登录
8. 某市在创建文明城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木20万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多10%，结果提前2天完成任务.设原计划每天种植$ x $万棵，则可列方程（
A.$\frac{20}{x} - \frac{20}{(1 + 10\%)x} = 2$
B.$\frac{20}{x} - \frac{20}{10\%x} = 2$
C.$\frac{20}{x} = \frac{20}{10\%x} + 2$
D.$\frac{20}{(1 + 10\%)x} - \frac{20}{x} = 2$
A
）A.$\frac{20}{x} - \frac{20}{(1 + 10\%)x} = 2$
B.$\frac{20}{x} - \frac{20}{10\%x} = 2$
C.$\frac{20}{x} = \frac{20}{10\%x} + 2$
D.$\frac{20}{(1 + 10\%)x} - \frac{20}{x} = 2$
答案
8.A
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确原计划和实际的工作时间，再根据“提前2天完成”的等量关系列方程。首先，原计划每天种植$x$万棵，总棵数为20万棵，因此原计划完成任务的时间为总棵数除以原计划每天种植量；实际每天比原计划多10%，可算出实际每天种植量，进而得到实际完成时间；最后根据“原计划时间 - 实际时间 = 提前的2天”这一关系列出方程。
【解析】
解：原计划每天种植$x$万棵，总任务20万棵，因此原计划完成时间为$\frac{20}{x}$天。
实际每天植树比原计划多10%，则实际每天种植量为$(1+10\%)x$万棵，实际完成时间为$\frac{20}{(1+10\%)x}$天。
已知实际比原计划提前2天完成任务，即原计划时间减去实际时间等于2天，代入得方程：$\frac{20}{x} - \frac{20}{(1+10\%)x} = 2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；工程问题
【点评】
本题是工程类分式方程的基础应用题，核心是找准“时间差”这一等量关系，需明确原计划与实际的工作效率、工作时间的对应关系，是分式方程应用的典型题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先明确原计划和实际的工作时间，再根据“提前2天完成”的等量关系列方程。首先，原计划每天种植$x$万棵，总棵数为20万棵，因此原计划完成任务的时间为总棵数除以原计划每天种植量；实际每天比原计划多10%，可算出实际每天种植量，进而得到实际完成时间；最后根据“原计划时间 - 实际时间 = 提前的2天”这一关系列出方程。
【解析】
解：原计划每天种植$x$万棵，总任务20万棵，因此原计划完成时间为$\frac{20}{x}$天。
实际每天植树比原计划多10%，则实际每天种植量为$(1+10\%)x$万棵，实际完成时间为$\frac{20}{(1+10\%)x}$天。
已知实际比原计划提前2天完成任务，即原计划时间减去实际时间等于2天，代入得方程：$\frac{20}{x} - \frac{20}{(1+10\%)x} = 2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；工程问题
【点评】
本题是工程类分式方程的基础应用题，核心是找准“时间差”这一等量关系，需明确原计划与实际的工作效率、工作时间的对应关系，是分式方程应用的典型题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
9. 若分式方程$\dfrac{kx}{x-3}+\dfrac{6}{3-x}=1$有增根，则$k$的值为 （
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
9.B
