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1.(2025·绍兴市绍初教育集团期末)学科融合 清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来。苔花如米小，也学牡丹开。”若苔花的花粉直径约为0.000 008 4米，则数据0.000 008 4用科学记数法表示为（
A.$8.4× 10^{6}$
B.$8.4× 10^{-5}$
C.$8.4× 10^{-7}$
D.$8.4× 10^{-6}$
D
）A.$8.4× 10^{6}$
B.$8.4× 10^{-5}$
C.$8.4× 10^{-7}$
D.$8.4× 10^{-6}$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数，解题思路为：先明确科学记数法的规则，对于绝对值小于1的正数，形式为$a×10^{-n}$（其中$1≤a＜10$，$n$为正整数，$n$等于原数中第一个非零数字前所有零的个数，含小数点前的零）；再对题目中的$0.0000084$，确定$a=8.4$，第一个非零数字8前有6个零，故$n=6$，即可得出结果。
【解析】
根据科学记数法的定义，绝对值小于1的正数可表示为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为原数中第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）。对于$0.0000084$，取$a=8.4$，第一个非零数字8前有6个零，即$n=6$，因此$0.0000084=8.4×10^{-6}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法（表示较小的数）
【点评】
本题结合诗词背景考查科学记数法的基础应用，核心是掌握绝对值小于1的数的科学记数法规则，属于易得分的基础题，主要考查学生对基础知识点的识记与应用能力。
【难度系数】
0.8
本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数，解题思路为：先明确科学记数法的规则，对于绝对值小于1的正数，形式为$a×10^{-n}$（其中$1≤a＜10$，$n$为正整数，$n$等于原数中第一个非零数字前所有零的个数，含小数点前的零）；再对题目中的$0.0000084$，确定$a=8.4$，第一个非零数字8前有6个零，故$n=6$，即可得出结果。
【解析】
根据科学记数法的定义，绝对值小于1的正数可表示为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为原数中第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）。对于$0.0000084$，取$a=8.4$，第一个非零数字8前有6个零，即$n=6$，因此$0.0000084=8.4×10^{-6}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法（表示较小的数）
【点评】
本题结合诗词背景考查科学记数法的基础应用，核心是掌握绝对值小于1的数的科学记数法规则，属于易得分的基础题，主要考查学生对基础知识点的识记与应用能力。
【难度系数】
0.8
2.(2025·台州市路桥区期末)若$a=3^{-2},b=(-3)^{0},c=(-3)^{2}$,则$a,b,c$的大小关系是 (
A.$b＜a＜c$
B.$a＜c＜b$
C.$c＜b＜a$
D.$a＜b＜c$
D
)A.$b＜a＜c$
B.$a＜c＜b$
C.$c＜b＜a$
D.$a＜b＜c$
答案
2.D
解析
【分析】要比较a、b、c的大小，需先依据负整数指数幂、零指数幂、有理数乘方的运算法则分别计算出a、b、c的具体数值，再对数值进行大小比较，进而选出正确选项。
【解析】根据幂的运算法则计算各数：
计算a：由负整数指数幂的运算法则，$a = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$；
计算b：由零指数幂的运算法则（非零数的0次幂为1），$b = (-3)^0 = 1$；
计算c：由有理数的乘方运算法则，$c = (-3)^2 = (-3) × (-3) = 9$；
比较大小：$\frac{1}{9} ＜ 1 ＜ 9$，即$a ＜ b ＜ c$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方
【点评】本题考查幂的基本运算，核心是掌握负整数指数幂、零指数幂的运算法则，准确计算后比较大小，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】根据幂的运算法则计算各数：
