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23. (10分)创新探究 数学活动:探究不定方程。小北、小仑两名同学在学习方程过程中,发现对于三元一次方程组$\begin{cases}3x + 2y + z = 9, \mathrm{①} \\2x + 3y + 4z = 11, \mathrm{②}\end{cases}$虽然解不出$x,y,z$的具体数值,但可以解出$x + y + z$的值。
(1)小北的方法:②$×3 -$①$×2$,整理可得$y=$
(2)已知$\begin{cases}3x + y + 2z = 9, \\x - 3y - z = 3,\end{cases}$试求解$x + y + z$的值。
(3)学校现准备采购若干英语簿、数学簿以及作文本,已知采购4本英语簿,5本数学簿,2本作文本需要6元;采购4本英语簿,8本数学簿,2本作文本需要7.2元,那么采购200本英语簿,300本数学簿,100本作文本需要多少钱?
(1)小北的方法:②$×3 -$①$×2$,整理可得$y=$
3 - 2z
,①$×3 -$②$×2$,整理可得$x=$1 + z
,所以$x + y + z = 4$。小仑的方法:①$+$②:5x + 5y + 5z = 20
③,所以③$×\dfrac{1}{5}$
得$x + y + z = 4$。(2)已知$\begin{cases}3x + y + 2z = 9, \\x - 3y - z = 3,\end{cases}$试求解$x + y + z$的值。
(3)学校现准备采购若干英语簿、数学簿以及作文本,已知采购4本英语簿,5本数学簿,2本作文本需要6元;采购4本英语簿,8本数学簿,2本作文本需要7.2元,那么采购200本英语簿,300本数学簿,100本作文本需要多少钱?
答案
23.(1)$3 - 2z$;$1 + z$;$5x + 5y + 5z = 20$;③$×\dfrac{1}{5}$
(2)解:$\begin{cases}3x + y + 2z = 9, ① \\x - 3y - z = 3。 ②\end{cases}$ 由①×2-②,得$5x + 5y + 5z = 15$,所以$x + y + z = 3$。
(3)解:设英语簿的单价为x元,数学簿的单价为y元,作文本的单价为z元。由题意,得$\begin{cases}4x + 5y + 2z = 6, ① \\4x + 8y + 2z = 7.2。 ②\end{cases}$ 由①×2+②,得$12x + 18y + 6z = 19.2$,所以$2x + 3y + z = 3.2$,所以$200x + 300y + 100z = 320$。答:需要320元。
(2)解:$\begin{cases}3x + y + 2z = 9, ① \\x - 3y - z = 3。 ②\end{cases}$ 由①×2-②,得$5x + 5y + 5z = 15$,所以$x + y + z = 3$。
(3)解:设英语簿的单价为x元,数学簿的单价为y元,作文本的单价为z元。由题意,得$\begin{cases}4x + 5y + 2z = 6, ① \\4x + 8y + 2z = 7.2。 ②\end{cases}$ 由①×2+②,得$12x + 18y + 6z = 19.2$,所以$2x + 3y + z = 3.2$,所以$200x + 300y + 100z = 320$。答:需要320元。
解析
【分析】
本题是关于三元一次方程组的创新探究题，核心思路是利用加减消元法构造目标整体代数式（如$x+y+z$），无需单独求解每个变量。对于不定方程组，通过对两个方程进行适当倍数变换后相加或相减，消去多余变量，得到目标整体的表达式，进而简化计算。解题时需注意运算准确性，确保系数变换后能得到目标形式。
【解析】
(1) 小北的方法：
对②式乘以3得：$6x + 9y + 12z = 33$，对①式乘以2得：$6x + 4y + 2z = 18$，两式相减（②×3 - ①×2）：
$(6x-6x)+(9y-4y)+(12z-2z)=33-18$，整理得$5y +10z=15$，即$y=3-2z$；
对①式乘以3得：$9x +6y +3z=27$，对②式乘以2得：$4x +6y +8z=22$，两式相减（①×3 -②×2）：
$(9x-4x)+(6y-6y)+(3z-8z)=27-22$，整理得$5x -5z=5$，即$x=1+z$；
小仑的方法：①+②得：$(3x+2x)+(2y+3y)+(z+4z)=9+11$，整理得$5x+5y+5z=20$，即③式，再将③式两边乘$\dfrac{1}{5}$，得$x+y+z=4$。
