4.用反证法证明:在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$.若$∠ A≠ 45°$,则$AC≠ BC$.

4.【证明】假设$AC=BC$,则$∠ A=∠ B$.
$\because ∠ C=90°$,
$\therefore ∠ B=∠ A=45°$.
这与$∠ A≠ 45°$矛盾.
$\therefore$假设$AC=BC$不正确.
$\therefore AC≠ BC$.

【分析】
本题需按照反证法的标准步骤推导：第一步反设，先假设待证结论“AC≠BC”不成立，即提出相反假设AC=BC；第二步归谬，从假设出发，结合等腰三角形“等边对等角”的性质、直角三角形两锐角互余的性质推导，会得到与已知条件“∠A≠45°”矛盾的结果；第三步下结论，判定假设不成立，即可证明原命题正确。
【解析】
证明：假设$AC=BC$，则$∠ A=∠ B$。
$\because ∠ C=90°$，
$\therefore ∠ B=∠ A=45°$，
这与$∠ A≠ 45°$矛盾，
$\therefore$假设$AC=BC$不正确，
$\therefore AC≠ BC$。
【答案】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$∠ A≠ 45°$，则$AC≠ BC$，证明如上。
【知识点】
反证法；等腰三角形性质；直角三角形性质
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，核心考查反证法的解题逻辑，解题关键是正确对结论作出反面假设，再结合已学几何性质推导矛盾，掌握反证法的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

1.在同一平面内，过A，B，C三点可以作出的圆的个数为 （）

A.0
B.1
C.2
D.0或1

1.D

【分析】
解题时需分情况讨论A、B、C三点的位置关系，首先回忆确定圆的条件：不在同一直线上的三个点可以确定唯一的圆。首先判断三点是否共线：若三点共线，不存在同时经过三点的圆；若三点不共线，则可确定1个圆，结合两种情况即可得到答案。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当A、B、C三点在同一条直线上时，不存在一个点到共线三点的距离都相等（即找不到符合条件的圆心），因此过这三点无法作出圆，圆的个数为0；
2. 当A、B、C三点不在同一条直线上时，根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理，此时可以作出1个唯一的圆。
综上，过A、B、C三点可以作出的圆的个数为0或1，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件；分类讨论思想
【点评】
本题考查过三点作圆的个数判断，易错点是容易忽略三点共线的情况，直接默认三点不共线错选B，解题时要注意先分析三点的位置关系，再结合定理判断。
【难度系数】
0.8

2. 下列关于三角形的外心的说法错误的是（）

A.三角形的外心到三个顶点的距离相等
B.三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点
C.等腰三角形的外心在三角形内部
D.一个三角形有且只有一个外接圆

2.C

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆三角形外心的定义、性质，以及不同类型三角形外心的位置、三角形外接圆的相关概念，再逐一判断每个选项的正误，找出错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此外心到三角形三个顶点的距离相等，该说法正确。
选项B：三角形外心的定义就是三角形三条边的垂直平分线的交点，该说法正确。
选项C：三角形的外心位置和三角形的类型有关：锐角三角形的外心在内部，直角三角形的外心在斜边中点处，钝角三角形的外心在三角形外部。等腰三角形可能是锐角等腰、直角等腰或钝角等腰，因此它的外心可能在内部、边上或外部，不一定在三角形内部，该说法错误。
选项D：不在同一直线上的三个点确定一个圆，三角形的三个顶点不在同一直线上，因此一个三角形有且只有一个外接圆，该说法正确。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的定义；三角形外心的性质；三角形外接圆
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查三角形外心的相关知识，易错点是忽略等腰三角形包含直角等腰、钝角等腰的情况，误认为所有等腰三角形的外心都在内部，学习时要注意区分不同类型三角形外心的位置差异。
【难度系数】
0.7

