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1. (2024·四川雅安中考)某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务.
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米.
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米.
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
答案
(1)设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道$(1+25\%)x=1.25x$米，
根据题意，得$\frac{3000}{1.25x}+15=\frac{3000}{x}$. 解得$x=40$.
经检验，$x=40$是分式方程的解，且符合题意.
所以$1.25x=50$.
答：原计划每天铺设管道40米，实际每天铺设管道50米.
(2)设该公司原计划应安排y名工人施工，
$3000÷40=75$(天)，根据题意，得$300×75y≤180000$，解得$y≤8$.
答：该公司原计划最多应安排8名工人施工.
根据题意，得$\frac{3000}{1.25x}+15=\frac{3000}{x}$. 解得$x=40$.
经检验，$x=40$是分式方程的解，且符合题意.
所以$1.25x=50$.
答：原计划每天铺设管道40米，实际每天铺设管道50米.
(2)设该公司原计划应安排y名工人施工，
$3000÷40=75$(天)，根据题意，得$300×75y≤180000$，解得$y≤8$.
答：该公司原计划最多应安排8名工人施工.
解析
【分析】
(1)本题属于工程问题，核心数量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率。已知工作总量为3000米，实际工效比原计划高25%，且实际比原计划少用15天，即原计划施工时间-实际施工时间=15天。我们可以设原计划每天铺设管道x米，那么实际每天铺设(1+25%)x米，分别表示出两个施工时间后，根据时间差列分式方程求解，解出结果后必须检验是否符合分式方程要求和实际意义。
(2)求最多安排的工人数量时，先根据第一问求出的原计划效率计算原计划总施工天数，再结合“总工资=每天人均工资×施工天数×工人数量”的关系，根据总工资不超过18万元的不等关系列一元一次不等式，取最大正整数解即可得到答案。
【解析】
(1)设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道$(1+25\%)x=1.25x$米，
根据题意，得$\frac{3000}{1.25x}+15=\frac{3000}{x}$，
解得$x=40$，
经检验，$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义，
则$1.25x=1.25×40=50$。
(2)设该公司原计划应安排y名工人施工，
原计划施工总天数为：$3000÷40=75$（天），
根据题意，得$300×75y≤180000$，
解得$y≤8$。
【答案】
(1)原计划每天铺设管道40米，实际每天铺设管道50米；
(2)该公司原计划最多应安排8名工人施工。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；工程问题数量关系
【点评】
本题以实际民生工程为背景，考查学生用方程和不等式解决实际问题的能力，解题关键是准确提取题干中的等量关系和不等关系，注意分式方程求解后必须检验，结果要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
(1)本题属于工程问题，核心数量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率。已知工作总量为3000米，实际工效比原计划高25%，且实际比原计划少用15天，即原计划施工时间-实际施工时间=15天。我们可以设原计划每天铺设管道x米，那么实际每天铺设(1+25%)x米，分别表示出两个施工时间后，根据时间差列分式方程求解，解出结果后必须检验是否符合分式方程要求和实际意义。
(2)求最多安排的工人数量时，先根据第一问求出的原计划效率计算原计划总施工天数，再结合“总工资=每天人均工资×施工天数×工人数量”的关系，根据总工资不超过18万元的不等关系列一元一次不等式，取最大正整数解即可得到答案。
【解析】
(1)设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道$(1+25\%)x=1.25x$米，
根据题意，得$\frac{3000}{1.25x}+15=\frac{3000}{x}$，
解得$x=40$，
经检验，$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义，
则$1.25x=1.25×40=50$。
(2)设该公司原计划应安排y名工人施工，
原计划施工总天数为：$3000÷40=75$（天），
根据题意，得$300×75y≤180000$，
解得$y≤8$。
【答案】
(1)原计划每天铺设管道40米，实际每天铺设管道50米；
(2)该公司原计划最多应安排8名工人施工。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；工程问题数量关系
【点评】
本题以实际民生工程为背景，考查学生用方程和不等式解决实际问题的能力，解题关键是准确提取题干中的等量关系和不等关系，注意分式方程求解后必须检验，结果要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
【典型例题 2】某旅行社组织游客从 A地到 B 地的航天科技馆参观,已知 A 地到 B地的路程为 300 km,乘坐 C 型车比乘坐 D型车少用 2 h,C 型车的平均速度是 D 型车平均速度的 3 倍,求 D 型车的平均速度.
