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基础知识·预习
问题1 过平面内任意一点能不能作圆？如果能，能作多少个圆？
问题2 过平面内任意两点能不能作圆？如果能，圆心的位置有何特点？
问题3 应用反证法的一般步骤是什么？
问题1 过平面内任意一点能不能作圆？如果能，能作多少个圆？
问题2 过平面内任意两点能不能作圆？如果能，圆心的位置有何特点？
问题3 应用反证法的一般步骤是什么？
答案
解：
问题1：过平面内任意一点能作圆，能作无数个圆。
平面内除该已知点外的任意一点都可以作为圆心，以圆心到该已知点的距离为半径作圆，所有这样的圆都经过这个已知点，因此满足条件的圆有无数个。
问题2：过平面内任意两点能作圆，这样的圆有无数个；
圆心的位置特点：所有过这两点的圆的圆心，都在这两点所连线段的垂直平分线上。
问题3：应用反证法的一般步骤是：
1. 假设命题的结论不成立；
2. 从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知条件、定义、基本事实、定理相矛盾的结果；
3. 由上述矛盾判定假设不成立，从而得到原命题的结论正确。
问题1：过平面内任意一点能作圆，能作无数个圆。
平面内除该已知点外的任意一点都可以作为圆心，以圆心到该已知点的距离为半径作圆，所有这样的圆都经过这个已知点，因此满足条件的圆有无数个。
问题2：过平面内任意两点能作圆，这样的圆有无数个；
圆心的位置特点：所有过这两点的圆的圆心，都在这两点所连线段的垂直平分线上。
问题3：应用反证法的一般步骤是：
1. 假设命题的结论不成立；
2. 从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知条件、定义、基本事实、定理相矛盾的结果；
3. 由上述矛盾判定假设不成立，从而得到原命题的结论正确。
解析
【分析】
本题围绕圆的确定条件、反证法基础知识点设置，解题思路如下：1. 过点作圆的问题需紧扣圆的构成要素：圆心和半径，只要圆心位置、半径长度满足圆经过给定的点即可；问题1仅限定过1个点，圆心可任选（除该已知点外，保证半径大于0），半径随圆心位置确定，因此可作多个圆。2. 问题2要求过两个点作圆，圆心到两个点的距离需相等，结合线段垂直平分线的性质，即可推出圆心的位置特点，此时垂直平分线上任意点都可作为圆心，因此也可作多个圆。3. 问题3考查反证法的标准步骤，按照反证法的推理逻辑梳理即可。
【解析】
问题1：过平面内任意一点能作圆，能作无数个圆。
平面内除该已知点外的任意一点都可以作为圆心，以圆心到该已知点的距离为半径作圆，所有这样的圆都经过这个已知点，因此满足条件的圆有无数个。
问题2：过平面内任意两点能作圆，这样的圆有无数个；
圆心的位置特点：所有过这两点的圆的圆心，都在这两点所连线段的垂直平分线上。
问题3：应用反证法的一般步骤是：
1. 假设命题的结论不成立；
2. 从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知条件、定义、基本事实、定理相矛盾的结果；
3. 由上述矛盾判定假设不成立，从而得到原命题的结论正确。
【答案】
问题1：能作圆，可作无数个；
问题2：能作圆，可作无数个，圆心在两点所连线段的垂直平分线上；
问题3：反证法步骤：①假设命题的结论不成立；②从假设出发推理论证，得出与已知条件、定义、基本事实、定理相矛盾的结果；③由矛盾判定假设不成立，原命题结论正确。
【知识点】
过点作圆的条件；线段垂直平分线的性质；反证法步骤
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对圆的确定条件、反证法步骤的理解和识记，能够帮助学习者夯实基础，为后续学习过三点作圆、反证法的实际应用做好铺垫。
【难度系数】
0.9
本题围绕圆的确定条件、反证法基础知识点设置，解题思路如下：1. 过点作圆的问题需紧扣圆的构成要素：圆心和半径，只要圆心位置、半径长度满足圆经过给定的点即可；问题1仅限定过1个点，圆心可任选（除该已知点外，保证半径大于0），半径随圆心位置确定，因此可作多个圆。2. 问题2要求过两个点作圆，圆心到两个点的距离需相等，结合线段垂直平分线的性质，即可推出圆心的位置特点，此时垂直平分线上任意点都可作为圆心，因此也可作多个圆。3. 问题3考查反证法的标准步骤，按照反证法的推理逻辑梳理即可。
【解析】
问题1：过平面内任意一点能作圆，能作无数个圆。
平面内除该已知点外的任意一点都可以作为圆心，以圆心到该已知点的距离为半径作圆，所有这样的圆都经过这个已知点，因此满足条件的圆有无数个。
问题2：过平面内任意两点能作圆，这样的圆有无数个；
圆心的位置特点：所有过这两点的圆的圆心，都在这两点所连线段的垂直平分线上。
问题3：应用反证法的一般步骤是：
1. 假设命题的结论不成立；
