登录
10.数学家阿基米德通过圆柱容球实验(如右图)发现当圆柱容球时,球的体积正好是圆柱体积的$\frac{2}{3}$,以此发现了球的体积计算公式。那么,这个球的体积是(
$\frac{4}{3}π r^3$
)。(圆周率取π)答案
10. $\frac{4}{3}π r^3$
解析
【分析】首先观察图形，确定圆柱的底面半径为$r$，高为$2r$。根据圆柱体积公式算出圆柱体积，再结合题目给出的“球的体积是圆柱体积的$\frac{2}{3}$”这一关系，就能求出球的体积。
【解析】1. 计算圆柱体积：圆柱体积公式为$V_{圆柱}=底面积×高$，底面积是圆的面积，即$πr^2$，高为$2r$，因此$V_{圆柱}=πr^2×2r=2πr^3$。2. 计算球的体积：根据题意，球的体积是圆柱体积的$\frac{2}{3}$，所以$V_{球}=\frac{2}{3}×V_{圆柱}=\frac{2}{3}×2πr^3=\frac{4}{3}πr^3$。
【答案】$\frac{4}{3}π r^3$
【知识点】圆柱体积计算、球体积计算
【点评】本题结合圆柱容球的性质，考查圆柱体积公式的应用，属于基础应用题型，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】1. 计算圆柱体积：圆柱体积公式为$V_{圆柱}=底面积×高$，底面积是圆的面积，即$πr^2$，高为$2r$，因此$V_{圆柱}=πr^2×2r=2πr^3$。2. 计算球的体积：根据题意，球的体积是圆柱体积的$\frac{2}{3}$，所以$V_{球}=\frac{2}{3}×V_{圆柱}=\frac{2}{3}×2πr^3=\frac{4}{3}πr^3$。
【答案】$\frac{4}{3}π r^3$
【知识点】圆柱体积计算、球体积计算
【点评】本题结合圆柱容球的性质，考查圆柱体积公式的应用，属于基础应用题型，难度较低。
【难度系数】0.6
11.右图中,线段AD的长度是90 cm,三个圆的直径之比是1:2:3,那么,这三个圆的周长之和是()cm。
答案
11. 282.6
12.(1)$(n+1)^2-n^2=2n+1$ (2)78
12.(1)$(n+1)^2-n^2=2n+1$ (2)78
解析
【分析】首先观察图形，线段AD的长度等于三个圆的直径之和。已知三个圆的直径之比为1:2:3，且AD长90cm，可先确定三个圆的直径总和，再利用圆的周长公式（周长=π×直径），将三个圆的周长相加时可提取公因式π，直接用π乘以直径总和就能快速算出结果，无需单独求每个圆的直径。
【解析】设三个圆的直径分别为$d_1$、$d_2$、$d_3$，由题意可知：
三个圆的直径之和$d_1+d_2+d_3 = AD = 90\ \mathrm{cm}$，圆的周长公式为$C=π d$，则三个圆的周长之和为：
$C_{\mathrm{总}}=π d_1 + π d_2 + π d_3 = π(d_1+d_2+d_3)$
代入$d_1+d_2+d_3=90\ \mathrm{cm}$，取$π=3.14$，得：
$C_{\mathrm{总}}=3.14×90=282.6\ \mathrm{cm}$
【答案】282.6
【知识点】圆的周长、比例的应用
【点评】本题结合图形特征，利用线段长度与圆直径的关系，通过整体代入简化计算，避免了单独求解每个圆直径的繁琐步骤，核心是掌握圆的周长公式的灵活运用。
【难度系数】0.5
【解析】设三个圆的直径分别为$d_1$、$d_2$、$d_3$，由题意可知：
三个圆的直径之和$d_1+d_2+d_3 = AD = 90\ \mathrm{cm}$，圆的周长公式为$C=π d$，则三个圆的周长之和为：
$C_{\mathrm{总}}=π d_1 + π d_2 + π d_3 = π(d_1+d_2+d_3)$
代入$d_1+d_2+d_3=90\ \mathrm{cm}$，取$π=3.14$，得：
$C_{\mathrm{总}}=3.14×90=282.6\ \mathrm{cm}$
【答案】282.6
【知识点】圆的周长、比例的应用
【点评】本题结合图形特征，利用线段长度与圆直径的关系，通过整体代入简化计算，避免了单独求解每个圆直径的繁琐步骤，核心是掌握圆的周长公式的灵活运用。
【难度系数】0.5
12.观察算式的规律：$2^2 - 1^2 = 2 + 1, 3^2 - 2^2 = 3 + 2, 4^2 - 3^2 = 4 + 3, 5^2 - 4^2 = 5 + 4, ···$
(1)用含字母$n$的式子表示规律：()。
(2)用规律计算：$12^2 - 11^2 + 10^2 - 9^2 + 8^2 - 7^2 + 6^2 - 5^2 + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2 =$()。
