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10.如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=12,以顶点D为圆心,r为半径作圆.若要求另外三个顶点A,B,C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的取值范围是
（第10题图）
（第11题图）
5＜r＜13
.（第10题图）
（第11题图）
答案
10.5＜r＜13
解析
【分析】
解题时首先需要计算矩形顶点A、B、C到圆心D的距离，明确三个距离的大小关系。要满足“至少一个点在圆内，至少一个点在圆外”的要求，半径r需要大于三个距离的最小值（保证距离最小的点在圆内），同时小于三个距离的最大值（保证距离最大的点在圆外），以此即可确定r的取值范围。
【解析】
在矩形ABCD中，∠A=90°，已知AD=5，AB=12：
1. 点A到点D的距离为$AD=5$；
2. 点C到点D的距离为$CD=AB=12$；
3. 点B到点D的距离为矩形对角线，由勾股定理计算：
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$。
三个点到D的距离大小关系为$5＜12＜13$。
若要至少有一个点在圆内，则$r＞5$（若$r≤5$，则无点在圆内，仅A在圆上，B、C在圆外）；
若要至少有一个点在圆外，则$r＜13$（若$r≥13$，则三个点都在圆内或圆上，无点在圆外）。
综上可得r的取值范围是$5＜r＜13$。
【答案】
5＜r＜13
【知识点】
点与圆的位置关系、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题重点考查点和圆位置关系的实际应用，解题核心是先求出各点到圆心的距离，再结合题目的限制条件判断半径的取值范围，解题时要注意临界值是否符合要求，避免取值范围多取等号出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要计算矩形顶点A、B、C到圆心D的距离，明确三个距离的大小关系。要满足“至少一个点在圆内，至少一个点在圆外”的要求，半径r需要大于三个距离的最小值（保证距离最小的点在圆内），同时小于三个距离的最大值（保证距离最大的点在圆外），以此即可确定r的取值范围。
【解析】
在矩形ABCD中，∠A=90°，已知AD=5，AB=12：
1. 点A到点D的距离为$AD=5$；
2. 点C到点D的距离为$CD=AB=12$；
3. 点B到点D的距离为矩形对角线，由勾股定理计算：
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$。
三个点到D的距离大小关系为$5＜12＜13$。
若要至少有一个点在圆内，则$r＞5$（若$r≤5$，则无点在圆内，仅A在圆上，B、C在圆外）；
若要至少有一个点在圆外，则$r＜13$（若$r≥13$，则三个点都在圆内或圆上，无点在圆外）。
综上可得r的取值范围是$5＜r＜13$。
【答案】
5＜r＜13
【知识点】
点与圆的位置关系、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题重点考查点和圆位置关系的实际应用，解题核心是先求出各点到圆心的距离，再结合题目的限制条件判断半径的取值范围，解题时要注意临界值是否符合要求，避免取值范围多取等号出错。
【难度系数】
0.7
11. 如图，AB，CD是$\odot O$的两条弦. 若$∠ AOB + ∠ C = 180°$，$∠ COD = ∠ A$，则$∠ AOB$的度数为
108°
.答案
11.108°
解析
【分析】
我们可以通过设未知数列方程的方法求解角度：首先设∠AOB的度数为x，结合已知条件∠AOB+∠C=180°，用含x的式子表示出∠C；再利用圆的半径相等，可得△OCD和△OAB均为等腰三角形，结合三角形内角和定理，分别用含x的式子表示出∠COD和∠A；最后根据∠COD=∠A列出方程，求解即可得到∠AOB的度数。
【解析】
设∠AOB = x°，
∵ ∠AOB + ∠C = 180°，
∴ ∠C = (180 - x)°，
∵ OC、OD都是⊙O的半径，
∴ OC=OD，△OCD为等腰三角形，∠C=∠D，
∴ ∠COD = 180° - ∠C - ∠D = 180° - 2∠C = 180° - 2(180 - x)° = (2x - 180)°，
又
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OA=OB，△OAB为等腰三角形，∠A=∠B，
∴ ∠A = $\frac{180° - ∠AOB}{2}$ = $\frac{(180 - x)°}{2}$，
根据题意∠COD = ∠A，可得方程：
$2x - 180 = \frac{180 - x}{2}$
两边同乘2得：$4x - 360 = 180 - x$
移项合并得：$5x = 540$
解得：$x = 108$
【答案】