3. 用反证法证明“两条直线相交有且只有一个交点”时，应假设（）

A.两条直线相交有且只有一个交点
B.两条直线相交没有交点
C.两条直线相交不只有一个交点
D.两条直线相交没有交点或不只有一个交点

3.D

【分析】
解这道题首先要明确反证法的第一步要求：反设，即假设原命题的结论不成立，也就是要找出原结论的所有反面情况。原命题的结论是“两条直线相交有且只有一个交点”，其中“有且只有”包含两层含义：一是存在交点，二是交点唯一，因此它的反面需要同时否定这两层含义，也就是要么不存在交点，要么交点不唯一，把这两种情况合并后再对应选项判断即可。
【解析】
根据反证法的步骤，首先要假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为“两条直线相交有且只有一个交点”，“有且只有一个交点”的否定包含两种情况：①两条直线相交没有交点；②两条直线相交有2个及以上交点（即不只有一个交点）。因此需假设“两条直线相交没有交点或不只有一个交点”，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始反设步骤，解题核心是准确把握“有且只有”这类限定表述的否定形式，注意否定要覆盖所有不成立的情况，不能出现遗漏。
【难度系数】
0.7

4.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的横、纵坐标都为整数,过这三个点作一条圆弧,则此圆弧所在圆的圆心坐标为。

4.(2,1)

【分析】根据圆的性质，圆弧所在圆的圆心到圆上A、B、C三点的距离相等，因此圆心是任意两点连线的垂直平分线的交点。首先从图中读取三点坐标：A(0,2)、B(1,3)、C(3,3)；观察到B、C纵坐标相同，线段BC是水平线段，可快速得出BC的垂直平分线为直线x=2，因此圆心横坐标为2，只需设圆心坐标为(2,y)，利用圆心到A、B两点距离相等列方程求解，最后验证即可得到圆心坐标。
【解析】
1. 读取三点坐标：由图可知，A(0,2)，B(1,3)，C(3,3)。
2. 求线段BC的垂直平分线：
B、C两点纵坐标均为3，因此BC平行于x轴，BC的中点坐标为$( \frac{1+3}{2},\frac{3+3}{2} )=(2,3)$，则BC的垂直平分线是过点(2,3)且垂直于x轴的直线，即$\boldsymbol{x=2}$，因此圆心的横坐标为2。
3. 设圆心坐标为$(2,y)$，根据圆心到A、B两点距离相等列方程：
圆心到A的距离 = 圆心到B的距离，由两点间距离公式（勾股定理）得：
$\sqrt{(2-0)^2+(y-2)^2}=\sqrt{(2-1)^2+(y-3)^2}$
两边同时平方消去根号：
$4+(y-2)^2=1+(y-3)^2$
展开计算：
$4+y^2-4y+4=1+y^2-6y+9$
化简整理：
$8-4y=10-6y$
移项得：$2y=2$，解得$y=1$。
4. 验证：圆心(2,1)到C的距离为$\sqrt{(2-3)^2+(1-3)^2}=\sqrt{5}$，和到A、B的距离相等，符合圆心要求。
【答案】(2,1)
【知识点】垂径定理；两点间的距离；垂直平分线的性质
【点评】本题考查过三点的圆的圆心确定方法，解题核心是抓住“圆心到圆上各点距离相等”的性质，结合网格特点可简化计算，也可直接在网格中找距离三个点都相等的格点快速得到答案。
【难度系数】0.7

5. 已知直线a和这条直线外的两点A,B,经过A,B两点作一个圆,使它的圆心在直线a上.

5.【解】如图所示。

【分析】
要作出满足条件的圆，首先需要确定圆心位置：圆心需同时满足两个要求，①到A、B两点的距离相等（圆的半径相等，圆心到圆上点距离相等），②在直线a上。根据线段垂直平分线的性质，到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，因此只需作出AB的垂直平分线，它与直线a的交点就是所求圆心，确定圆心后以圆心到A的长度为半径画圆即可。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接AB，用尺规作出线段AB的垂直平分线；
2. 找到AB的垂直平分线与直线a的交点，记为O，点O即为所求圆的圆心；
3. 以O为圆心，OA（或OB）的长为半径作圆，所得圆即为符合要求的圆。
【答案】
如图所示。
【知识点】
垂直平分线的性质，尺规作图，圆的定义
【点评】
本题是基础几何作图题，核心是将圆心的双重约束条件转化为两条线的交点问题，解题关键是灵活运用垂直平分线的性质定位圆心，能有效考查学生的基础作图能力和几何性质应用能力。
【难度系数】
0.8