(1)用含字母$n$的式子表示规律：()。
(2)用规律计算：$12^2 - 11^2 + 10^2 - 9^2 + 8^2 - 7^2 + 6^2 - 5^2 + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2 =$()。
答案
(1) $\boldsymbol{n^2 - (n-1)^2 = n + (n-1)}$（n为大于1的自然数）
(2)
$\begin{aligned}&12^2 - 11^2 + 10^2 - 9^2 + 8^2 - 7^2 + 6^2 - 5^2 + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2\\=&(12+11)+(10+9)+(8+7)+(6+5)+(4+3)+(2+1)\\=&12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1\\=&(1+12)×12÷2\\=&78\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&12^2 - 11^2 + 10^2 - 9^2 + 8^2 - 7^2 + 6^2 - 5^2 + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2\\=&(12+11)+(10+9)+(8+7)+(6+5)+(4+3)+(2+1)\\=&12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1\\=&(1+12)×12÷2\\=&78\end{aligned}$
解析
【分析】
先观察给出的算式，发现每个算式均为两个连续自然数的平方差，结果等于这两个数的和，据此总结规律；第二问利用总结的规律，将算式中每组平方差转化为两个数的和，再合并后用等差数列求和公式计算总和。
【解析】
(1) 观察算式：$2^2-1^2=2+1$，$3^2-2^2=3+2$，…，对于大于1的自然数$n$，规律为：$n^2-(n-1)^2=n+(n-1)$；
(2) 利用规律转化原式：
$\begin{aligned}&12^2 - 11^2 + 10^2 - 9^2 + 8^2 - 7^2 + 6^2 - 5^2 + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2\\=&(12+11)+(10+9)+(8+7)+(6+5)+(4+3)+(2+1)\\=&12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1\\=&(1+12)×12÷2\\=&78\end{aligned}$
【答案】
(1) $n^2 - (n-1)^2 = n + (n-1)$（n为大于1的自然数）；(2) $78$
【知识点】
平方差公式应用，等差数列求和
【点评】
本题通过观察特例归纳数学规律，再运用规律解决计算问题，重点考查学生的观察归纳能力与规律应用能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
先观察给出的算式，发现每个算式均为两个连续自然数的平方差，结果等于这两个数的和，据此总结规律；第二问利用总结的规律，将算式中每组平方差转化为两个数的和，再合并后用等差数列求和公式计算总和。
【解析】
(1) 观察算式：$2^2-1^2=2+1$，$3^2-2^2=3+2$，…，对于大于1的自然数$n$，规律为：$n^2-(n-1)^2=n+(n-1)$；
(2) 利用规律转化原式：
$\begin{aligned}&12^2 - 11^2 + 10^2 - 9^2 + 8^2 - 7^2 + 6^2 - 5^2 + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2\\=&(12+11)+(10+9)+(8+7)+(6+5)+(4+3)+(2+1)\\=&12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1\\=&(1+12)×12÷2\\=&78\end{aligned}$
【答案】
(1) $n^2 - (n-1)^2 = n + (n-1)$（n为大于1的自然数）；(2) $78$
【知识点】
平方差公式应用，等差数列求和
【点评】
本题通过观察特例归纳数学规律，再运用规律解决计算问题，重点考查学生的观察归纳能力与规律应用能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
1.下列四个算式中，“7”和“4”可以直接相加减的是（
A.$173+452$