108°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础综合题，解题关键是利用圆半径相等得到等腰三角形，再结合角度等量关系列方程求解，掌握方程思想在几何计算中的应用能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设未知数列方程的方法求解角度：首先设∠AOB的度数为x，结合已知条件∠AOB+∠C=180°，用含x的式子表示出∠C；再利用圆的半径相等，可得△OCD和△OAB均为等腰三角形，结合三角形内角和定理，分别用含x的式子表示出∠COD和∠A；最后根据∠COD=∠A列出方程，求解即可得到∠AOB的度数。
【解析】
设∠AOB = x°，
∵ ∠AOB + ∠C = 180°，
∴ ∠C = (180 - x)°，
∵ OC、OD都是⊙O的半径，
∴ OC=OD，△OCD为等腰三角形，∠C=∠D，
∴ ∠COD = 180° - ∠C - ∠D = 180° - 2∠C = 180° - 2(180 - x)° = (2x - 180)°，
又
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OA=OB，△OAB为等腰三角形，∠A=∠B，
∴ ∠A = $\frac{180° - ∠AOB}{2}$ = $\frac{(180 - x)°}{2}$，
根据题意∠COD = ∠A，可得方程：
$2x - 180 = \frac{180 - x}{2}$
两边同乘2得：$4x - 360 = 180 - x$
移项合并得：$5x = 540$
解得：$x = 108$
【答案】
108°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础综合题，解题关键是利用圆半径相等得到等腰三角形，再结合角度等量关系列方程求解，掌握方程思想在几何计算中的应用能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
12.如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦，AB的延长线与CD的延长线相交于点E.已知$AB=2DE$，$△ COD$为直角三角形，求$∠ E$的度数.
答案
12.【解】
∵AB是⊙O的直径，
∴AB=2DO.
又AB=2DE，
∴DO=DE.
∴∠DOE=∠E.
∵△COD为直角三角形,OC=OD，
∴△COD为等腰直角三角形.
∴∠CDO=45°.
∵∠CDO=∠DOE+∠E=2∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠CDO=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°.
∵AB是⊙O的直径，
∴AB=2DO.
又AB=2DE，
∴DO=DE.
∴∠DOE=∠E.
∵△COD为直角三角形,OC=OD，
∴△COD为等腰直角三角形.
∴∠CDO=45°.
∵∠CDO=∠DOE+∠E=2∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠CDO=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先直径AB的长度是半径的2倍，结合AB=2DE可推导出OD=DE，得到△DOE为等腰三角形，即∠DOE=∠E；再根据△COD是直角三角形且OC、OD均为圆的半径，二者相等，判断出△COD是等腰直角三角形，得到∠CDO的度数；最后利用三角形外角的性质，即∠CDO是△DOE的外角，等于不相邻的两个内角和，建立∠CDO和∠E的关系即可求出∠E的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴AB=2DO.
又AB=2DE，
∴DO=DE.
∴∠DOE=∠E.
∵△COD为直角三角形，OC=OD，
∴△COD为等腰直角三角形.
∴∠CDO=45°.
∵∠CDO=∠DOE+∠E=2∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠CDO=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°.
【答案】
22.5°
【知识点】
圆的基本性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆与三角形性质的综合基础题，解题的核心是挖掘圆中半径相等的隐含条件，结合等腰三角形和外角性质完成角度推导，需要注意边的等量关系到角的等量关系的转化。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先直径AB的长度是半径的2倍，结合AB=2DE可推导出OD=DE，得到△DOE为等腰三角形，即∠DOE=∠E；再根据△COD是直角三角形且OC、OD均为圆的半径，二者相等，判断出△COD是等腰直角三角形，得到∠CDO的度数；最后利用三角形外角的性质，即∠CDO是△DOE的外角，等于不相邻的两个内角和，建立∠CDO和∠E的关系即可求出∠E的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴AB=2DO.
又AB=2DE，
∴DO=DE.
∴∠DOE=∠E.