计算a：由负整数指数幂的运算法则，$a = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$；
计算b：由零指数幂的运算法则（非零数的0次幂为1），$b = (-3)^0 = 1$；
计算c：由有理数的乘方运算法则，$c = (-3)^2 = (-3) × (-3) = 9$；
比较大小：$\frac{1}{9} ＜ 1 ＜ 9$，即$a ＜ b ＜ c$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方
【点评】本题考查幂的基本运算，核心是掌握负整数指数幂、零指数幂的运算法则，准确计算后比较大小，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
3. (2024·浙江中考)下列运算正确的是 (
A.$x^{3}+x^{2}=x^{5}$
B.$x^{3}· x^{2}=x^{6}$
C.$(x^{3})^{2}=x^{9}$
D.$x^{6}÷ x^{2}=x^{4}$
D
)A.$x^{3}+x^{2}=x^{5}$
B.$x^{3}· x^{2}=x^{6}$
C.$(x^{3})^{2}=x^{9}$
D.$x^{6}÷ x^{2}=x^{4}$
答案
3.D
解析
【分析】本题考查整式的运算，需掌握合并同类项法则、同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则。解题思路为：逐一分析每个选项，依据对应运算法则判断运算是否正确，最终选出正确选项。
【解析】A选项：$x^3$与$x^2$不是同类项，不能合并，故A错误；B选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$x^3·x^2=x^{3+2}=x^5≠x^6$，故B错误；C选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘，$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6≠x^9$，故C错误；D选项：同底数幂相除，底数不变，指数相减，$x^6÷x^2=x^{6-2}=x^4$，故D正确。
【答案】D
【知识点】同底数幂的运算、合并同类项
【点评】本题为中考基础题，主要考查整式的基本运算规则，需牢记各类运算法则，避免指数运算规则混淆，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】A选项：$x^3$与$x^2$不是同类项，不能合并，故A错误；B选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$x^3·x^2=x^{3+2}=x^5≠x^6$，故B错误；C选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘，$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6≠x^9$，故C错误；D选项：同底数幂相除，底数不变，指数相减，$x^6÷x^2=x^{6-2}=x^4$，故D正确。
【答案】D
【知识点】同底数幂的运算、合并同类项
【点评】本题为中考基础题，主要考查整式的基本运算规则，需牢记各类运算法则，避免指数运算规则混淆，难度较低。
【难度系数】0.8
4. 下列多项式的乘法中,能用平方差公式计算的是 (
A.$(\dfrac{1}{2}m - n)(m + \dfrac{1}{2}n)$
B.$(- m - n)(m + n)$
C.$(- m - n)(m - n)$
D.$(m - n)(n - m)$
C
)A.$(\dfrac{1}{2}m - n)(m + \dfrac{1}{2}n)$
B.$(- m - n)(m + n)$
C.$(- m - n)(m - n)$
D.$(m - n)(n - m)$
答案
4.C
解析
【分析】
要判断多项式乘法能否用平方差公式，需先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，存在一项完全相同，另一项互为相反数，形式为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。据此逐一分析选项：
选项A：两个因式中，$\frac{1}{2}m$与$m$不相同，$-n$与$\frac{1}{2}n$不互为相反数，不符合公式结构；
