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三、解答题
10.(2025·临海、仙居)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,分别以点A和点C为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$同样长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,连结MN分别交BC,AD于点E,F,连结AE,CF。
(1)求证:四边形AECF为菱形。
(2)求菱形AECF的面积。
10.(2025·临海、仙居)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,分别以点A和点C为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$同样长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,连结MN分别交BC,AD于点E,F,连结AE,CF。
(1)求证:四边形AECF为菱形。
(2)求菱形AECF的面积。
答案
(1)证明:由作图可得,EF垂直平分AC,所以OA=OC,EF⊥AC,所以∠AOF=∠COE=90°,因为四边形ABCD是矩形,所以AD//BC,所以∠FAO=∠ECO,所以△AOF≌△COE(ASA),所以AF=CE,又因为AF//CE,所以四边形AECF为平行四边形,又因为EF⊥AC,所以四边形AECF为菱形。
(2)解:因为EF垂直平分AC,所以AE=EC,设CE=x,则BE=8-x,在Rt△ABE中,AB²+BE²=AE²,因为AB=4,所以4²+(8-x)²=x²,解得x=5,所以菱形AECF的面积为5×4=20。
(2)解:因为EF垂直平分AC,所以AE=EC,设CE=x,则BE=8-x,在Rt△ABE中,AB²+BE²=AE²,因为AB=4,所以4²+(8-x)²=x²,解得x=5,所以菱形AECF的面积为5×4=20。
解析
【分析】
要解决本题，首先明确作图是作线段AC的垂直平分线，因此EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得OA=OC，EF⊥AC；结合矩形对边平行的性质，可通过角的关系证明△AOF≌△COE，得到AF与CE平行且相等，从而判定四边形AECF是平行四边形，再结合EF⊥AC即可证明其为菱形。对于菱形面积，利用垂直平分线性质得AE=CE，设CE=x，在Rt△ABE中用勾股定理列方程求出x，再用菱形面积公式（底×高）计算即可。
【解析】
(1) 证明：由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴ OA=OC，EF⊥AC，即∠AOF=∠COE=90°。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠FAO=∠ECO。
在△AOF和△COE中，
$\{\begin{array}{l}∠FAO=∠ECO \\OA=OC \\∠AOF=∠COE\end{array} $
∴ △AOF≌△COE（ASA），
∴ AF=CE。
又
∵ AF//CE，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
又
∵ EF⊥AC，
∴ 平行四边形AECF是菱形。
(2) 解：
∵ MN垂直平分AC，
∴ AE=CE。
设CE=x，则BE=BC - CE=8 - x。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AB² + BE² = AE²，
∵ AB=4，AE=CE=x，
∴ 4² + (8 - x)² = x²，
展开得：16 + 64 - 16x + x² = x²，
化简得：80 - 16x = 0，
解得：x=5。
∴ 菱形AECF的面积=CE×AB=5×4=20。
【答案】
(1) 四边形AECF为菱形；(2) 菱形AECF的面积为20
【知识点】
矩形的性质、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图考查菱形的判定与面积计算，需掌握垂直平分线性质、全等三角形判定、菱形判定定理及勾股定理，是一道综合性适中的几何题，重点考查逻辑推理与计算能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先明确作图是作线段AC的垂直平分线，因此EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得OA=OC，EF⊥AC；结合矩形对边平行的性质，可通过角的关系证明△AOF≌△COE，得到AF与CE平行且相等，从而判定四边形AECF是平行四边形，再结合EF⊥AC即可证明其为菱形。对于菱形面积，利用垂直平分线性质得AE=CE，设CE=x，在Rt△ABE中用勾股定理列方程求出x，再用菱形面积公式（底×高）计算即可。
