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基础知识·预习
问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，那么它有多少条对称轴？
问题2 平分弦的直径一定平分弦所对的两条弧吗？
问题3 垂径定理的应用与我们之前学过的哪个定理关联最大？
问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，那么它有多少条对称轴？
问题2 平分弦的直径一定平分弦所对的两条弧吗？
问题3 垂径定理的应用与我们之前学过的哪个定理关联最大？
答案
解：
问题1：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴。
问题2：不一定。当被平分的弦不是直径时，平分弦的直径平分弦所对的两条弧；若这条弦本身也是直径，两条互相平分的直径不一定互相垂直，此时直径不平分这条弦所对的弧。
问题3：垂径定理的应用常通过作辅助线构造直角三角形，结合弦长的一半、弦心距、圆的半径进行相关边长计算，和勾股定理关联最大。
问题1：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴。
问题2：不一定。当被平分的弦不是直径时，平分弦的直径平分弦所对的两条弧；若这条弦本身也是直径，两条互相平分的直径不一定互相垂直，此时直径不平分这条弦所对的弧。
问题3：垂径定理的应用常通过作辅助线构造直角三角形，结合弦长的一半、弦心距、圆的半径进行相关边长计算，和勾股定理关联最大。
解析
【分析】
1. 解决问题1时，先回忆轴对称图形的定义：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线为对称轴。结合圆的特征分析，只要直线经过圆心，沿该直线对折圆的两部分都能完全重合，据此即可判断圆的轴对称性和对称轴数量。
2. 解决问题2时，要结合垂径定理的推论思考，注意推论存在限制前提：“平分的弦不是直径”，因此需要分被平分的弦为直径、非直径两种情况讨论，避免忽略特殊情况出错。
3. 解决问题3时，回忆垂径定理的常用计算模型：过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦的端点，可得到由弦长的一半、弦心距、圆的半径构成的直角三角形，这类三角形的边长计算需要借助勾股定理，由此即可判断关联最大的定理。
【解析】
问题1：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴。
问题2：不一定。当被平分的弦不是直径时，平分弦的直径平分弦所对的两条弧；若这条弦本身也是直径，两条互相平分的直径不一定互相垂直，此时直径不平分这条弦所对的弧。
问题3：垂径定理的应用常通过作辅助线构造直角三角形，结合弦长的一半、弦心距、圆的半径进行相关边长计算，和勾股定理关联最大。
【答案】
问题1：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴。
问题2：不一定。当被平分的弦不是直径时，平分弦的直径平分弦所对的两条弧；若这条弦本身也是直径，两条互相平分的直径不一定互相垂直，此时直径不平分这条弦所对的弧。
问题3：垂径定理的应用常通过作辅助线构造直角三角形，结合弦长的一半、弦心距、圆的半径进行相关边长计算，和勾股定理关联最大。
【知识点】
圆的轴对称性；垂径定理及其推论；勾股定理
【点评】
这三道题属于基础概念辨析题，侧重考查对圆相关核心定理的理解和细节把控，其中垂径定理推论的限制条件是高频易错点，熟练掌握这些内容是后续解决圆的计算、证明类问题的重要基础。
【难度系数】
0.7
1. 解决问题1时，先回忆轴对称图形的定义：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线为对称轴。结合圆的特征分析，只要直线经过圆心，沿该直线对折圆的两部分都能完全重合，据此即可判断圆的轴对称性和对称轴数量。
2. 解决问题2时，要结合垂径定理的推论思考，注意推论存在限制前提：“平分的弦不是直径”，因此需要分被平分的弦为直径、非直径两种情况讨论，避免忽略特殊情况出错。
3. 解决问题3时，回忆垂径定理的常用计算模型：过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦的端点，可得到由弦长的一半、弦心距、圆的半径构成的直角三角形，这类三角形的边长计算需要借助勾股定理，由此即可判断关联最大的定理。
【解析】
问题1：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴。
问题2：不一定。当被平分的弦不是直径时，平分弦的直径平分弦所对的两条弧；若这条弦本身也是直径，两条互相平分的直径不一定互相垂直，此时直径不平分这条弦所对的弧。
问题3：垂径定理的应用常通过作辅助线构造直角三角形，结合弦长的一半、弦心距、圆的半径进行相关边长计算，和勾股定理关联最大。
【答案】
问题1：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴。
问题2：不一定。当被平分的弦不是直径时，平分弦的直径平分弦所对的两条弧；若这条弦本身也是直径，两条互相平分的直径不一定互相垂直，此时直径不平分这条弦所对的弧。
问题3：垂径定理的应用常通过作辅助线构造直角三角形，结合弦长的一半、弦心距、圆的半径进行相关边长计算，和勾股定理关联最大。
【知识点】
圆的轴对称性；垂径定理及其推论；勾股定理
【点评】
这三道题属于基础概念辨析题，侧重考查对圆相关核心定理的理解和细节把控，其中垂径定理推论的限制条件是高频易错点，熟练掌握这些内容是后续解决圆的计算、证明类问题的重要基础。
【难度系数】
0.7
【典型例题1】如图,两个圆都以点O为圆心,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.