2. 从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知条件、定义、基本事实、定理相矛盾的结果；
3. 由上述矛盾判定假设不成立，从而得到原命题的结论正确。
【答案】
问题1：能作圆，可作无数个；
问题2：能作圆，可作无数个，圆心在两点所连线段的垂直平分线上；
问题3：反证法步骤：①假设命题的结论不成立；②从假设出发推理论证，得出与已知条件、定义、基本事实、定理相矛盾的结果；③由矛盾判定假设不成立，原命题结论正确。
【知识点】
过点作圆的条件；线段垂直平分线的性质；反证法步骤
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对圆的确定条件、反证法步骤的理解和识记，能够帮助学习者夯实基础，为后续学习过三点作圆、反证法的实际应用做好铺垫。
【难度系数】
0.9
【典型例题 1】如图，点 A，B，C 在同一条直线上，点 M 在直线 AC 外。经过图中任意三个点作圆，可以作个。
【答案】3
规律方法 经过一点作圆，只要以该点以外任意一点为圆心，以这两点间的距离为半径，就可以作出，这样的圆有无数个。
经过两点作圆，圆心在这两点所连线段的垂直平分线上，这样的圆有无数个。
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
【答案】3
规律方法 经过一点作圆，只要以该点以外任意一点为圆心，以这两点间的距离为半径，就可以作出，这样的圆有无数个。
经过两点作圆，圆心在这两点所连线段的垂直平分线上，这样的圆有无数个。
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确圆的确定条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，共线的三个点无法确定圆。解题思路如下：第一步，先列出图中所有三个点的组合；第二步，逐一判断每组三点是否共线，共线的组合无法作圆，不共线的组合可以确定1个圆；第三步，统计符合条件的组合总数，就是能作的圆的个数。
【解析】
图中共有A、B、C、M四个点，所有三个点的组合及判断如下：
1. 组合A、B、C：三点在同一条直线上，无法确定圆；
2. 组合A、B、M：三点不在同一条直线上，可以确定1个圆；
3. 组合A、C、M：三点不在同一条直线上，可以确定1个圆；
4. 组合B、C、M：三点不在同一条直线上，可以确定1个圆。
合计可以作$1+1+1=3$个圆。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
确定圆的条件，组合计数
【点评】
本题核心是对“不在同一直线上的三点确定一个圆”这一规则的应用，解题时要注意先完整枚举所有三点组合，再排除共线的无效组合，避免出现多算或者漏算的错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确圆的确定条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，共线的三个点无法确定圆。解题思路如下：第一步，先列出图中所有三个点的组合；第二步，逐一判断每组三点是否共线，共线的组合无法作圆，不共线的组合可以确定1个圆；第三步，统计符合条件的组合总数，就是能作的圆的个数。
【解析】
图中共有A、B、C、M四个点，所有三个点的组合及判断如下：
1. 组合A、B、C：三点在同一条直线上，无法确定圆；
2. 组合A、B、M：三点不在同一条直线上，可以确定1个圆；
3. 组合A、C、M：三点不在同一条直线上，可以确定1个圆；
4. 组合B、C、M：三点不在同一条直线上，可以确定1个圆。
合计可以作$1+1+1=3$个圆。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
确定圆的条件，组合计数
【点评】
本题核心是对“不在同一直线上的三点确定一个圆”这一规则的应用，解题时要注意先完整枚举所有三点组合，再排除共线的无效组合，避免出现多算或者漏算的错误。
【难度系数】
0.8
1.下列条件中,不能确定一个圆的是(
A.圆心的位置与半径
B.直径
C.同一平面内的三个点
D.三角形的三个顶点
C
)A.圆心的位置与半径
B.直径
C.同一平面内的三个点
D.三角形的三个顶点
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先要明确确定一个圆的核心要素是圆心（定位置）和半径（定大小），再逐一分析每个选项是否能唯一确定这两个要素：①判断选项A、B时，直接看是否能得到确定的圆心和半径；②判断选项C时，要注意“三个点”存在共线和不共线两种情况，只有不共线的三点才能确定圆；③判断选项D时，结合三角形的性质，三个顶点必然不共线，因此可以确定圆。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，给定圆心位置和半径可以唯一确定一个圆，不符合题意；