6.在平面直角坐标系中,若$A(1,-1)$,$B(3,3)$,$C(5,n)$三点可以确定一个圆,则$n$的取值范围是 （）

A.$n≠3$
B.$n≤5$
C.$n＞6$
D.$n≠7$

6.D

【分析】
要解决三点能确定一个圆时n的取值范围问题，首先明确核心定理：不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，因此本题等价于求A、B、C三点不共线时n的取值。我们可以先求出A、B两点所在直线的解析式，再计算点C在这条直线上时n的取值，最终得到三点不共线时n的取值范围即可。
【解析】
解：不在同一直线上的三点可以确定一个圆，因此若A、B、C三点能确定一个圆，则三点不共线。
设直线AB的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A(1,-1)$、$B(3,3)$分别代入解析式得：
$\begin{cases}k+b=-1\\3k+b=3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=4$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$k+b=-1$，得$2+b=-1$，解得$b=-3$。
因此直线AB的解析式为$y=2x-3$。
若点$C(5,n)$在直线AB上，将$x=5$代入解析式得：
$n=2×5-3=7$
即当$n=7$时，三点共线，无法确定圆，因此要使三点能确定一个圆，需满足$n≠7$。
【答案】
D
【知识点】
三点确定圆的条件；待定系数法求一次函数解析式；一次函数点坐标特征
【点评】
本题通过转化思想将三点确定圆的问题转化为三点共线的判定问题，解题关键是牢记确定圆的前提条件，结合一次函数的相关知识求解即可，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7

7.已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，过$A$，$B$两点作半径为$8\ \mathrm{cm}$的圆，则能作的圆的个数为。

7.2

【分析】
要确定过A、B两点且半径为8cm的圆的个数，首先明确：过两点的圆的圆心一定在这两点连线的垂直平分线上（因为圆心到两点的距离都等于半径，符合垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质）。接下来只需判断这条垂直平分线上到点A（或B）距离为8cm的点有多少个，即可得到对应圆的个数。我们可以先计算AB长度的一半，再和半径比较大小：若半径大于AB长度的一半，有2个符合条件的圆心；等于则1个；小于则0个。
【解析】
解：
∵ 过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离相等，
∴ 圆心必在线段AB的垂直平分线上。
取AB的中点M，则$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×12 = 6\ \mathrm{cm}$。
设符合条件的圆的圆心为O，则$OA = 8\ \mathrm{cm}$，且$OM⊥AB$，
在Rt△OMA中，由勾股定理得：
$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\ \mathrm{cm} ＞ 0$，
∴ 在AB的垂直平分线上，AB两侧各存在1个满足条件的圆心O，共2个，
即可作2个符合要求的圆。
【答案】
2
【知识点】
线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆的定义
【点评】
本题考查过两点作圆的条件，解题的核心是先确定圆心的轨迹为线段AB的垂直平分线，再结合半径长度判断符合条件的圆心个数，解题时注意不要漏算垂直平分线另一侧的圆心。
【难度系数】
0.7

8.若一个直角三角形的两边长分别是 6,8,则该直角三角形外接圆的半径长是.