(1)求证:$AC=BD$.
(2)若大圆的半径$R=10$,小圆的半径$r=8$,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.
(1)【证明】如图,过点O作$OE⊥AB$,垂足为E.
$\therefore CE=DE,AE=BE.$
$\therefore AE-CE=BE-DE$,即$AC=BD.$
(2)【解】如图,连接OC,OA.
由(1)可知,$OE⊥AB$,且$OE⊥CD$,
$\therefore OE=6.$
$\therefore CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7},AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8.$
$\therefore AC=AE-CE=8-2\sqrt{7}.$
(1)求证:$AC=BD$.
(2)若大圆的半径$R=10$,小圆的半径$r=8$,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.
(1)【证明】如图,过点O作$OE⊥AB$,垂足为E.
$\therefore CE=DE,AE=BE.$
$\therefore AE-CE=BE-DE$,即$AC=BD.$
(2)【解】如图,连接OC,OA.
由(1)可知,$OE⊥AB$,且$OE⊥CD$,
$\therefore OE=6.$
$\therefore CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7},AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8.$
$\therefore AC=AE-CE=8-2\sqrt{7}.$
答案
(1) 证明：
过点O作$OE ⊥ AB$，垂足为E。
由垂径定理，得$CE=DE$，$AE=BE$。
$\therefore AE - CE = BE - DE$，即$AC=BD$。
(2) 解：
连接$OC$，$OA$。
由(1)可知$OE ⊥ AB$，$OE ⊥ CD$，由题意得$OE=6$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore AC = AE - CE = 8 - 2\sqrt{7}$。
过点O作$OE ⊥ AB$，垂足为E。
由垂径定理，得$CE=DE$，$AE=BE$。
$\therefore AE - CE = BE - DE$，即$AC=BD$。
(2) 解：
连接$OC$，$OA$。
由(1)可知$OE ⊥ AB$，$OE ⊥ CD$，由题意得$OE=6$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore AC = AE - CE = 8 - 2\sqrt{7}$。
解析
【分析】
(1) 要证明$AC=BD$，观察到AB、CD是共线的同心圆的弦，可利用垂径定理解决：过圆心O作AB的垂线，该垂线会同时平分AB和CD，得到$AE=BE$、$CE=DE$，将两个等式作差即可推导出$AC=BD$。
(2) 求AC的长度时，可将AC转化为$AE-CE$计算。已知两圆半径和圆心到直线AB的距离，连接OA、OC后，分别在两个直角三角形中用勾股定理求出AE、CE的长度，再作差就能得到AC的长。
【解析】
(1) 证明：
过点O作$OE ⊥ AB$，垂足为E。
由垂径定理，得$CE=DE$，$AE=BE$。
$\therefore AE - CE = BE - DE$，即$AC=BD$。
(2) 解：
连接$OC$，$OA$。
由(1)可知$OE ⊥ AB$，$OE ⊥ CD$，由题意得$OE=6$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore AC = AE - CE = 8 - 2\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $AC=BD$，证明成立；
(2) $AC=8-2\sqrt{7}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弦长计算
【点评】
本题是圆的基础常考题，核心考查垂径定理的应用，过圆心作弦的垂线是解决弦长类问题的常用辅助线做法，结合勾股定理即可快速求解线段长度，解题逻辑清晰，技巧性较低。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明$AC=BD$，观察到AB、CD是共线的同心圆的弦，可利用垂径定理解决：过圆心O作AB的垂线，该垂线会同时平分AB和CD，得到$AE=BE$、$CE=DE$，将两个等式作差即可推导出$AC=BD$。
(2) 求AC的长度时，可将AC转化为$AE-CE$计算。已知两圆半径和圆心到直线AB的距离，连接OA、OC后，分别在两个直角三角形中用勾股定理求出AE、CE的长度，再作差就能得到AC的长。
【解析】
(1) 证明：
过点O作$OE ⊥ AB$，垂足为E。
由垂径定理，得$CE=DE$，$AE=BE$。
$\therefore AE - CE = BE - DE$，即$AC=BD$。
(2) 解：
连接$OC$，$OA$。
由(1)可知$OE ⊥ AB$，$OE ⊥ CD$，由题意得$OE=6$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore AC = AE - CE = 8 - 2\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $AC=BD$，证明成立；
(2) $AC=8-2\sqrt{7}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弦长计算
【点评】
本题是圆的基础常考题，核心考查垂径定理的应用，过圆心作弦的垂线是解决弦长类问题的常用辅助线做法，结合勾股定理即可快速求解线段长度，解题逻辑清晰，技巧性较低。
【难度系数】
0.8
