可求出OE的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，AO = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}×8 = 4$，BO = $\frac{1}{2}$BD，
在Rt△AOB中，AB=5，AO=4，由勾股定理得：
BO = $\sqrt{AB^2 - AO^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = $\sqrt{9}$ = 3，
∵ BE⊥AD，
∴ △BED是直角三角形，
又
∵ O是BD的中点（菱形对角线互相平分），
∴ 在Rt△BED中，斜边中线OE = $\frac{1}{2}$BD = BO = 3，
【答案】
3
【知识点】
菱形的性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查菱形的性质与直角三角形的性质，解题关键是利用菱形对角线的性质求出相关线段长度，再结合直角三角形斜边中线的性质得到OE的长度，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6
9.(2025·绍兴柯桥)如图,在正方形ABCD中,点E为对角线AC上一点,连结DE,过点E作$EF⊥DE$,交射线BC于点F,当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是$25°$时,$∠EFC$的度数是
115°或25°
。答案
9.115°或25°
解析
【分析】
这道题是正方形中的角度计算问题，解题思路如下：首先利用正方形的性质（对角线平分内角为45°，各内角为90°），结合EF⊥DE的垂直条件，核心是分两种情况讨论“DE与正方形某条边夹角为25°”：①DE与边AD的夹角为25°；②DE与边DC的夹角为25°。再结合三角形内角和、平角的性质，分别计算∠EFC的度数，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：当DE与边AD的夹角为25°时，即∠ADE=25°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠ACB=∠ACD=45°。
∴∠EDC=∠ADC -∠ADE=90°-25°=65°。
在△DEC中，∠DEC=180°-∠ACD -∠EDC=180°-45°-65°=70°。
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠CEF=∠DEF -∠DEC=90°-70°=20°。
在△EFC中，∠EFC=180°-∠ACB -∠CEF=180°-45°-20°=115°。
情况2：当DE与边DC的夹角为25°时，即∠EDC=25°。
在△DEC中，∠DEC=180°-∠ACD -∠EDC=180°-45°-25°=110°。
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠CEF=∠DEC -∠DEF=110°-90°=20°。
此时F在射线BC的延长线上，
∴∠ECF=180°-∠ACB=180°-45°=135°。
在△EFC中，∠EFC=180°-∠ECF -∠CEF=180°-135°-20°=25°。
综上，∠EFC的度数是115°或25°。
【答案】
115°或25°
【知识点】
正方形的性质，三角形内角和，垂直的性质
【点评】
本题结合正方形性质考查角度计算，关键是需分情况讨论“DE与正方形边的夹角”及射线BC的延伸性，避免漏解，对学生的分类讨论思维有一定要求。
【难度系数】
0.5
这道题是正方形中的角度计算问题，解题思路如下：首先利用正方形的性质（对角线平分内角为45°，各内角为90°），结合EF⊥DE的垂直条件，核心是分两种情况讨论“DE与正方形某条边夹角为25°”：①DE与边AD的夹角为25°；②DE与边DC的夹角为25°。再结合三角形内角和、平角的性质，分别计算∠EFC的度数，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：当DE与边AD的夹角为25°时，即∠ADE=25°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠ACB=∠ACD=45°。
∴∠EDC=∠ADC -∠ADE=90°-25°=65°。
在△DEC中，∠DEC=180°-∠ACD -∠EDC=180°-45°-65°=70°。
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠CEF=∠DEF -∠DEC=90°-70°=20°。
在△EFC中，∠EFC=180°-∠ACB -∠CEF=180°-45°-20°=115°。
情况2：当DE与边DC的夹角为25°时，即∠EDC=25°。
在△DEC中，∠DEC=180°-∠ACD -∠EDC=180°-45°-25°=110°。
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠CEF=∠DEC -∠DEF=110°-90°=20°。
此时F在射线BC的延长线上，
∴∠ECF=180°-∠ACB=180°-45°=135°。
在△EFC中，∠EFC=180°-∠ECF -∠CEF=180°-135°-20°=25°。
综上，∠EFC的度数是115°或25°。
【答案】
115°或25°
【知识点】
正方形的性质，三角形内角和，垂直的性质
【点评】
本题结合正方形性质考查角度计算，关键是需分情况讨论“DE与正方形边的夹角”及射线BC的延伸性，避免漏解，对学生的分类讨论思维有一定要求。
【难度系数】
0.5