B.$\frac{7}{11}-\frac{4}{9}$
C.$0.27+11.54$
D.$2.78-1\frac{4}{100}$
C
）。A.$173+452$
B.$\frac{7}{11}-\frac{4}{9}$
C.$0.27+11.54$
D.$2.78-1\frac{4}{100}$
答案
1.C
解析
【分析】要判断“7”和“4”能否直接相加减，关键是看它们的计数单位是否相同，只有计数单位相同的数才能直接相加减。我们需要逐个分析每个选项中“7”和“4”对应的计数单位，进而判断是否符合要求。
【解析】
1. 分析选项A：$173$中的“7”在十位，计数单位是“十”；$452$中的“4”在百位，计数单位是“百”，两者计数单位不同，不能直接相加减，故A错误。
2. 分析选项B：$\frac{7}{11}$的分数单位是$\frac{1}{11}$，$\frac{4}{9}$的分数单位是$\frac{1}{9}$，两者分数单位不同，不能直接相加减，故B错误。
3. 分析选项C：$0.27$中的“7”在百分位，计数单位是$0.01$；$11.54$中的“4”也在百分位，计数单位是$0.01$，两者计数单位相同，可以直接相加减，故C正确。
4. 分析选项D：$2.78$中的“7”在十分位，计数单位是$0.1$；$1\frac{4}{100}$中的“4”在百分位，计数单位是$0.01$，两者计数单位不同，不能直接相加减，故D错误。
【答案】C
【知识点】小数的计数单位、分数单位、整数数位
【点评】本题考查数的加减运算的核心规则：只有计数单位相同的数才能直接相加减，需要学生掌握整数、分数、小数的计数单位，仔细辨析数字对应的计数单位，属于基础概念应用题。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 分析选项A：$173$中的“7”在十位，计数单位是“十”；$452$中的“4”在百位，计数单位是“百”，两者计数单位不同，不能直接相加减，故A错误。
2. 分析选项B：$\frac{7}{11}$的分数单位是$\frac{1}{11}$，$\frac{4}{9}$的分数单位是$\frac{1}{9}$，两者分数单位不同，不能直接相加减，故B错误。
3. 分析选项C：$0.27$中的“7”在百分位，计数单位是$0.01$；$11.54$中的“4”也在百分位，计数单位是$0.01$，两者计数单位相同，可以直接相加减，故C正确。
4. 分析选项D：$2.78$中的“7”在十分位，计数单位是$0.1$；$1\frac{4}{100}$中的“4”在百分位，计数单位是$0.01$，两者计数单位不同，不能直接相加减，故D错误。
【答案】C
【知识点】小数的计数单位、分数单位、整数数位
【点评】本题考查数的加减运算的核心规则：只有计数单位相同的数才能直接相加减，需要学生掌握整数、分数、小数的计数单位，仔细辨析数字对应的计数单位，属于基础概念应用题。
【难度系数】0.7
2.如果□代表一个非零自然数,那么下列算式中,得数最大的是(
A.$□×0.87$
B.$□÷1.2$
C.$□÷\frac{7}{8}$
D.$□×\frac{6}{5}$
D
)。A.$□×0.87$
B.$□÷1.2$
C.$□÷\frac{7}{8}$
D.$□×\frac{6}{5}$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断得数最大的算式，可将□看作任意非零自然数（设为a，a≥1），利用“非零数乘/除以不同数的大小变化规律”，或把除法转化为乘法，比较各算式中□的系数大小，系数越大，结果越大，即可快速判断。
【解析】
设□为非零自然数a（a≥1），分别分析各选项：
选项A：$a×0.87$，因$0.87＜1$，故结果为$0.87a ＜ a$；
选项B：$a÷1.2 = a×\frac{5}{6}≈0.833a$，因$\frac{5}{6}＜1$，故结果为$0.833a ＜ a$；
选项C：$a÷\frac{7}{8} = a×\frac{8}{7}≈1.143a$，因$\frac{8}{7}＞1$，故结果为$1.143a ＞ a$；
选项D：$a×\frac{6}{5}=1.2a$，因$\frac{6}{5}＞1$，故结果为$1.2a ＞ a$；
比较四个结果的系数：$1.2 ＞ 1.143 ＞ 1 ＞ 0.87 ＞ 0.833$，因此$1.2a$最大，即选项D的得数最大。
【答案】
D
【知识点】
小数乘除法、分数乘除法、数的大小比较
【点评】
本题核心考查非零数乘除不同数的大小变化规律，通过转化为乘法比较系数即可快速解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