∵△COD为直角三角形，OC=OD，
∴△COD为等腰直角三角形.
∴∠CDO=45°.
∵∠CDO=∠DOE+∠E=2∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠CDO=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°.
【答案】
22.5°
【知识点】
圆的基本性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆与三角形性质的综合基础题，解题的核心是挖掘圆中半径相等的隐含条件，结合等腰三角形和外角性质完成角度推导，需要注意边的等量关系到角的等量关系的转化。
【难度系数】
0.7
13. 如图,正方形ABCD在$\odot O$内部,顶点A,B在圆上,C,D在直径上.
(1)OD
(2)在正方形ABCD右侧再作一个小正方形ECGF,点G在直径上,点E在BC上,点F在圆上.若正方形ABCD的边长为4,求正方形ECGF的边长.
(1)OD
=
OC.(填“＞”“＜”或“=”)(2)在正方形ABCD右侧再作一个小正方形ECGF,点G在直径上,点E在BC上,点F在圆上.若正方形ABCD的边长为4,求正方形ECGF的边长.
答案
13.【解】(1)=
(2)如图,连接OA，OF,则OF=OA.
由(1)知,OD=OC.
∴OD=OC=2.
∴OF²=OA²=OD²+AD²=2²+4²=20.
设正方形ECGF的边长为x,则OG=x+2.
在Rt△OFG中,OG²+FG²=OF²,即(x+2)²+x²=20.
解得x₁=2,x₂=-4(不合题意,舍去).
∴正方形ECGF的边长为2.
解析
【分析】
(1) 要判断OD和OC的大小关系，可结合圆和正方形的性质推导：A、B都在⊙O上，故OA=OB（同圆半径相等）；正方形ABCD中AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°，通过HL可证明Rt△AOD≌Rt△BOC，即可得到OD和OC的数量关系。
(2) 求解小正方形边长时，首先利用圆上的点到圆心距离相等的性质，连接OA、OF得到两条相等的半径，先在Rt△AOD中用勾股定理求出OA的长度，即OF的长度；再设小正方形ECGF的边长为x，用含x的式子表示出Rt△OFG的两条直角边OG、FG的长度，根据勾股定理列方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
(1)
∵点A、B在⊙O上，
∴OA=OB。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°，
∴Rt△AOD≌Rt△BOC（HL），
∴OD=OC。
(2) 如图，连接OA，OF，根据同圆半径相等，可得OF=OA。
由(1)知OD=OC，
∵正方形ABCD的边长为4，即CD=4，
∴OD=OC=$\frac{1}{2}$CD=2。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：$OA^2=OD^2+AD^2=2^2+4^2=20$，
∴$OF^2=20$。
设正方形ECGF的边长为x，则CG=FG=x，OG=OC+CG=2+x，∠G=90°。
在Rt△OFG中，由勾股定理得：$OG^2+FG^2=OF^2$，
代入得：$(x+2)^2+x^2=20$，
整理得$x^2+2x-8=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-4$（边长不能为负，不合题意，舍去）。
【答案】
(1) =
(2) 正方形ECGF的边长为2
【知识点】
圆的基本性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是掌握圆半径相等的性质，通过连接半径构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，这类构造辅助线的方法在圆的相关计算中非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断OD和OC的大小关系，可结合圆和正方形的性质推导：A、B都在⊙O上，故OA=OB（同圆半径相等）；正方形ABCD中AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°，通过HL可证明Rt△AOD≌Rt△BOC，即可得到OD和OC的数量关系。
(2) 求解小正方形边长时，首先利用圆上的点到圆心距离相等的性质，连接OA、OF得到两条相等的半径，先在Rt△AOD中用勾股定理求出OA的长度，即OF的长度；再设小正方形ECGF的边长为x，用含x的式子表示出Rt△OFG的两条直角边OG、FG的长度，根据勾股定理列方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
(1)
∵点A、B在⊙O上，
∴OA=OB。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°，
∴Rt△AOD≌Rt△BOC（HL），
∴OD=OC。
(2) 如图，连接OA，OF，根据同圆半径相等，可得OF=OA。
由(1)知OD=OC，
∵正方形ABCD的边长为4，即CD=4，
∴OD=OC=$\frac{1}{2}$CD=2。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：$OA^2=OD^2+AD^2=2^2+4^2=20$，