(2) 对于方程组$\begin{cases}3x + y + 2z = 9, ① \\x - 3y - z = 3, ②\end{cases}$，将①×2得：$6x +2y +4z=18$，再减去②式：
$(6x -x)+(2y +3y)+(4z +z)=18-3$，整理得$5x+5y+5z=15$，两边除以5得$x+y+z=3$。
(3) 设英语簿、数学簿、作文本的单价分别为$x$元、$y$元、$z$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}4x +5y +2z =6, ① \\4x +8y +2z =7.2, ②\end{cases}$
将①×2得：$8x +10y +4z=12$，再加上②式：
$(8x+4x)+(10y+8y)+(4z+2z)=12+7.2$，整理得$12x +18y +6z=19.2$，两边除以6得：$2x +3y +z=3.2$；
则$200x +300y +100z=100×(2x +3y +z)=100×3.2=320$（元）。
【答案】
(1) $3-2z$；$1+z$；$5x+5y+5z=20$；③$×\dfrac{1}{5}$
(2) $x+y+z=3$
(3) 需要320元
【知识点】
三元一次方程组的解法；整体思想；代数式求值
【点评】
本题为创新探究类题目，重点考查三元一次方程组的灵活应用，核心是通过加减消元法构造目标整体表达式，避免求解单个变量，体现了整体思想在代数中的应用，对学生的运算能力和思维灵活性有一定要求，是中等难度的探究题。
【难度系数】
0.5
本题是关于三元一次方程组的创新探究题，核心思路是利用加减消元法构造目标整体代数式（如$x+y+z$），无需单独求解每个变量。对于不定方程组，通过对两个方程进行适当倍数变换后相加或相减，消去多余变量，得到目标整体的表达式，进而简化计算。解题时需注意运算准确性，确保系数变换后能得到目标形式。
【解析】
(1) 小北的方法：
对②式乘以3得：$6x + 9y + 12z = 33$，对①式乘以2得：$6x + 4y + 2z = 18$，两式相减（②×3 - ①×2）：
$(6x-6x)+(9y-4y)+(12z-2z)=33-18$，整理得$5y +10z=15$，即$y=3-2z$；
对①式乘以3得：$9x +6y +3z=27$，对②式乘以2得：$4x +6y +8z=22$，两式相减（①×3 -②×2）：
$(9x-4x)+(6y-6y)+(3z-8z)=27-22$，整理得$5x -5z=5$，即$x=1+z$；
小仑的方法：①+②得：$(3x+2x)+(2y+3y)+(z+4z)=9+11$，整理得$5x+5y+5z=20$，即③式，再将③式两边乘$\dfrac{1}{5}$，得$x+y+z=4$。
(2) 对于方程组$\begin{cases}3x + y + 2z = 9, ① \\x - 3y - z = 3, ②\end{cases}$，将①×2得：$6x +2y +4z=18$，再减去②式：
$(6x -x)+(2y +3y)+(4z +z)=18-3$，整理得$5x+5y+5z=15$，两边除以5得$x+y+z=3$。
(3) 设英语簿、数学簿、作文本的单价分别为$x$元、$y$元、$z$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}4x +5y +2z =6, ① \\4x +8y +2z =7.2, ②\end{cases}$
将①×2得：$8x +10y +4z=12$，再加上②式：
$(8x+4x)+(10y+8y)+(4z+2z)=12+7.2$，整理得$12x +18y +6z=19.2$，两边除以6得：$2x +3y +z=3.2$；
则$200x +300y +100z=100×(2x +3y +z)=100×3.2=320$（元）。
【答案】
(1) $3-2z$；$1+z$；$5x+5y+5z=20$；③$×\dfrac{1}{5}$
(2) $x+y+z=3$
(3) 需要320元
【知识点】
三元一次方程组的解法；整体思想；代数式求值
【点评】
本题为创新探究类题目，重点考查三元一次方程组的灵活应用，核心是通过加减消元法构造目标整体表达式，避免求解单个变量，体现了整体思想在代数中的应用，对学生的运算能力和思维灵活性有一定要求，是中等难度的探究题。
【难度系数】
0.5
24.(12分)方案设计 某公司用甲、乙两种货车运输原料,两次满载的运输情况如表:
|次数|甲种货车/辆|乙种货车/辆|总量/吨|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|第一次|4|
5|31|
|第二次|3|6|30|
(1)甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨?