B. 已知直径时，直径的中点即为圆心，直径长度的一半为半径，可唯一确定一个圆，不符合题意；
C. 只有同一平面内不共线的三个点才能确定一个圆，若三个点共线，则不存在同时过这三个点的圆，因此该条件不能确定一个圆，符合题意；
D. 三角形的三个顶点一定不共线，过这三个点可以唯一确定三角形的外接圆，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；过三点的圆；三角形外接圆
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是忽略“三个点需不共线”的前提，误认任意三个点都能确定圆，解题时要注意验证条件的完整性。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确确定一个圆的核心要素是圆心（定位置）和半径（定大小），再逐一分析每个选项是否能唯一确定这两个要素：①判断选项A、B时，直接看是否能得到确定的圆心和半径；②判断选项C时，要注意“三个点”存在共线和不共线两种情况，只有不共线的三点才能确定圆；③判断选项D时，结合三角形的性质，三个顶点必然不共线，因此可以确定圆。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，给定圆心位置和半径可以唯一确定一个圆，不符合题意；
B. 已知直径时，直径的中点即为圆心，直径长度的一半为半径，可唯一确定一个圆，不符合题意；
C. 只有同一平面内不共线的三个点才能确定一个圆，若三个点共线，则不存在同时过这三个点的圆，因此该条件不能确定一个圆，符合题意；
D. 三角形的三个顶点一定不共线，过这三个点可以唯一确定三角形的外接圆，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；过三点的圆；三角形外接圆
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是忽略“三个点需不共线”的前提，误认任意三个点都能确定圆，解题时要注意验证条件的完整性。
【难度系数】
0.8
【典型例题 2】如图, 在$△ ABC$中, $AB = AC = 13$, $BC = 10$, 求$△ ABC$的外接圆的半径长.
【解】如图, 作$AD ⊥ BC$, 垂足为$D$, $AD$所在直线即为线段$BC$的垂直平分线, 作线段$AB$的垂直平分线$l$交$AD$于点$O$,
以点$O$为圆心,$OA$为半径作$\odot O$,$\odot O$即为$△ ABC$的外接圆,连接$OB$.
设$OA=OB=r$.
由作图可知$BD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}× 10=5$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,根据勾股定理,得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$.
$\therefore OD=AD-OA=12-r$.
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中,根据勾股定理,得$OD^2+BD^2=OB^2$,即$(12-r)^2+5^2=r^2$.
解得$r=\dfrac{169}{24}$.
$\therefore △ ABC$的外接圆的半径长为$\dfrac{169}{24}$.
【解】如图, 作$AD ⊥ BC$, 垂足为$D$, $AD$所在直线即为线段$BC$的垂直平分线, 作线段$AB$的垂直平分线$l$交$AD$于点$O$,
以点$O$为圆心,$OA$为半径作$\odot O$,$\odot O$即为$△ ABC$的外接圆,连接$OB$.
设$OA=OB=r$.
由作图可知$BD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}× 10=5$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,根据勾股定理,得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$.
$\therefore OD=AD-OA=12-r$.
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中,根据勾股定理,得$OD^2+BD^2=OB^2$,即$(12-r)^2+5^2=r^2$.
解得$r=\dfrac{169}{24}$.
$\therefore △ ABC$的外接圆的半径长为$\dfrac{169}{24}$.