要判断得数最大的算式，可将□看作任意非零自然数（设为a，a≥1），利用“非零数乘/除以不同数的大小变化规律”，或把除法转化为乘法，比较各算式中□的系数大小，系数越大，结果越大，即可快速判断。
【解析】
设□为非零自然数a（a≥1），分别分析各选项：
选项A：$a×0.87$，因$0.87＜1$，故结果为$0.87a ＜ a$；
选项B：$a÷1.2 = a×\frac{5}{6}≈0.833a$，因$\frac{5}{6}＜1$，故结果为$0.833a ＜ a$；
选项C：$a÷\frac{7}{8} = a×\frac{8}{7}≈1.143a$，因$\frac{8}{7}＞1$，故结果为$1.143a ＞ a$；
选项D：$a×\frac{6}{5}=1.2a$，因$\frac{6}{5}＞1$，故结果为$1.2a ＞ a$；
比较四个结果的系数：$1.2 ＞ 1.143 ＞ 1 ＞ 0.87 ＞ 0.833$，因此$1.2a$最大，即选项D的得数最大。
【答案】
D
【知识点】
小数乘除法、分数乘除法、数的大小比较
【点评】
本题核心考查非零数乘除不同数的大小变化规律，通过转化为乘法比较系数即可快速解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
3.六年级学生开展“营养午餐”调查活动。下列选项中，适合用折线统计图表示的是(
A.每种菜品受学生喜爱的人数情况
B.周一至周五菜品中蛋白质含量的变化情况
C.各年级学生喜爱“西红柿炒鸡蛋”的人数情况
D.某种菜中各营养成分的含量占总量的百分比情况
B
)。A.每种菜品受学生喜爱的人数情况
B.周一至周五菜品中蛋白质含量的变化情况
C.各年级学生喜爱“西红柿炒鸡蛋”的人数情况
D.某种菜中各营养成分的含量占总量的百分比情况
答案
3.B
解析
【分析】首先明确折线统计图的核心功能是展示数据的增减变化趋势，适合反映同一事物在不同时间的变化情况。接着分析各选项：A选项是不同菜品的喜爱人数，需比较数量，适合条形统计图；B选项是周一至周五蛋白质含量的变化，需体现变化趋势，适合折线统计图；C选项是不同年级的喜爱人数，需比较数量，适合条形统计图；D选项是营养成分的占比，需体现部分与整体的关系，适合扇形统计图。因此应选B。
【解析】折线统计图的特点是能清晰呈现数据的增减变化趋势，适用于展示随时间或顺序变化的数据。对各选项逐一分析：
1. A选项：统计每种菜品受喜爱的人数，目的是比较不同菜品的数量多少，适合用条形统计图；
2. B选项：统计周一至周五菜品中蛋白质含量的变化，需要体现数据随时间的变化趋势，适合用折线统计图；
3. C选项：统计各年级学生喜爱某道菜的人数，目的是比较不同年级的数量，适合用条形统计图；
4. D选项：统计某种菜中各营养成分的含量占总量的百分比，目的是体现部分与整体的关系，适合用扇形统计图。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】折线统计图的特点、统计图的选择
【点评】本题考查不同类型统计图的适用场景，属于统计模块的基础知识点，学生只需掌握各类统计图的功能即可正确解答，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】折线统计图的特点是能清晰呈现数据的增减变化趋势，适用于展示随时间或顺序变化的数据。对各选项逐一分析：
1. A选项：统计每种菜品受喜爱的人数，目的是比较不同菜品的数量多少，适合用条形统计图；
2. B选项：统计周一至周五菜品中蛋白质含量的变化，需要体现数据随时间的变化趋势，适合用折线统计图；
3. C选项：统计各年级学生喜爱某道菜的人数，目的是比较不同年级的数量，适合用条形统计图；
4. D选项：统计某种菜中各营养成分的含量占总量的百分比，目的是体现部分与整体的关系，适合用扇形统计图。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】折线统计图的特点、统计图的选择
【点评】本题考查不同类型统计图的适用场景，属于统计模块的基础知识点，学生只需掌握各类统计图的功能即可正确解答，难度较低。
【难度系数】0.8
4.已知△表示一个不为0的数字，□是0，下列组成的四位数中，一定是2,3,5的公倍数的是(
A.△△△□
B.△□△□
C.△□□△
D.△□△△
A
)。A.△△△□
B.△□△□
C.△□□△
D.△□△△
答案
4.A
解析
【分析】要判断四位数是否为2、3、5的公倍数，需先明确三者公倍数的特征：①同时是2和5的倍数，个位必须是0；②是3的倍数，各位数字之和是3的倍数。先根据个位特征排除不符合的选项，再验证剩余选项的数字和是否满足3的倍数要求，即可得出答案。
【解析】
1. 先根据“同时是2和5的倍数，个位为0”筛选选项：
选项A：个位是□（0），符合；
选项B：个位是□（0），符合；
选项C：个位是△（非0），不符合，排除；
选项D：个位是△（非0），不符合，排除；