选项B：可变形为$-(m+n)(m+n)=-(m+n)^2$，属于完全平方形式，无互为相反数的项，不符合；
选项C：可变形为$(-n - m)(-n + m)$，相同项为$-n$，互为相反数的项为$m$，符合公式结构；
选项D：可变形为$-(m-n)(m-n)=-(m-n)^2$，属于完全平方形式，不符合。
【解析】
根据平方差公式的适用条件：两个二项式相乘，有一项相同，另一项互为相反数。
A选项：$(\frac{1}{2}m - n)(m + \frac{1}{2}n)$，无相同项和互为相反数的项，不能用平方差公式；
B选项：$(-m -n)(m +n)=-(m+n)^2$，是完全平方运算，不能用平方差公式；
C选项：$(-m -n)(m -n)=(-n -m)(-n +m)=(-n)^2 - m^2$，符合平方差公式，能用；
D选项：$(m -n)(n -m)=-(m-n)^2$，是完全平方运算，不能用平方差公式。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的结构特征，需准确识别公式中的“相同项”与“相反项”，是整式乘法的基础题型。
【难度系数】
0.7
要判断多项式乘法能否用平方差公式，需先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，存在一项完全相同，另一项互为相反数，形式为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。据此逐一分析选项：
选项A：两个因式中，$\frac{1}{2}m$与$m$不相同，$-n$与$\frac{1}{2}n$不互为相反数，不符合公式结构；
选项B：可变形为$-(m+n)(m+n)=-(m+n)^2$，属于完全平方形式，无互为相反数的项，不符合；
选项C：可变形为$(-n - m)(-n + m)$，相同项为$-n$，互为相反数的项为$m$，符合公式结构；
选项D：可变形为$-(m-n)(m-n)=-(m-n)^2$，属于完全平方形式，不符合。
【解析】
根据平方差公式的适用条件：两个二项式相乘，有一项相同，另一项互为相反数。
A选项：$(\frac{1}{2}m - n)(m + \frac{1}{2}n)$，无相同项和互为相反数的项，不能用平方差公式；
B选项：$(-m -n)(m +n)=-(m+n)^2$，是完全平方运算，不能用平方差公式；
C选项：$(-m -n)(m -n)=(-n -m)(-n +m)=(-n)^2 - m^2$，符合平方差公式，能用；
D选项：$(m -n)(n -m)=-(m-n)^2$，是完全平方运算，不能用平方差公式。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的结构特征，需准确识别公式中的“相同项”与“相反项”，是整式乘法的基础题型。
【难度系数】
0.7
5.已知$x^m=2,x^n=4$,则$x^{3m-n}=$（
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
5.A
解析
【分析】要计算$x^{3m-n}$，需利用幂的运算性质将其转化为与已知$x^m$、$x^n$相关的形式。根据幂的乘方法则，$x^{3m}=(x^m)^3$；根据同底数幂的除法法则，$x^{3m-n}=x^{3m}÷ x^n$，因此可将所求式变形为$(x^m)^3÷ x^n$，再代入已知值计算即可。
【解析】
解：根据幂的运算性质：
1. 幂的乘方：$x^{3m}=(x^m)^3$；
2. 同底数幂的除法：$x^{3m-n}=x^{3m}÷ x^n=(x^m)^3÷ x^n$。
已知$x^m=2$，$x^n=4$，代入得：
$(2)^3÷4=8÷4=2$，
所以$x^{3m-n}=2$，答案选A。
【答案】A
【知识点】幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】本题考查幂的运算性质的应用，核心是逆用幂的乘方和同底数幂的除法法则，将所求代数式转化为已知条件可直接代入的形式，属于基础运算题，需熟练掌握相关法则。
【难度系数】0.6
【解析】
解：根据幂的运算性质：
1. 幂的乘方：$x^{3m}=(x^m)^3$；
2. 同底数幂的除法：$x^{3m-n}=x^{3m}÷ x^n=(x^m)^3÷ x^n$。
已知$x^m=2$，$x^n=4$，代入得：
$(2)^3÷4=8÷4=2$，
所以$x^{3m-n}=2$，答案选A。
【答案】A
【知识点】幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】本题考查幂的运算性质的应用，核心是逆用幂的乘方和同底数幂的除法法则，将所求代数式转化为已知条件可直接代入的形式，属于基础运算题，需熟练掌握相关法则。