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，需明确：增根是分式方程去分母后转化为的整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0。解题思路为：先确定增根的值，再将分式方程转化为整式方程，最后把增根代入整式方程求解参数k。
【解析】
1. 确定增根：原分式方程的分母为$x-3$和$3-x$，令分母为0，得$x-3=0$，即增根为$x=3$。
2. 转化为整式方程：方程两边同乘最简公分母$x-3$（注意$\frac{6}{3-x}=-\frac{6}{x-3}$），去分母后得到整式方程：
$kx - 6 = x - 3$
3. 代入增根求k：将增根$x=3$代入上述整式方程：
$3k - 6 = 3 - 3$
化简得$3k -6=0$，解得$k=2$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根、解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的概念及应用，核心是利用增根使原分式方程分母为0的特点，转化为整式方程求解参数，属于分式方程的基础题型，需掌握增根的判定方法。
【难度系数】
0.6
要解决分式方程有增根求参数的问题，需明确：增根是分式方程去分母后转化为的整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0。解题思路为：先确定增根的值，再将分式方程转化为整式方程，最后把增根代入整式方程求解参数k。
【解析】
1. 确定增根：原分式方程的分母为$x-3$和$3-x$，令分母为0，得$x-3=0$，即增根为$x=3$。
2. 转化为整式方程：方程两边同乘最简公分母$x-3$（注意$\frac{6}{3-x}=-\frac{6}{x-3}$），去分母后得到整式方程：
$kx - 6 = x - 3$
3. 代入增根求k：将增根$x=3$代入上述整式方程：
$3k - 6 = 3 - 3$
化简得$3k -6=0$，解得$k=2$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根、解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的概念及应用，核心是利用增根使原分式方程分母为0的特点，转化为整式方程求解参数，属于分式方程的基础题型，需掌握增根的判定方法。
【难度系数】
0.6
10. 有白、黑、蓝三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面积为$75\ \mathrm{cm}^2$的正方形盒内，它们之间互相叠合，如图所示，已知露在外的部分中，白色、黑色和蓝色三块面积之比为$9:7:5$。记没被盖住的两部分的面积分别为$x\ \mathrm{cm}^2$和$y\ \mathrm{cm}^2$则$x+y$的值为 （
A.12
B.13
C.14
D.15
A
）A.12
B.13
C.14
D.15
答案
10.A 【解析】已知露在外的部分中，白色、黑色和蓝色三块面积之比为9:7:5，设这三块面积分别为9a cm²，7a cm²，5a cm²。
如图，将黑色正方形纸片下移。
∵白、黑、蓝三块正方形纸片一样大，盒子是正方形，
∴移动后黑色部分减小的面积等于蓝色部分增加的面积，此时黑色面积与蓝色面积相等，
∴$S_{\mathrm{黑}}=S_{\mathrm{蓝}}=\frac{7a+5a}{2}=6a\ \mathrm{cm}^2$，$S_{\mathrm{左上角}}=(x+y)\mathrm{cm}^2$。
∵$\frac{S_{\mathrm{蓝}}}{S_{\mathrm{白}}}=\frac{S_{\mathrm{左上角}}}{S_{\mathrm{黑}}}$，
∴$\frac{6a}{9a}=\frac{x+y}{6a}$，
∴$4a=x+y$。
∵$S_{\mathrm{黑}}+S_{\mathrm{蓝}}+S_{\mathrm{白}}+S_{\mathrm{左上角}}=75$，
∴$6a+6a+9a+4a=75$，
∴$a=3$，
∴$x+y=4×3=12(\mathrm{cm}^2)$。
故选:A.