(2)该公司又新购买45吨原料,准备同时租用这两种货车,每辆均全部装满,问有哪几种租车方案?
(3)在(2)的前提下,已知甲种货车每辆租金为300元,乙种货车每辆租金为200元,选择哪种租车方案最省钱?
|次数|甲种货车/辆|乙种货车/辆|总量/吨|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|第一次|4|
5|31||第二次|3|6|30|
(1)甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨?
(2)该公司又新购买45吨原料,准备同时租用这两种货车,每辆均全部装满,问有哪几种租车方案?
(3)在(2)的前提下,已知甲种货车每辆租金为300元,乙种货车每辆租金为200元,选择哪种租车方案最省钱?
答案
24.(1)解:设甲种货车满载时每辆能运输原料x吨,乙种货车满载时每辆能运输原料y吨。由题意,得$\begin{cases}4x + 5y = 31, \\3x + 6y = 30,\end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = 4, \\ y = 3 \end{cases}$。答:甲种货车满载时每辆能运输原料4吨,乙种货车满载时每辆能运输原料3吨。
(2)解:设租用甲种货车m辆,乙种货车n辆。由题意,得$4m + 3n = 45$,所以$m = \dfrac{45 - 3n}{4}$。因为m,n均为正整数,所以$\begin{cases} m = 9, \\ n = 3, \end{cases}$或$\begin{cases} m = 6, \\ n = 7, \end{cases}$或$\begin{cases} m = 3, \\ n = 11, \end{cases}$ 所以共有3种租车方案。方案一:租用9辆甲种货车,3辆乙种货车;方案二:租用6辆甲种货车,7辆乙种货车;方案三:租用3辆甲种货车,11辆乙种货车。
(3)解:方案一所需费用为$300×9 + 200×3 = 3300$(元),方案二所需费用为$300×6 + 200×7 = 3200$(元),方案三所需费用为$300×3 + 200×11 = 3100$(元)。因为$3300 ＞ 3200 ＞ 3100$,所以方案三最省钱,费用是3100元。
(2)解:设租用甲种货车m辆,乙种货车n辆。由题意,得$4m + 3n = 45$,所以$m = \dfrac{45 - 3n}{4}$。因为m,n均为正整数,所以$\begin{cases} m = 9, \\ n = 3, \end{cases}$或$\begin{cases} m = 6, \\ n = 7, \end{cases}$或$\begin{cases} m = 3, \\ n = 11, \end{cases}$ 所以共有3种租车方案。方案一:租用9辆甲种货车,3辆乙种货车;方案二:租用6辆甲种货车,7辆乙种货车;方案三:租用3辆甲种货车,11辆乙种货车。
(3)解:方案一所需费用为$300×9 + 200×3 = 3300$(元),方案二所需费用为$300×6 + 200×7 = 3200$(元),方案三所需费用为$300×3 + 200×11 = 3100$(元)。因为$3300 ＞ 3200 ＞ 3100$,所以方案三最省钱,费用是3100元。
解析
【分析】
本题分为三小问，第(1)问需通过设未知数，结合两次运输的车辆数与总吨数建立二元一次方程组，求解得到甲、乙两种货车的满载运输量；第(2)问根据总原料吨数和车辆满载条件，结合正整数要求确定所有可行的租车方案；第(3)问计算各租车方案的租金，比较后选出最省钱的方案。
【解析】
(1) 设甲种货车满载时每辆运输原料$x$吨，乙种货车满载时每辆运输原料$y$吨。
根据第一次运输情况得：$4x + 5y = 31$；
根据第二次运输情况得：$3x + 6y = 30$，化简为$x + 2y = 10$，即$x = 10 - 2y$。
将$x = 10 - 2y$代入$4x + 5y = 31$，得：
$4(10 - 2y) + 5y = 31$，
$40 - 8y + 5y = 31$，
$-3y = -9$，解得$y = 3$。
将$y = 3$代入$x = 10 - 2y$，得$x = 10 - 2×3 = 4$。
(2) 设租用甲种货车$m$辆，乙种货车$n$辆，根据总原料45吨且每车装满，得：