【难度系数】0.6
6.计算$(\dfrac{2}{3})^{2027} × 1.5^{2026} × (-1)^{2028}$的结果是 （
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{2}{3}$
D.$-\dfrac{3}{2}$
A
）A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{2}{3}$
D.$-\dfrac{3}{2}$
答案
6.A
解析
【分析】
本题考查幂的运算，核心是运用积的乘方的逆运算简化计算。解题思路：先将小数1.5化为分数，再根据负数的偶次幂为正确定(-1)的幂次结果，接着拆分指数，将同指数的幂合并计算，最后得出结果。
【解析】
解：先整理原式：
1.5 = $\dfrac{3}{2}$，且$(-1)^{2028}=1$（2028为偶数，负数的偶次幂为正），
则原式可转化为：
$(\dfrac{2}{3})^{2027} × (\dfrac{3}{2})^{2026} × 1$
将$(\dfrac{2}{3})^{2027}$拆分为$(\dfrac{2}{3})^{2026} × \dfrac{2}{3}$，得：
$(\dfrac{2}{3})^{2026} × \dfrac{2}{3} × (\dfrac{3}{2})^{2026}$
根据积的乘方逆运算$a^n × b^n=(ab)^n$，合并同指数幂：
$[(\dfrac{2}{3}) × (\dfrac{3}{2})]^{2026} × \dfrac{2}{3}$
计算得：
$1^{2026} × \dfrac{2}{3} = 1 × \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}$
【答案】
A
【知识点】
积的乘方逆运算、有理数的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题，重点考查积的乘方逆运算的灵活运用，通过拆分指数简化高次幂的计算，降低运算难度，适合巩固幂运算的基本法则。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的运算，核心是运用积的乘方的逆运算简化计算。解题思路：先将小数1.5化为分数，再根据负数的偶次幂为正确定(-1)的幂次结果，接着拆分指数，将同指数的幂合并计算，最后得出结果。
【解析】
解：先整理原式：
1.5 = $\dfrac{3}{2}$，且$(-1)^{2028}=1$（2028为偶数，负数的偶次幂为正），
则原式可转化为：
$(\dfrac{2}{3})^{2027} × (\dfrac{3}{2})^{2026} × 1$
将$(\dfrac{2}{3})^{2027}$拆分为$(\dfrac{2}{3})^{2026} × \dfrac{2}{3}$，得：
$(\dfrac{2}{3})^{2026} × \dfrac{2}{3} × (\dfrac{3}{2})^{2026}$
根据积的乘方逆运算$a^n × b^n=(ab)^n$，合并同指数幂：
$[(\dfrac{2}{3}) × (\dfrac{3}{2})]^{2026} × \dfrac{2}{3}$
计算得：
$1^{2026} × \dfrac{2}{3} = 1 × \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}$
【答案】
A
【知识点】
积的乘方逆运算、有理数的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题，重点考查积的乘方逆运算的灵活运用，通过拆分指数简化高次幂的计算，降低运算难度，适合巩固幂运算的基本法则。
【难度系数】
0.7
7. (2024·金华市东阳市期末)已知$x-y=3,xy=\dfrac{3}{2}$,则$x+y$的值为（
A.$\pm\sqrt{12}$
B.$\pm\sqrt{15}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{15}$
B
）A.$\pm\sqrt{12}$
B.$\pm\sqrt{15}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{15}$
答案
7.B
解析
【分析】要计算$x+y$的值，可利用完全平方公式的变形，将$(x+y)^2$转化为与已知的$(x-y)^2$和$xy$相关的表达式，代入数值计算后开平方即可得到结果。
【解析】根据完全平方公式的变形：$(x+y)^2=(x-y)^2 + 4xy$。