∴$OF^2=20$。
设正方形ECGF的边长为x，则CG=FG=x，OG=OC+CG=2+x，∠G=90°。
在Rt△OFG中，由勾股定理得：$OG^2+FG^2=OF^2$，
代入得：$(x+2)^2+x^2=20$，
整理得$x^2+2x-8=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-4$（边长不能为负，不合题意，舍去）。
【答案】
(1) =
(2) 正方形ECGF的边长为2
【知识点】
圆的基本性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是掌握圆半径相等的性质，通过连接半径构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，这类构造辅助线的方法在圆的相关计算中非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
14. 如图，抛物线 $y=\frac{1}{4}x^2 -4$ 与x轴相交于A，B两点，P是以点C(0,3)为圆心，2为半径的圆上的动点，连接PA，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ最长是（
A.4
B.3.5
C.4.5
D.5
B
）A.4
B.3.5
C.4.5
D.5
答案
14.B
解析
【分析】
首先求解抛物线与x轴的交点A、B坐标，可发现原点O是AB的中点，结合Q是PA中点的条件，可利用三角形中位线定理将OQ的长度转化为BP长度的一半，此时求OQ的最大值就等价于求BP的最大值。P是圆C上的动点，根据圆的性质，圆外一点到圆上动点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，据此逐步计算即可得到结果。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
令抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 -4$中$y=0$，得$\frac{1}{4}x^2 -4=0$，解得$x=\pm4$，因此$A(-4,0)$，$B(4,0)$，可知原点O是线段AB的中点。
2. 利用中位线定理转化线段：
∵Q是PA的中点，O是AB的中点，
∴OQ是$△ ABP$的中位线，根据中位线定理得$OQ=\frac{1}{2}BP$，因此要使OQ最大，只需BP取最大值。
3. 计算点B到圆心C的距离：
已知圆心$C(0,3)$，结合$B(4,0)$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{16+9}=5$。
4. 求BP的最大值：
∵P在半径为2的$\odot C$上，
∴BP的最大值为$BC + r=5+2=7$（r为圆的半径）。
5. 计算OQ的最大值：
$OQ_{max}=\frac{1}{2}BP_{max}=\frac{1}{2}×7=3.5$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，圆的最值规律，抛物线与坐标轴交点
【点评】
本题是典型的几何最值问题，解题核心是利用三角形中位线定理完成未知线段向可求最值线段的转化，结合圆的最值规律即可快速求解，充分体现了转化思想在最值问题中的应用。
【难度系数】
0.6
首先求解抛物线与x轴的交点A、B坐标，可发现原点O是AB的中点，结合Q是PA中点的条件，可利用三角形中位线定理将OQ的长度转化为BP长度的一半，此时求OQ的最大值就等价于求BP的最大值。P是圆C上的动点，根据圆的性质，圆外一点到圆上动点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，据此逐步计算即可得到结果。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
令抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 -4$中$y=0$，得$\frac{1}{4}x^2 -4=0$，解得$x=\pm4$，因此$A(-4,0)$，$B(4,0)$，可知原点O是线段AB的中点。
2. 利用中位线定理转化线段：
∵Q是PA的中点，O是AB的中点，
∴OQ是$△ ABP$的中位线，根据中位线定理得$OQ=\frac{1}{2}BP$，因此要使OQ最大，只需BP取最大值。
3. 计算点B到圆心C的距离：
已知圆心$C(0,3)$，结合$B(4,0)$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{16+9}=5$。
4. 求BP的最大值：
∵P在半径为2的$\odot C$上，
∴BP的最大值为$BC + r=5+2=7$（r为圆的半径）。
5. 计算OQ的最大值：
$OQ_{max}=\frac{1}{2}BP_{max}=\frac{1}{2}×7=3.5$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，圆的最值规律，抛物线与坐标轴交点
【点评】
本题是典型的几何最值问题，解题核心是利用三角形中位线定理完成未知线段向可求最值线段的转化，结合圆的最值规律即可快速求解，充分体现了转化思想在最值问题中的应用。
【难度系数】
0.6