【解】设 D 型车的平均速度是 x km/h,则 C 型车的平均速度是 3x km/h,
根据题意,得$\frac{300}{x} - \frac{300}{3x} = 2$,
解得$x = 100$.
经检验,$x = 100$是所列分式方程的解,且符合题意.
答:D 型车的平均速度是 100 km/h.
规律方法 在行程问题中,路程、时间和速度之间的关系是路程=速度×时间.解这类应用题,先分析出问题中的已知量,确定待求量,再根据题意找出等量关系,从而列出方程.
【解】设 D 型车的平均速度是 x km/h,则 C 型车的平均速度是 3x km/h,
根据题意,得$\frac{300}{x} - \frac{300}{3x} = 2$,
解得$x = 100$.
经检验,$x = 100$是所列分式方程的解,且符合题意.
答:D 型车的平均速度是 100 km/h.
规律方法 在行程问题中,路程、时间和速度之间的关系是路程=速度×时间.解这类应用题,先分析出问题中的已知量,确定待求量,再根据题意找出等量关系,从而列出方程.
答案
解：设D型车的平均速度是$x\ \mathrm{km/h}$，则C型车的平均速度是$3x\ \mathrm{km/h}$。
根据题意，得
$\frac{300}{x} - \frac{300}{3x} = 2$
方程两边同乘$3x$，得
$900 - 300 = 6x$
解得$x=100$。
经检验，$x=100$是所列分式方程的解，且符合题意。
答：D型车的平均速度是100 km/h。
根据题意，得
$\frac{300}{x} - \frac{300}{3x} = 2$
方程两边同乘$3x$，得
$900 - 300 = 6x$
解得$x=100$。
经检验，$x=100$是所列分式方程的解，且符合题意。
答：D型车的平均速度是100 km/h。
解析
【分析】
这是一道行程类分式方程应用题，解题思路如下：首先明确已知量：A、B两地路程为300km，C型车平均速度是D型车的3倍，乘坐C型车比D型车少用2h，待求量为D型车的平均速度。第一步先设未知数，设D型车平均速度为x km/h，可得C型车速度为3x km/h；第二步根据“时间=路程÷速度”分别表示出两种车行驶全程的时间；第三步根据“乘坐C型车比D型车少用2h”的时间差建立等量关系列分式方程；第四步求解方程后，检验解是否满足方程且符合实际意义即可。
【解析】
解：设D型车的平均速度是$x\ \mathrm{km/h}$，则C型车的平均速度是$3x\ \mathrm{km/h}$。
根据题意，得
$\frac{300}{x} - \frac{300}{3x} = 2$
方程两边同乘$3x$，得
$900 - 300 = 6x$
解得$x=100$。
经检验，$x=100$是所列分式方程的解，且符合题意。
答：D型车的平均速度是100 km/h。
【答案】
D型车的平均速度是100 km/h
【知识点】
分式方程的应用，行程问题等量关系，分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程解决实际问题的基础题型，解题核心是从题干中提取时间差的等量关系建立方程，需注意分式方程的解必须经过双重检验，既要满足原方程，也要符合实际问题的意义。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类分式方程应用题，解题思路如下：首先明确已知量：A、B两地路程为300km，C型车平均速度是D型车的3倍，乘坐C型车比D型车少用2h，待求量为D型车的平均速度。第一步先设未知数，设D型车平均速度为x km/h，可得C型车速度为3x km/h；第二步根据“时间=路程÷速度”分别表示出两种车行驶全程的时间；第三步根据“乘坐C型车比D型车少用2h”的时间差建立等量关系列分式方程；第四步求解方程后，检验解是否满足方程且符合实际意义即可。
【解析】
解：设D型车的平均速度是$x\ \mathrm{km/h}$，则C型车的平均速度是$3x\ \mathrm{km/h}$。
根据题意，得
$\frac{300}{x} - \frac{300}{3x} = 2$
方程两边同乘$3x$，得
$900 - 300 = 6x$
解得$x=100$。
经检验，$x=100$是所列分式方程的解，且符合题意。
答：D型车的平均速度是100 km/h。