已知$x-y=3$，$xy=\dfrac{3}{2}$，代入得：
$(x+y)^2=3^2 + 4×\dfrac{3}{2}=9 + 6=15$
因此$x+y=\pm\sqrt{15}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】完全平方公式、代数式求值
【点评】本题考查完全平方公式的灵活应用，通过公式变形建立已知条件与所求代数式的联系，是解题核心，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】根据完全平方公式的变形：$(x+y)^2=(x-y)^2 + 4xy$。
已知$x-y=3$，$xy=\dfrac{3}{2}$，代入得：
$(x+y)^2=3^2 + 4×\dfrac{3}{2}=9 + 6=15$
因此$x+y=\pm\sqrt{15}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】完全平方公式、代数式求值
【点评】本题考查完全平方公式的灵活应用，通过公式变形建立已知条件与所求代数式的联系，是解题核心，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
8.下面的四个整式中,不能表示图中阴影部分面积的是 (
A.$x^{2}+5x$
B.$x(x+3)+6$
C.$3(x+2)+x^{2}$
D.$(x+2)(x+3)-2x$
A
)A.$x^{2}+5x$
B.$x(x+3)+6$
C.$3(x+2)+x^{2}$
D.$(x+2)(x+3)-2x$
答案
8.A
解析
【分析】
要判断哪个整式不能表示阴影部分面积，需先计算阴影部分的实际面积，可通过“大长方形面积减去空白部分面积”或“拆分阴影为小长方形求和”的方法计算，再将各选项整式与实际面积对比验证。
【解析】
1. 计算阴影部分实际面积：
方法一：整体减空白。大长方形的长为$x+3$，宽为$x+2$，面积为$(x+3)(x+2)$；空白部分是长为$x$、宽为2的长方形，面积为$2x$，因此阴影面积为：
$(x+3)(x+2)-2x = x^2 +5x +6 -2x = x^2 +3x +6$。
方法二：拆分求和。阴影可分为左侧边长为$x$的正方形，和右侧两个长方形：左侧正方形面积$x^2$，右侧上方长方形面积$3x$，右侧下方长方形面积$3×2=6$，因此阴影面积为$x^2 +3x +6$。
2. 验证选项：
选项B：$x(x+3)+6 = x^2 +3x +6$，与实际面积相等，可表示；
选项C：$3(x+2)+x^2 = 3x +6 +x^2 = x^2 +3x +6$，与实际面积相等，可表示；
选项D：$(x+2)(x+3)-2x = x^2 +5x +6 -2x = x^2 +3x +6$，与实际面积相等，可表示；
选项A：$x^2 +5x$，与实际面积$x^2 +3x +6$不相等，不能表示阴影面积。
【答案】
A
【知识点】
整式的加减、长方形面积计算
【点评】
本题结合图形面积考查整式运算，需掌握“整体减空白”或“拆分求和”的面积计算方法，通过化简整式对比验证，属于数形结合的基础题型。
【难度系数】
0.4
要判断哪个整式不能表示阴影部分面积，需先计算阴影部分的实际面积，可通过“大长方形面积减去空白部分面积”或“拆分阴影为小长方形求和”的方法计算，再将各选项整式与实际面积对比验证。
【解析】
1. 计算阴影部分实际面积：
方法一：整体减空白。大长方形的长为$x+3$，宽为$x+2$，面积为$(x+3)(x+2)$；空白部分是长为$x$、宽为2的长方形，面积为$2x$，因此阴影面积为：
$(x+3)(x+2)-2x = x^2 +5x +6 -2x = x^2 +3x +6$。
方法二：拆分求和。阴影可分为左侧边长为$x$的正方形，和右侧两个长方形：左侧正方形面积$x^2$，右侧上方长方形面积$3x$，右侧下方长方形面积$3×2=6$，因此阴影面积为$x^2 +3x +6$。
2. 验证选项：
选项B：$x(x+3)+6 = x^2 +3x +6$，与实际面积相等，可表示；
选项C：$3(x+2)+x^2 = 3x +6 +x^2 = x^2 +3x +6$，与实际面积相等，可表示；
选项D：$(x+2)(x+3)-2x = x^2 +5x +6 -2x = x^2 +3x +6$，与实际面积相等，可表示；
选项A：$x^2 +5x$，与实际面积$x^2 +3x +6$不相等，不能表示阴影面积。
【答案】
A
【知识点】
整式的加减、长方形面积计算
【点评】
本题结合图形面积考查整式运算，需掌握“整体减空白”或“拆分求和”的面积计算方法，通过化简整式对比验证，属于数形结合的基础题型。
【难度系数】
0.4