答案
解：
作$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，
$\because AB=AC$，
$\therefore AD$所在直线即为线段$BC$的垂直平分线，
作线段$AB$的垂直平分线$l$交$AD$于点$O$，以点$O$为圆心，$OA$为半径作$\odot O$，$\odot O$即为$△ ABC$的外接圆，连接$OB$。
设$OA=OB=r$。
由作图可知$BD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2} × 10=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理，得
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
$\therefore OD=AD-OA=12-r$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，根据勾股定理，得
$OD^2+BD^2=OB^2$，即$(12-r)^2+5^2=r^2$。
解得$r=\dfrac{169}{24}$。
$\therefore △ ABC$的外接圆的半径长为$\dfrac{169}{24}$。
作$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，
$\because AB=AC$，
$\therefore AD$所在直线即为线段$BC$的垂直平分线，
作线段$AB$的垂直平分线$l$交$AD$于点$O$，以点$O$为圆心，$OA$为半径作$\odot O$，$\odot O$即为$△ ABC$的外接圆，连接$OB$。
设$OA=OB=r$。
由作图可知$BD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2} × 10=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理，得
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
$\therefore OD=AD-OA=12-r$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，根据勾股定理，得
$OD^2+BD^2=OB^2$，即$(12-r)^2+5^2=r^2$。
解得$r=\dfrac{169}{24}$。
$\therefore △ ABC$的外接圆的半径长为$\dfrac{169}{24}$。
解析
【分析】
要求等腰$△ ABC$的外接圆半径，首先明确三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点。由于$△ ABC$是等腰三角形，$AB=AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，底边$BC$的高$AD$同时是$BC$的垂直平分线，因此外接圆圆心必然在$AD$上。我们可以设外接圆半径为$r$，即$OA=OB=r$，先利用勾股定理求出$AD$的长度，再用含$r$的式子表示$OD$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ OBD$中根据勾股定理列方程求解$r$即可。
【解析】
作$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，
$\because AB=AC$，
$\therefore AD$所在直线即为线段$BC$的垂直平分线，
作线段$AB$的垂直平分线$l$交$AD$于点$O$，以点$O$为圆心，$OA$为半径作$\odot O$，$\odot O$即为$△ ABC$的外接圆，连接$OB$。
设$OA=OB=r$。
由作图可知$BD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2} × 10=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理，得
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
$\therefore OD=AD-OA=12-r$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，根据勾股定理，得
$OD^2+BD^2=OB^2$，即$(12-r)^2+5^2=r^2$。
解得$r=\dfrac{169}{24}$。
$\therefore △ ABC$的外接圆的半径长为$\dfrac{169}{24}$。
【答案】
$\dfrac{169}{24}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形外接圆性质
【点评】
本题是求解等腰三角形外接圆半径的典型题，解题关键是结合等腰三角形的性质确定外接圆圆心的位置，再通过勾股定理构造方程求解，体现了几何与方程结合的思想，需要熟练掌握外接圆圆心的性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
要求等腰$△ ABC$的外接圆半径，首先明确三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点。由于$△ ABC$是等腰三角形，$AB=AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，底边$BC$的高$AD$同时是$BC$的垂直平分线，因此外接圆圆心必然在$AD$上。我们可以设外接圆半径为$r$，即$OA=OB=r$，先利用勾股定理求出$AD$的长度，再用含$r$的式子表示$OD$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ OBD$中根据勾股定理列方程求解$r$即可。
【解析】
作$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，
$\because AB=AC$，
$\therefore AD$所在直线即为线段$BC$的垂直平分线，
作线段$AB$的垂直平分线$l$交$AD$于点$O$，以点$O$为圆心，$OA$为半径作$\odot O$，$\odot O$即为$△ ABC$的外接圆，连接$OB$。
设$OA=OB=r$。
由作图可知$BD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2} × 10=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理，得
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
$\therefore OD=AD-OA=12-r$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，根据勾股定理，得
$OD^2+BD^2=OB^2$，即$(12-r)^2+5^2=r^2$。
解得$r=\dfrac{169}{24}$。
$\therefore △ ABC$的外接圆的半径长为$\dfrac{169}{24}$。
【答案】
$\dfrac{169}{24}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形外接圆性质
【点评】
本题是求解等腰三角形外接圆半径的典型题，解题关键是结合等腰三角形的性质确定外接圆圆心的位置，再通过勾股定理构造方程求解，体现了几何与方程结合的思想，需要熟练掌握外接圆圆心的性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