解析
【分析】
要解决这道题，需利用“白、黑、蓝三块正方形纸片大小相同，盒子为正方形”的特点，通过平移黑色正方形转化图形，找到面积间的比例关系，结合总面积求解。具体思路：①设露在外面的白、黑、蓝面积为9a、7a、5a；②平移黑色正方形后，黑、蓝露出面积相等，各为6a；③利用长方形面积比等于长的比，建立蓝色与白色面积比和左上角（x+y）与黑色面积比的等式；④根据总面积75，计算出a的值，进而得到x+y。
【解析】
设露在外面的白色、黑色、蓝色面积分别为$9a\ \mathrm{cm}^2$、$7a\ \mathrm{cm}^2$、$5a\ \mathrm{cm}^2$。
因为白、黑、蓝是大小相同的正方形，盒子为正方形，将黑色正方形下移后，黑色露出面积减少的部分等于蓝色露出面积增加的部分，此时黑色和蓝色露出面积相等，即：
$S_{\mathrm{黑}}=S_{\mathrm{蓝}}=\frac{7a+5a}{2}=6a\ \mathrm{cm}^2$。
此时，蓝色露出部分与白色露出部分均为长方形，它们的宽相等，面积比等于长的比，因此：
$\frac{S_{\mathrm{蓝}}}{S_{\mathrm{白}}}=\frac{x+y}{S_{\mathrm{黑}}}$，代入得：
$\frac{6a}{9a}=\frac{x+y}{6a}$，化简得：$\frac{2}{3}=\frac{x+y}{6a}$，解得$x+y=4a$。
所有露出部分的面积之和等于盒子的总面积$75\ \mathrm{cm}^2$，因此：
$S_{\mathrm{黑}}+S_{\mathrm{蓝}}+S_{\mathrm{白}}+(x+y)=75$，代入得：
$6a+6a+9a+4a=75$，即$25a=75$，解得$a=3$。
所以$x+y=4a=4×3=12\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
12
【知识点】
正方形面积计算、比例应用、图形面积关系
【点评】
本题通过平移转化图形，巧妙利用正方形和长方形的面积比例关系简化计算，考查学生对图形面积的理解和比例的应用能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需利用“白、黑、蓝三块正方形纸片大小相同，盒子为正方形”的特点，通过平移黑色正方形转化图形，找到面积间的比例关系，结合总面积求解。具体思路：①设露在外面的白、黑、蓝面积为9a、7a、5a；②平移黑色正方形后，黑、蓝露出面积相等，各为6a；③利用长方形面积比等于长的比，建立蓝色与白色面积比和左上角（x+y）与黑色面积比的等式；④根据总面积75，计算出a的值，进而得到x+y。
【解析】
设露在外面的白色、黑色、蓝色面积分别为$9a\ \mathrm{cm}^2$、$7a\ \mathrm{cm}^2$、$5a\ \mathrm{cm}^2$。
因为白、黑、蓝是大小相同的正方形，盒子为正方形，将黑色正方形下移后，黑色露出面积减少的部分等于蓝色露出面积增加的部分，此时黑色和蓝色露出面积相等，即：
$S_{\mathrm{黑}}=S_{\mathrm{蓝}}=\frac{7a+5a}{2}=6a\ \mathrm{cm}^2$。
此时，蓝色露出部分与白色露出部分均为长方形，它们的宽相等，面积比等于长的比，因此：
$\frac{S_{\mathrm{蓝}}}{S_{\mathrm{白}}}=\frac{x+y}{S_{\mathrm{黑}}}$，代入得：
$\frac{6a}{9a}=\frac{x+y}{6a}$，化简得：$\frac{2}{3}=\frac{x+y}{6a}$，解得$x+y=4a$。
所有露出部分的面积之和等于盒子的总面积$75\ \mathrm{cm}^2$，因此：
$S_{\mathrm{黑}}+S_{\mathrm{蓝}}+S_{\mathrm{白}}+(x+y)=75$，代入得：
$6a+6a+9a+4a=75$，即$25a=75$，解得$a=3$。
所以$x+y=4a=4×3=12\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
12
【知识点】
正方形面积计算、比例应用、图形面积关系
【点评】
本题通过平移转化图形，巧妙利用正方形和长方形的面积比例关系简化计算，考查学生对图形面积的理解和比例的应用能力，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
11. 若$2x+y=3$，用含$x$的代数式表示$y$，则$y=$
