2. 已知在圆内接三角形ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3 cm，圆的半径为7 cm，则AB的长为。

2. 2√35 cm 或 2√14 cm

【分析】
首先，由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合圆的垂径定理可得：过圆心O作BC的垂线，垂足为BC的中点，且点A、圆心O、BC中点三点共线。由于圆心与△ABC的位置关系不确定（可在三角形内部，也可在三角形外部），因此需分类讨论两种情况下底边BC上的高AD的长度，再结合勾股定理分别计算AB的长度即可。
【解析】
过点O作OD⊥BC于点D，连接OB、OA。
根据垂径定理，D是BC的中点；又AB=AC，等腰三角形三线合一，因此A、O、D三点在同一条直线上，AD为△ABC底边BC上的高。
已知OB=OA=7cm，OD=3cm，分两种情况讨论：
1. 当圆心O在△ABC内部时：
AD = OA + OD = 7 + 3 = 10(cm)
在Rt△ODB中，由勾股定理得：
BD² = OB² - OD² = 7² - 3² = 49 - 9 = 40
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AB² = AD² + BD² = 10² + 40 = 100 + 40 = 140
∴ AB = √140 = 2√35(cm)
2. 当圆心O在△ABC外部时：
AD = OA - OD = 7 - 3 = 4(cm)
同理，BD²=40，在Rt△ADB中：
AB² = AD² + BD² = 4² + 40 = 16 + 40 = 56
∴ AB = √56 = 2√14(cm)
综上，AB的长为2√35 cm或2√14 cm。
【答案】
2√35 cm 或 2√14 cm
【知识点】
垂径定理、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题考查圆与等腰三角形的综合应用，解题的关键是明确圆心位置的两种可能性，避免漏解，需要熟练掌握垂径定理、等腰三角形性质及勾股定理的结合使用。
【难度系数】
0.6

【典型例题3】下列三角形的外心一定在该三角形外部的是 （）

【答案】D
规律方法 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部。

$\boldsymbol{D}$

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确三角形外心的位置和三角形形状的对应规律：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点（在三角形的边上），钝角三角形的外心在三角形外部。接下来我们只需要利用三角形内角和为180°，分别判断四个选项中三角形的类型，再对应规律选出外心在外部的选项即可。
【解析】
首先明确不同类型三角形的外心位置规律：
1. 锐角三角形：外心在三角形内部；
2. 直角三角形：外心为斜边的中点，在三角形的边上；
3. 钝角三角形：外心在三角形外部。
逐个分析选项：
选项A：第三个内角为$180° - 50° - 70° = 60°$，三个角都是锐角，属于锐角三角形，外心在内部，不符合要求；
选项B：第三个内角为$180° - 65° - 65° = 50°$，三个角都是锐角，属于锐角三角形，外心在内部，不符合要求；
选项C：三角形有一个直角，属于直角三角形，外心在斜边中点，在三角形边上，不符合要求；
选项D：三角形有一个内角为$110°$，是钝角，属于钝角三角形，外心在三角形外部，符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
三角形外心的性质；三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟记不同类型三角形外心的位置规律，结合三角形内角和定理判断三角形类型即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

【即学即练】
3. 由边长相同的小正方形组成的网格如图所示，点A,B,C,D,E,F,G都在小正方形的顶点上，则$△ ABC$的外心是（）

A.点D
B.点E
C.点F
D.点G

3.A

【分析】
要解决本题，首先需明确三角形外心的定义：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，核心性质是到三角形三个顶点的距离相等。解题时可结合网格特点，借助勾股定理分别计算各选项中点到A、B、C三点的距离，找到距离三者相等的点即可；也可通过作△ABC任意两边的垂直平分线，交点即为外心，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各点到A、B、C的距离：
1. 计算点D到三个顶点的距离：
$DB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$DC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$DA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
可得$DA=DB=DC$，符合外心的性质。
2. 验证其余点：点E、F、G到A、B、C三点的距离均不相等，不符合外心要求。
因此△ABC的外心是点D。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质；勾股定理；垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握三角形外心的性质，结合网格的特征用勾股定理计算线段长度验证即可，不需要额外作出辅助线找垂直平分线，降低了解题难度。
【难度系数】
0.7

【典型例题4】用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于$60°$.
【证明】假设一个三角形的三个内角都大于$60°$,那么这个三角形的三个内角之和大于$180°$,这与三角形的内角和定理“三角形的内角和等于$180°$”矛盾.这说明假设不成立,所以在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于$60°$.
规律方法 应用反证法的一般步骤:
(1)提出与结论相反的假设.
(2)从假设出发,经过逻辑推理,推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果.
(3)由矛盾断定假设不正确,从而得到原命题成立.

证明：
假设在一个三角形中，三个内角都大于$60°$。
设该三角形的三个内角分别为$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$，则$∠ A＞60°$，$∠ B＞60°$，$∠ C＞60°$，
因此$∠ A+∠ B+∠ C＞60°+60°+60°=180°$，
这与三角形内角和定理“三角形的内角和等于$180°$”矛盾。
所以假设不成立，原命题成立，即在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于$60°$。

【分析】
本题要求用反证法证明命题，解题时需严格遵循反证法的步骤展开思考：第一步先明确原命题的结论是“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”，反证法首先要提出与结论相反的假设，“至少有一个满足”的反面是“所有都不满足”，因此假设应为“三角形的三个内角都大于60°”；第二步以该假设为条件进行推理，将三个内角相加可得到内角和大于180°，这与三角形内角和定理矛盾；第三步根据矛盾判定假设不成立，即可推出原命题成立。
【解析】
证明：假设在一个三角形中，三个内角都大于$60°$。
设该三角形的三个内角分别为$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$，则$∠ A＞60°$，$∠ B＞60°$，$∠ C＞60°$，
因此$∠ A+∠ B+∠ C＞60°+60°+60°=180°$，
这与三角形内角和定理“三角形的内角和等于$180°$”矛盾。
所以假设不成立，原命题成立，即在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于$60°$。
【答案】
证明：假设在一个三角形中，三个内角都大于$60°$。
设该三角形的三个内角分别为$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$，则$∠ A＞60°$，$∠ B＞60°$，$∠ C＞60°$，
因此$∠ A+∠ B+∠ C＞60°+60°+60°=180°$，
这与三角形内角和定理“三角形的内角和等于$180°$”矛盾。
所以假设不成立，原命题成立，即在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于$60°$。
【知识点】
反证法；三角形内角和定理
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题核心是准确写出原结论的否定形式，再结合已知定理推导矛盾，掌握反证法的基本步骤即可轻松求解。
【难度系数】
0.7