【解析】
(1) 证明：由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴ OA=OC，EF⊥AC，即∠AOF=∠COE=90°。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠FAO=∠ECO。
在△AOF和△COE中，
$\{\begin{array}{l}∠FAO=∠ECO \\OA=OC \\∠AOF=∠COE\end{array} $
∴ △AOF≌△COE（ASA），
∴ AF=CE。
又
∵ AF//CE，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
又
∵ EF⊥AC，
∴ 平行四边形AECF是菱形。
(2) 解：
∵ MN垂直平分AC，
∴ AE=CE。
设CE=x，则BE=BC - CE=8 - x。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AB² + BE² = AE²，
∵ AB=4，AE=CE=x，
∴ 4² + (8 - x)² = x²，
展开得：16 + 64 - 16x + x² = x²，
化简得：80 - 16x = 0，
解得：x=5。
∴ 菱形AECF的面积=CE×AB=5×4=20。
【答案】
(1) 四边形AECF为菱形；(2) 菱形AECF的面积为20
【知识点】
矩形的性质、菱形的判定、勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图考查菱形的判定与面积计算，需掌握垂直平分线性质、全等三角形判定、菱形判定定理及勾股定理，是一道综合性适中的几何题，重点考查逻辑推理与计算能力。
【难度系数】
0.6
11.(2024·嘉兴)已知正方形ABCD,E为对角线AC上一点。
(1)如图1,连结BE,DE。求证:∠ABE=∠ADE。
(2)如图2,过点B作BF⊥BE,交DE的延长线于点F,DF交AB于点G。设$\frac{BE}{BF}=k(k＞0)$,$△ AGE$和$△ ABE$的面积分别记为$S_1,S_2$。
①如图3,若k=1,且BE=2,求线段GD的长。
②求$\frac{S_1}{S_2}$的值。(用含k的代数式表示)
(1)如图1,连结BE,DE。求证:∠ABE=∠ADE。
(2)如图2,过点B作BF⊥BE,交DE的延长线于点F,DF交AB于点G。设$\frac{BE}{BF}=k(k＞0)$,$△ AGE$和$△ ABE$的面积分别记为$S_1,S_2$。
①如图3,若k=1,且BE=2,求线段GD的长。
②求$\frac{S_1}{S_2}$的值。(用含k的代数式表示)
答案
(1)证明:因为四边形ABCD是正方形,所以AB=AD,∠BAE=∠DAE=45°,因为AE=AE,所以△BAE≌△DAE(SAS),所以∠ABE=∠ADE。
(2)解:①因为∠BAD=90°,所以∠ADE+∠AGD=90°。因为BF⊥BE,所以∠FBG+∠ABE=90°,因为∠ABE=∠ADE,所以∠AGD=∠FBG。因为∠AGD=∠FGB,所以∠FGB=∠FBG,所以FB=FG,因为△BAE≌△DAE,所以DE=BE。因为k=1,且BE=2,所以BF=BE=2,所以FG=DE=2,易得EF=2√2,所以GD=EF=2√2。
②设BF=a,因为BE/BF=k,所以BE=ak,因为BF⊥BE,所以EF=√(a²+(ak)²)=a√(1+k²),因为①中已证BF=FG,所以GE=a√(1+k²)-a=(√(1+k²)-1)a,因为DE=BE,所以DE=ak,因为△BAE≌△DAE,△ABE面积为S₂,所以△DAE面积也为S₂,所以S₁/S₂=GE/DE=(√(1+k²)-1)a / ak = (√(1+k²)-1)/k。
(2)解:①因为∠BAD=90°,所以∠ADE+∠AGD=90°。因为BF⊥BE,所以∠FBG+∠ABE=90°,因为∠ABE=∠ADE,所以∠AGD=∠FBG。因为∠AGD=∠FGB,所以∠FGB=∠FBG,所以FB=FG,因为△BAE≌△DAE,所以DE=BE。因为k=1,且BE=2,所以BF=BE=2,所以FG=DE=2,易得EF=2√2,所以GD=EF=2√2。
②设BF=a,因为BE/BF=k,所以BE=ak,因为BF⊥BE,所以EF=√(a²+(ak)²)=a√(1+k²),因为①中已证BF=FG,所以GE=a√(1+k²)-a=(√(1+k²)-1)a,因为DE=BE,所以DE=ak,因为△BAE≌△DAE,△ABE面积为S₂,所以△DAE面积也为S₂,所以S₁/S₂=GE/DE=(√(1+k²)-1)a / ak = (√(1+k²)-1)/k。
解析
【分析】
本题围绕正方形的性质展开，第(1)问通过正方形的边、角特征结合全等三角形判定证明角相等；第(2)问①利用角的等量转换推导线段关系，结合等腰直角三角形性质计算GD长度；②通过线段比例关系，结合已知的BE与BF的比例k，推导两个三角形的面积比。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°，