【答案】
D型车的平均速度是100 km/h
【知识点】
分式方程的应用，行程问题等量关系，分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程解决实际问题的基础题型，解题核心是从题干中提取时间差的等量关系建立方程，需注意分式方程的解必须经过双重检验，既要满足原方程，也要符合实际问题的意义。
【难度系数】
0.8
2.(2024·黑龙江绥化中考)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等，则江水的流速为（
A.5 km/h
B.6 km/h
C.7 km/h
D.8 km/h
D
）A.5 km/h
B.6 km/h
C.7 km/h
D.8 km/h
答案
D
解析
【分析】
这是一道流水行船类的行程应用题，解题核心是先明确流水行船的速度关系：顺流航速=静水航速+水流速度，逆流航速=静水航速-水流速度。题目给出“顺流航行120km的时间与逆流航行80km的时间相等”，我们可以以“时间相等”为等量关系，设水流速度为未知数，根据“时间=路程÷速度”分别表示出顺流和逆流的航行时间，列出分式方程求解即可，最后要注意检验分式方程的根是否符合实际意义。
【解析】
设江水的流速为$ v $ km/h。
则货轮顺流航速为$ (40+v) $ km/h，逆流航速为$ (40-v) $ km/h。
根据题意，顺流航行120km的时间等于逆流航行80km的时间，列方程得：
$\frac{120}{40+v} = \frac{80}{40-v}$
交叉相乘去分母得：
$120(40-v) = 80(40+v)$
展开括号：
$4800 - 120v = 3200 + 80v$
移项合并同类项：
$200v = 1600$
解得：$ v=8 $
检验：当$ v=8 $时，$ 40+v=48≠0 $，$ 40-v=32≠0 $，因此$ v=8 $是原分式方程的解，且符合实际航行的意义。
【答案】
D
【知识点】
流水行船速度关系、分式方程的应用、分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程在行程问题中的典型应用，解题关键是准确梳理顺流、逆流航速的表达式，抓住时间相等的核心等量关系列方程。需要注意的是，解分式方程后必须进行双重检验，既要验证解不是增根，也要验证解符合实际问题的要求。
【难度系数】
0.8
这是一道流水行船类的行程应用题，解题核心是先明确流水行船的速度关系：顺流航速=静水航速+水流速度，逆流航速=静水航速-水流速度。题目给出“顺流航行120km的时间与逆流航行80km的时间相等”，我们可以以“时间相等”为等量关系，设水流速度为未知数，根据“时间=路程÷速度”分别表示出顺流和逆流的航行时间，列出分式方程求解即可，最后要注意检验分式方程的根是否符合实际意义。
【解析】
设江水的流速为$ v $ km/h。
则货轮顺流航速为$ (40+v) $ km/h，逆流航速为$ (40-v) $ km/h。
根据题意，顺流航行120km的时间等于逆流航行80km的时间，列方程得：
$\frac{120}{40+v} = \frac{80}{40-v}$
交叉相乘去分母得：
$120(40-v) = 80(40+v)$
展开括号：
$4800 - 120v = 3200 + 80v$
移项合并同类项：
$200v = 1600$
解得：$ v=8 $
检验：当$ v=8 $时，$ 40+v=48≠0 $，$ 40-v=32≠0 $，因此$ v=8 $是原分式方程的解，且符合实际航行的意义。
【答案】
D
【知识点】
流水行船速度关系、分式方程的应用、分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程在行程问题中的典型应用，解题关键是准确梳理顺流、逆流航速的表达式，抓住时间相等的核心等量关系列方程。需要注意的是，解分式方程后必须进行双重检验，既要验证解不是增根，也要验证解符合实际问题的要求。
【难度系数】
0.8
1.(2024·宁夏中考)数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程为（
A.$\frac{4}{x}-\frac{6}{2x}=10$
B.$\frac{6}{x}-\frac{4}{2x}=10$