3-2x
.答案
11. 3-2x
解析
【分析】要想用含$x$的代数式表示$y$，需将方程$2x+y=3$中的$y$单独置于等式一侧，根据移项变号的规则，把含$x$的项移到等式另一侧即可求解。
【解析】对等式$2x+y=3$进行移项，将$2x$移到等式右边，符号变为负，得到$y=3-2x$。
【答案】3-2x
【知识点】代数式变形；移项法则
【点评】本题是二元一次方程的基础变形题，考查移项的基本运算，属于代数入门级基础知识点，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】对等式$2x+y=3$进行移项，将$2x$移到等式右边，符号变为负，得到$y=3-2x$。
【答案】3-2x
【知识点】代数式变形；移项法则
【点评】本题是二元一次方程的基础变形题，考查移项的基本运算，属于代数入门级基础知识点，难度较低。
【难度系数】0.9
12. 把一组样本数据分成五个组，第一、二、三、四组的频数之和为35，第五组的频率为0.3，则样本容量为
50
.答案
12. 50
解析
【分析】首先明确样本分组的核心性质：所有组的频率之和为1，据此可先求出前四组的频率和；再结合频率与频数、样本容量的关系，即可计算出样本容量。
【解析】解：因为各组频率之和为1，所以前四组的频率之和为 $1 - 0.3 = 0.7$。
根据频率公式：$\mathrm{频率} = \frac{\mathrm{频数}}{\mathrm{样本容量}}$，变形可得 $\mathrm{样本容量} = \frac{\mathrm{频数之和}}{\mathrm{频率之和}}$。
已知前四组的频数之和为35，代入计算得样本容量为 $35 ÷ 0.7 = 50$。
【答案】50
【知识点】频数与频率；样本容量
【点评】本题考查频率、频数与样本容量的基本关系，属于统计部分的基础题，只要掌握“各组频率和为1”及频率公式即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】解：因为各组频率之和为1，所以前四组的频率之和为 $1 - 0.3 = 0.7$。
根据频率公式：$\mathrm{频率} = \frac{\mathrm{频数}}{\mathrm{样本容量}}$，变形可得 $\mathrm{样本容量} = \frac{\mathrm{频数之和}}{\mathrm{频率之和}}$。
已知前四组的频数之和为35，代入计算得样本容量为 $35 ÷ 0.7 = 50$。
【答案】50
【知识点】频数与频率；样本容量
【点评】本题考查频率、频数与样本容量的基本关系，属于统计部分的基础题，只要掌握“各组频率和为1”及频率公式即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.8
13. 若分式$\dfrac{x^2 - 9}{x + 3}$的值为零，则$x$的值为________.
答案
13. 3
解析
【分析】
要使分式的值为零，需同时满足两个核心条件：一是分子的值为零，二是分母的值不为零，二者缺一不可。解题时先令分子为零求出可能的x值，再代入分母检验，排除使分母为零的x值，即可得到正确结果。
【解析】
根据分式值为零的条件：
1. 令分子等于0：$x^2 - 9 = 0$，解方程得$x = 3$或$x = -3$；
2. 分母不能为0：$x + 3 ≠ 0$，即$x ≠ -3$；
综合两个条件，满足要求的x值为3。
【答案】
3
【知识点】
分式值为零的条件
【点评】
本题是分式相关的基础题，重点考查分式值为零的两个限制条件，需注意避免忽略分母不为零的情况，是易错题但难度不大。
【难度系数】
0.6
要使分式的值为零，需同时满足两个核心条件：一是分子的值为零，二是分母的值不为零，二者缺一不可。解题时先令分子为零求出可能的x值，再代入分母检验，排除使分母为零的x值，即可得到正确结果。
【解析】
根据分式值为零的条件：
1. 令分子等于0：$x^2 - 9 = 0$，解方程得$x = 3$或$x = -3$；
2. 分母不能为0：$x + 3 ≠ 0$，即$x ≠ -3$；
综合两个条件，满足要求的x值为3。
【答案】
3
【知识点】
分式值为零的条件
【点评】
本题是分式相关的基础题，重点考查分式值为零的两个限制条件，需注意避免忽略分母不为零的情况，是易错题但难度不大。
【难度系数】
0.6
14. 若$x^2 - mx + 16$是一个完全平方式，则$m$的值是
±8
.答案
14. ±8(写出一个得2分)
解析