又
∵AE=AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴∠ABE=∠ADE。
(2) ① 解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，即∠ADE + ∠AGD=90°，
∵BF⊥BE，
∴∠EBF=90°，即∠FBG + ∠ABE=90°，
由(1)知∠ABE=∠ADE，
∴∠AGD=∠FBG，
又
∵∠AGD=∠FGB，
∴∠FGB=∠FBG，
∴FB=FG，
由(1)中△BAE≌△DAE得DE=BE，
∵k=1，BE=2，
∴BF=BE=2，
∴FG=DE=2，
∵BE=BF，∠EBF=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，EF=√(BE²+BF²)=√(2²+2²)=2√2，
易得GD=EF=2√2。
② 解：设BF=a，
∵$\frac{BE}{BF}=k$，
∴BE=ak，
∵BF⊥BE，
∴EF=√(BF² + BE²)=√(a² + (ak)²)=a√(1+k²)，
由①知FB=FG，
∴GE=EF - FG = a√(1+k²) - a = a(√(1+k²)-1)，
由(1)知DE=BE=ak，
∵△AGE与△ABE的高相同，面积比等于底的比，
∴$\frac{S_1}{S_2}=\frac{GE}{DE}=\frac{a(\sqrt{1+k^2}-1)}{ak}=\frac{\sqrt{1+k^2}-1}{k}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) ① GD的长为$2\sqrt{2}$；② $\frac{S_1}{S_2}$的值为$\frac{\sqrt{1+k^2}-1}{k}$。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积比
【点评】
本题综合考查正方形的性质、全等三角形的应用及线段比例与面积计算，需要学生熟练运用几何定理进行角与线段的转换，逻辑推导要求较高，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
本题围绕正方形的性质展开，第(1)问通过正方形的边、角特征结合全等三角形判定证明角相等；第(2)问①利用角的等量转换推导线段关系，结合等腰直角三角形性质计算GD长度；②通过线段比例关系，结合已知的BE与BF的比例k，推导两个三角形的面积比。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°，
又
∵AE=AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴∠ABE=∠ADE。
(2) ① 解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，即∠ADE + ∠AGD=90°，
∵BF⊥BE，
∴∠EBF=90°，即∠FBG + ∠ABE=90°，
由(1)知∠ABE=∠ADE，
∴∠AGD=∠FBG，
又
∵∠AGD=∠FGB，
∴∠FGB=∠FBG，
∴FB=FG，
由(1)中△BAE≌△DAE得DE=BE，
∵k=1，BE=2，
∴BF=BE=2，
∴FG=DE=2，
∵BE=BF，∠EBF=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，EF=√(BE²+BF²)=√(2²+2²)=2√2，
易得GD=EF=2√2。
② 解：设BF=a，
∵$\frac{BE}{BF}=k$，
∴BE=ak，
∵BF⊥BE，
∴EF=√(BF² + BE²)=√(a² + (ak)²)=a√(1+k²)，
由①知FB=FG，
∴GE=EF - FG = a√(1+k²) - a = a(√(1+k²)-1)，
由(1)知DE=BE=ak，
∵△AGE与△ABE的高相同，面积比等于底的比，
∴$\frac{S_1}{S_2}=\frac{GE}{DE}=\frac{a(\sqrt{1+k^2}-1)}{ak}=\frac{\sqrt{1+k^2}-1}{k}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) ① GD的长为$2\sqrt{2}$；② $\frac{S_1}{S_2}$的值为$\frac{\sqrt{1+k^2}-1}{k}$。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积比
【点评】
本题综合考查正方形的性质、全等三角形的应用及线段比例与面积计算，需要学生熟练运用几何定理进行角与线段的转换，逻辑推导要求较高，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