C.$\frac{4}{x}-\frac{6}{2x}=\frac{10}{60}$
D.$\frac{6}{x}-\frac{4}{2x}=\frac{10}{60}$
C
）A.$\frac{4}{x}-\frac{6}{2x}=10$
B.$\frac{6}{x}-\frac{4}{2x}=10$
C.$\frac{4}{x}-\frac{6}{2x}=\frac{10}{60}$
D.$\frac{6}{x}-\frac{4}{2x}=\frac{10}{60}$
答案
C
解析
【分析】
这是工程类的分式方程列解题，核心解题思路如下：首先明确工程问题的基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步先统一单位：题目中工作效率的单位是“个/小时”，时间差是10分钟，因此要先把10分钟换算为$\frac{10}{60}$小时，避免单位不统一出错。第二步梳理等量关系：题目明确“甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟”，即乙做4个盒子的时间减去甲做6个盒子的时间等于换算后的时间差。第三步分别表示出两人的工作时间，代入等量关系即可得到对应方程。
【解析】
解：①统一时间单位：因为工作效率单位为个/小时，因此将时间差10分钟换算为小时，得$10\mathrm{分钟}=\frac{10}{60}\mathrm{小时}$。
②确定两人工作效率：已知乙每小时做$x$个盒子，甲每小时做的数量是乙的2倍，因此甲每小时做$2x$个盒子。
③计算对应工作量的工作时间：
乙做4个盒子的时间为：$\frac{4}{x}$小时；
甲做6个盒子的时间为：$\frac{6}{2x}$小时。
④根据等量关系“乙做4个的时间 - 甲做6个的时间 = $\frac{10}{60}$小时”，列方程得：
$\frac{4}{x}-\frac{6}{2x}=\frac{10}{60}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.分式方程的实际应用
2.工程问题基本关系
3.单位换算
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，易错点在于忽略时间单位的统一，或搞反甲、乙两人的工作时间差的大小关系，只要找准等量关系、做好单位换算即可快速求解。
【难度系数】
0.7
这是工程类的分式方程列解题，核心解题思路如下：首先明确工程问题的基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步先统一单位：题目中工作效率的单位是“个/小时”，时间差是10分钟，因此要先把10分钟换算为$\frac{10}{60}$小时，避免单位不统一出错。第二步梳理等量关系：题目明确“甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟”，即乙做4个盒子的时间减去甲做6个盒子的时间等于换算后的时间差。第三步分别表示出两人的工作时间，代入等量关系即可得到对应方程。
【解析】
解：①统一时间单位：因为工作效率单位为个/小时，因此将时间差10分钟换算为小时，得$10\mathrm{分钟}=\frac{10}{60}\mathrm{小时}$。
②确定两人工作效率：已知乙每小时做$x$个盒子，甲每小时做的数量是乙的2倍，因此甲每小时做$2x$个盒子。
③计算对应工作量的工作时间：
乙做4个盒子的时间为：$\frac{4}{x}$小时；
甲做6个盒子的时间为：$\frac{6}{2x}$小时。
④根据等量关系“乙做4个的时间 - 甲做6个的时间 = $\frac{10}{60}$小时”，列方程得：
$\frac{4}{x}-\frac{6}{2x}=\frac{10}{60}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.分式方程的实际应用
2.工程问题基本关系
3.单位换算
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，易错点在于忽略时间单位的统一，或搞反甲、乙两人的工作时间差的大小关系，只要找准等量关系、做好单位换算即可快速求解。
【难度系数】
0.7