【分析】要解决这道题，需先回忆完全平方式的结构：形如$a^2\pm2ab + b^2$的式子是完全平方式。对于多项式$x^2 - mx + 16$，首项$x^2$对应$a^2$，因此$a=x$；常数项$16$对应$b^2$，所以$b=\pm4$。中间项$-mx$需等于完全平方式的中间项$\pm2ab$，由此分情况计算$m$的值，注意不要漏解。
【解析】因为$x^2 - mx + 16$是完全平方式，根据完全平方式的结构$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab + b^2$：
1. 确定$a$和$b$：$a=x$，由$b^2=16$得$b=\pm4$；
2. 计算中间项：完全平方式的中间项为$\pm2ab=\pm2· x·(\pm4)=\pm8x$；
3. 建立等式：原式中间项为$-mx$，因此$-mx=\pm8x$，两边同除以$x(x≠0)$得$-m=\pm8$，即$m=\mp8$，也就是$m=8$或$m=-8$。
综上，$m$的值为$\pm8$。
【答案】±8
【知识点】完全平方式
【点评】本题考查完全平方式的结构特征，核心是掌握完全平方式的两种形式，需注意中间项的符号有两种可能，避免漏解其中一个值，属于基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】因为$x^2 - mx + 16$是完全平方式，根据完全平方式的结构$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab + b^2$：
1. 确定$a$和$b$：$a=x$，由$b^2=16$得$b=\pm4$；
2. 计算中间项：完全平方式的中间项为$\pm2ab=\pm2· x·(\pm4)=\pm8x$；
3. 建立等式：原式中间项为$-mx$，因此$-mx=\pm8x$，两边同除以$x(x≠0)$得$-m=\pm8$，即$m=\mp8$，也就是$m=8$或$m=-8$。
综上，$m$的值为$\pm8$。
【答案】±8
【知识点】完全平方式
【点评】本题考查完全平方式的结构特征，核心是掌握完全平方式的两种形式，需注意中间项的符号有两种可能，避免漏解其中一个值，属于基础题型。
【难度系数】0.5
15. 如图，$△ ABC$ 的边长 $AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，将 $△ ABC$ 沿 $BC$ 方向平移 $k\ \mathrm{cm}(k＜6)$，得到 $△ DEF$，连接 $AD$，则阴影部分的周长为 $\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
答案
15. 15
解析
【分析】本题需利用平移的性质解题，思路为：根据平移的性质得到对应线段、对应点连线的等量关系，结合已知边长求出相关线段长度，再将阴影部分周长转化为可计算的线段和，消去未知平移距离得到结果。
【解析】根据平移的性质，△ABC沿BC方向平移k cm得到△DEF，因此：
1. 对应线段相等：AB=DE=5cm，AC=4cm；
2. 对应点连线相等：AD=BE=k cm。
已知BC=6cm，故EC=BC - BE=6 -k cm。
阴影部分的周长为线段AD、DE、EC、AC的长度之和，代入计算：
周长=AD + DE + EC + AC =k +5 + (6 -k) +4 =15（cm）。
【答案】15
【知识点】平移的性质、周长计算
【点评】本题通过平移的性质将分散的线段转化，消去未知的平移距离k简化计算，考察对平移基本性质的理解与应用，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5
【解析】根据平移的性质，△ABC沿BC方向平移k cm得到△DEF，因此：
1. 对应线段相等：AB=DE=5cm，AC=4cm；
2. 对应点连线相等：AD=BE=k cm。
已知BC=6cm，故EC=BC - BE=6 -k cm。
阴影部分的周长为线段AD、DE、EC、AC的长度之和，代入计算：
周长=AD + DE + EC + AC =k +5 + (6 -k) +4 =15（cm）。
【答案】15
【知识点】平移的性质、周长计算
【点评】本题通过平移的性质将分散的线段转化，消去未知的平移距离k简化计算，考察对平移基本性质的理解与应用，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5