$4m + 3n = 45$，变形为$m = \frac{45 - 3n}{4}$。
因为$m$、$n$均为正整数，所以$45 - 3n$需为4的正整数倍，且$m≥1$、$n≥1$。
当$n = 3$时，$m = \frac{45 - 9}{4} = 9$；
当$n = 7$时，$m = \frac{45 - 21}{4} = 6$；
当$n = 11$时，$m = \frac{45 - 33}{4} = 3$；
其余$n$值不符合正整数要求，故共3种租车方案。
(3) 计算各方案租金：
方案一（9辆甲、3辆乙）：$300×9 + 200×3 = 2700 + 600 = 3300$元；
方案二（6辆甲、7辆乙）：$300×6 + 200×7 = 1800 + 1400 = 3200$元；
方案三（3辆甲、11辆乙）：$300×3 + 200×11 = 900 + 2200 = 3100$元。
比较得$3100＜3200＜3300$，故方案三最省钱。
【答案】
(1) 甲种货车满载时每辆运输原料4吨，乙种货车满载时每辆运输原料3吨；
(2) 共有3种租车方案：①租用9辆甲种货车，3辆乙种货车；②租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；③租用3辆甲种货车，11辆乙种货车；
(3) 选择租用3辆甲种货车、11辆乙种货车的方案最省钱，费用为3100元。
【知识点】
二元一次方程组应用，方案设计，代数式求值
【点评】
本题是结合实际运输的方案设计题，核心是利用二元一次方程组求解基础量，再通过整数约束确定可行方案，最后计算费用选最优，考查学生的方程思想与逻辑分析能力，是常见的应用型题目。
【难度系数】
0.5
本题分为三小问，第(1)问需通过设未知数，结合两次运输的车辆数与总吨数建立二元一次方程组，求解得到甲、乙两种货车的满载运输量；第(2)问根据总原料吨数和车辆满载条件，结合正整数要求确定所有可行的租车方案；第(3)问计算各租车方案的租金，比较后选出最省钱的方案。
【解析】
(1) 设甲种货车满载时每辆运输原料$x$吨，乙种货车满载时每辆运输原料$y$吨。
根据第一次运输情况得：$4x + 5y = 31$；
根据第二次运输情况得：$3x + 6y = 30$，化简为$x + 2y = 10$，即$x = 10 - 2y$。
将$x = 10 - 2y$代入$4x + 5y = 31$，得：
$4(10 - 2y) + 5y = 31$，
$40 - 8y + 5y = 31$，
$-3y = -9$，解得$y = 3$。
将$y = 3$代入$x = 10 - 2y$，得$x = 10 - 2×3 = 4$。
(2) 设租用甲种货车$m$辆，乙种货车$n$辆，根据总原料45吨且每车装满，得：
$4m + 3n = 45$，变形为$m = \frac{45 - 3n}{4}$。
因为$m$、$n$均为正整数，所以$45 - 3n$需为4的正整数倍，且$m≥1$、$n≥1$。
当$n = 3$时，$m = \frac{45 - 9}{4} = 9$；
当$n = 7$时，$m = \frac{45 - 21}{4} = 6$；
当$n = 11$时，$m = \frac{45 - 33}{4} = 3$；
其余$n$值不符合正整数要求，故共3种租车方案。
(3) 计算各方案租金：
方案一（9辆甲、3辆乙）：$300×9 + 200×3 = 2700 + 600 = 3300$元；
方案二（6辆甲、7辆乙）：$300×6 + 200×7 = 1800 + 1400 = 3200$元；
方案三（3辆甲、11辆乙）：$300×3 + 200×11 = 900 + 2200 = 3100$元。
比较得$3100＜3200＜3300$，故方案三最省钱。
【答案】
(1) 甲种货车满载时每辆运输原料4吨，乙种货车满载时每辆运输原料3吨；
(2) 共有3种租车方案：①租用9辆甲种货车，3辆乙种货车；②租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；③租用3辆甲种货车，11辆乙种货车；
(3) 选择租用3辆甲种货车、11辆乙种货车的方案最省钱，费用为3100元。
【知识点】
二元一次方程组应用，方案设计，代数式求值
【点评】
本题是结合实际运输的方案设计题，核心是利用二元一次方程组求解基础量，再通过整数约束确定可行方案，最后计算费用选最优，考查学生的方程思想与逻辑分析能力，是常见的应用型题目。
【难度系数】
0.5