8.4或5

【分析】
首先明确直角三角形外接圆的核心性质：直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，原理是90°圆周角所对的弦是直径。本题仅给出两边长为6和8，未说明两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：先考虑较长边8为斜边的情况，再考虑6和8均为直角边的情况，分别算出斜边长度后，即可求出对应外接圆半径。
【解析】
直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，分两类情况计算：
1. 当长度为8的边是斜边时，外接圆直径就是8，因此外接圆半径 $ r=\frac{8}{2}=4 $；
2. 当长度为6和8的边都是直角边时，根据勾股定理计算斜边：
$ 斜边=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 $
此时外接圆直径为10，因此外接圆半径 $ r=\frac{10}{2}=5 $。
综上，该直角三角形外接圆的半径长为4或5。
【答案】
4或5
【知识点】
1. 直角三角形外接圆性质
2. 勾股定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是默认6和8都是直角边，只算出半径为5而漏解。解答未明确边长属性的直角三角形问题时，要注意对较长边是否为斜边分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

9. 如图,在$△ ABC$和$△ DBE$中,$BA=BC$,$BD=BE$,$∠ ABC=∠ DBE$,点$D$是$△ ABC$的外心.判断四边形$BDCE$是不是菱形,并说明理由.

9.【解】四边形BDCE是菱形.理由如下：
$\because ∠ ABC=∠ DBE$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBE$.
在$△ ABD$和$△ CBE$中，
$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ ABD=∠ CBE, \\ BD=BE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore AD=CE$.
$\because$点$D$是$△ ABC$的外心，
$\therefore AD=BD=CD$.
又$BD=BE,AD=CE$,
$\therefore BD=BE=CD=CE$.
$\therefore$四边形$BDCE$是菱形.

【分析】
要判断四边形BDCE是否为菱形，可依据“四条边相等的四边形是菱形”的判定定理推导：首先根据已知的等角推导出△ABD和△CBE的一组对应角相等，结合给出的两组等边，用SAS证明两个三角形全等，得到AD=CE；再利用三角形外心到三个顶点距离相等的性质，得到AD=BD=CD；最后结合已知BD=BE，通过等量代换推出四边形BDCE的四条边都相等，即可判定其形状。
【解析】
四边形BDCE是菱形，理由如下：
$\because ∠ ABC=∠ DBE$，
$\therefore ∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD$，即$∠ ABD=∠ CBE$。
在$△ ABD$和$△ CBE$中，
$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ ABD=∠ CBE, \\ BD=BE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=CE$。
$\because$点$D$是$△ ABC$的外心，
$\therefore AD=BD=CD$。
又$BD=BE,AD=CE$，
$\therefore BD=BE=CD=CE$，
$\therefore$四边形$BDCE$是菱形。
【答案】
四边形$BDCE$是菱形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形外心的性质，菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，逻辑链条清晰，解题的核心是先通过角的和差得到等角，证明三角形全等得到对应边相等，再结合外心性质推导四边形四边相等，侧重考察基础几何性质和判定的应用能力。
【难度系数】
0.7

10.定义:能完全覆盖住三角形的最小的圆叫作三角形的最小覆盖圆.在$△ ABC$中,$AB=AC=5$,$BC=8$,则$△ ABC$的最小覆盖圆的半径长是 ()

A.3
B.4
C.5
D.$\dfrac{25}{6}$

10.B

【分析】
解题首先要明确不同类型三角形的最小覆盖圆的规律：锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆，钝角和直角三角形的最小覆盖圆是以最长边（斜边）为直径的圆。第一步先结合等腰三角形的性质和勾股定理判断△ABC的形状，确定最大角的类型，再找到对应的最小覆盖圆，最后计算半径即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=5，BC=8，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
接下来判断最大角∠A的类型：
∵$AB^2+AC^2=5^2+5^2=50$，$BC^2=8^2=64$，
∴$AB^2+AC^2＜BC^2$，即∠A为钝角，△ABC是钝角三角形，
钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆：钝角顶点A在以BC为直径的圆内部，B、C两点在圆上，该圆能完全覆盖△ABC，且是最小的覆盖圆，
∴该圆的直径为BC=8，半径为$8÷2=4$。
【答案】
B
【知识点】
三角形最小覆盖圆、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题容易出错的地方是直接默认所有三角形的最小覆盖圆都是外接圆，从而错误计算外接圆半径选到错误选项，解题时要先判断三角形的类型，再对应选择最小覆盖圆的构成。
【难度系数】
0.6