2. 再根据“各位数字之和是3的倍数”验证剩余选项：
选项A：数字和为△+△+△+0=3△，△是不为0的数字，3△一定是3的倍数，符合；
选项B：数字和为△+0+△+0=2△，当△=1时，2×1=2，不是3的倍数，不符合；
因此只有选项A满足条件。
【答案】A
【知识点】2、3、5的倍数特征
【点评】本题考查2、3、5的公倍数特征，解题时先利用2和5的公倍数特征缩小范围，再用3的倍数特征验证，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 先根据“同时是2和5的倍数，个位为0”筛选选项：
选项A：个位是□（0），符合；
选项B：个位是□（0），符合；
选项C：个位是△（非0），不符合，排除；
选项D：个位是△（非0），不符合，排除；
2. 再根据“各位数字之和是3的倍数”验证剩余选项：
选项A：数字和为△+△+△+0=3△，△是不为0的数字，3△一定是3的倍数，符合；
选项B：数字和为△+0+△+0=2△，当△=1时，2×1=2，不是3的倍数，不符合；
因此只有选项A满足条件。
【答案】A
【知识点】2、3、5的倍数特征
【点评】本题考查2、3、5的公倍数特征，解题时先利用2和5的公倍数特征缩小范围，再用3的倍数特征验证，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】0.5
5.将这些有编号的小球：$\enclose{circle}{3}\enclose{circle}{4}\enclose{circle}{5}\enclose{circle}{6}\enclose{circle}{7}\enclose{circle}{8}\enclose{circle}{9}\enclose{circle}{10}$,放在一个袋子里。从袋子里任意摸出一个球(每次摸出后放回)。下列结论中,正确的是(
A.摸出质数的可能性大于合数
B.摸出3的倍数的可能性大于不是3的倍数
C.摸出偶数的可能性占50%
D.如果摸到5号球的可能性是12.5%,那么摸13次一定能摸到5号球
C
)。A.摸出质数的可能性大于合数
B.摸出3的倍数的可能性大于不是3的倍数
C.摸出偶数的可能性占50%
D.如果摸到5号球的可能性是12.5%,那么摸13次一定能摸到5号球
答案
5.C
解析
【分析】要判断各选项的正确性，需先明确袋子中小球的编号及总数，再分别统计每个选项对应的数的数量，结合概率公式计算可能性大小，逐一分析选项即可。
【解析】袋子里共有8个小球，编号为3、4、5、6、7、8、9、10，每次摸球后放回，每个球被摸到的概率相等，均为$\frac{1}{8}$。
选项A：质数有3、5、7，共3个；合数有4、6、8、9、10，共5个。摸出质数的概率为$\frac{3}{8}$，合数为$\frac{5}{8}$，$\frac{3}{8}＜\frac{5}{8}$，故A错误。
选项B：3的倍数有3、6、9，共3个；不是3的倍数的有4、5、7、8、10，共5个。摸出3的倍数的概率为$\frac{3}{8}$，不是的为$\frac{5}{8}$，$\frac{3}{8}＜\frac{5}{8}$，故B错误。
选项C：偶数有4、6、8、10，共4个。摸出偶数的概率为$\frac{4}{8}=50\%$，故C正确。
选项D：摸到5号球的可能性是12.5%，这是概率，仅表示摸球的可能性，不代表必然事件，摸13次不一定能摸到5号球，故D错误。
【答案】C
【知识点】概率计算、数的分类
【点评】本题考查可能性大小的判断，需准确统计各类数的数量并计算概率，易错点是混淆概率与必然事件，或数的分类错误。
【难度系数】0.6
【解析】袋子里共有8个小球，编号为3、4、5、6、7、8、9、10，每次摸球后放回，每个球被摸到的概率相等，均为$\frac{1}{8}$。
选项A：质数有3、5、7，共3个；合数有4、6、8、9、10，共5个。摸出质数的概率为$\frac{3}{8}$，合数为$\frac{5}{8}$，$\frac{3}{8}＜\frac{5}{8}$，故A错误。
选项B：3的倍数有3、6、9，共3个；不是3的倍数的有4、5、7、8、10，共5个。摸出3的倍数的概率为$\frac{3}{8}$，不是的为$\frac{5}{8}$，$\frac{3}{8}＜\frac{5}{8}$，故B错误。
选项C：偶数有4、6、8、10，共4个。摸出偶数的概率为$\frac{4}{8}=50\%$，故C正确。
选项D：摸到5号球的可能性是12.5%，这是概率，仅表示摸球的可能性，不代表必然事件，摸13次不一定能摸到5号球，故D错误。
【答案】C
【知识点】概率计算、数的分类
【点评】本题考查可能性大小的判断，需准确统计各类数的数量并计算概率，易错点是混淆概率与必然事件，或数的分类错误。
【难度系数】0.6
