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2. (2024·四川达州中考)甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个.设乙每小时加工x个零件，可列方程为 （
A.$\dfrac{120}{1.2x} - \dfrac{120}{x} = 30$
B.$\dfrac{120}{x} - \dfrac{120}{1.2x} = 30$
C.$\dfrac{120}{1.2x} - \dfrac{120}{x} = \dfrac{30}{60}$
D.$\dfrac{120}{x} - \dfrac{120}{1.2x} = \dfrac{30}{60}$
D
）A.$\dfrac{120}{1.2x} - \dfrac{120}{x} = 30$
B.$\dfrac{120}{x} - \dfrac{120}{1.2x} = 30$
C.$\dfrac{120}{1.2x} - \dfrac{120}{x} = \dfrac{30}{60}$
D.$\dfrac{120}{x} - \dfrac{120}{1.2x} = \dfrac{30}{60}$
答案
D
解析
【分析】
这是一道分式方程应用的工程类问题，解题思路如下：①首先明确单位要统一：题目中乙的工作效率单位是“每小时加工x个”，所以给出的时间差30分钟需要换算为小时，即$\frac{30}{60}$小时，由此可直接排除右侧时间单位未换算的A、B选项；②再分析两人的工作时间：乙先开工、最后同时完成，说明乙的总工作时间比甲更长，即乙的工作时间减去甲的工作时间等于两人的时间差，由此可排除时间差计算反向的C选项；③最后结合“工作时间=工作总量÷工作效率”的公式，即可列出正确方程。
【解析】
解：首先统一单位：$30分钟=\frac{30}{60}小时$。
由题意得，甲每小时加工零件的数量为$1.2x$个。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”：
乙加工120个零件的总时间为$\frac{120}{x}$小时，
甲加工120个零件的总时间为$\frac{120}{1.2x}$小时。
结合“乙先加工30分钟后两人同时完成”，可得等量关系：乙的工作时间 - 甲的工作时间 = 两人的时间差，
代入得方程：$\frac{120}{x} - \frac{120}{1.2x} = \frac{30}{60}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；单位换算
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题核心是找准等量关系，尤其要注意不同物理量的单位统一，避免因单位不匹配、时间差逻辑搞反出现错误。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程应用的工程类问题，解题思路如下：①首先明确单位要统一：题目中乙的工作效率单位是“每小时加工x个”，所以给出的时间差30分钟需要换算为小时，即$\frac{30}{60}$小时，由此可直接排除右侧时间单位未换算的A、B选项；②再分析两人的工作时间：乙先开工、最后同时完成，说明乙的总工作时间比甲更长，即乙的工作时间减去甲的工作时间等于两人的时间差，由此可排除时间差计算反向的C选项；③最后结合“工作时间=工作总量÷工作效率”的公式，即可列出正确方程。
【解析】
解：首先统一单位：$30分钟=\frac{30}{60}小时$。
由题意得，甲每小时加工零件的数量为$1.2x$个。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”：
乙加工120个零件的总时间为$\frac{120}{x}$小时，
甲加工120个零件的总时间为$\frac{120}{1.2x}$小时。
结合“乙先加工30分钟后两人同时完成”，可得等量关系：乙的工作时间 - 甲的工作时间 = 两人的时间差，
代入得方程：$\frac{120}{x} - \frac{120}{1.2x} = \frac{30}{60}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的应用；工程问题；单位换算
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题核心是找准等量关系，尤其要注意不同物理量的单位统一，避免因单位不匹配、时间差逻辑搞反出现错误。
【难度系数】
0.7
3. 为节约用水，创建文明城市，某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的$\frac{1}{4}$。小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元。已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3 $\mathrm{m}^3$。设该市去年居民用水价格为$x$元/$\mathrm{m}^3$，则可列分式方程为
$\frac{28}{x}-\frac{24.5}{(1+\frac{1}{4})x}=3$
。答案
$\frac{28}{x}-\frac{24.5}{(1+\frac{1}{4})x}=3$
解析
【分析】
要列分式方程首先需要找到核心等量关系：去年5月份用水量 - 今年5月份用水量 = 3 m³。而用水量的计算公式为“用水量=总水费÷用水单价”，我们只需要分别用含x的代数式表示出去年和今年5月的用水量，代入等量关系即可得到方程。首先根据去年单价x和去年水费28元，可直接表示去年用水量；再根据水价上涨原价的$\frac{1}{4}$，算出今年的用水单价，结合今年水费24.5元，表示出今年的用水量，最后代入等量关系即可。
【解析】
步骤1：表示今年的居民用水价格
已知去年用水价格为x元/m³，今年每立方米水费上涨原价的$\frac{1}{4}$，因此今年用水价格为$(1+\frac{1}{4})x$元/m³。
步骤2：分别表示去年、今年5月的用水量
去年5月总水费28元，用水量为：$\frac{28}{x}$ m³
今年5月总水费24.5元，用水量为：$\frac{24.5}{(1+\frac{1}{4})x}$ m³
步骤3：根据用水量的差列方程
由“今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3 $\mathrm{m}^3$”，可得：
$\frac{28}{x}-\frac{24.5}{(1+\frac{1}{4})x}=3$
【答案】
$\frac{28}{x}-\frac{24.5}{(1+\frac{1}{4})x}=3$
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 总价单价数量关系
【点评】
本题是分式方程应用的常规题型，解题的关键是准确提取题目中的等量关系，结合单价、总价、数量的关系正确列出对应代数式，再代入等量关系即可得到方程，注重考察对实际问题的信息提取和转化能力。
【难度系数】
0.7
要列分式方程首先需要找到核心等量关系：去年5月份用水量 - 今年5月份用水量 = 3 m³。而用水量的计算公式为“用水量=总水费÷用水单价”，我们只需要分别用含x的代数式表示出去年和今年5月的用水量，代入等量关系即可得到方程。首先根据去年单价x和去年水费28元，可直接表示去年用水量；再根据水价上涨原价的$\frac{1}{4}$，算出今年的用水单价，结合今年水费24.5元，表示出今年的用水量，最后代入等量关系即可。
【解析】
步骤1：表示今年的居民用水价格
已知去年用水价格为x元/m³，今年每立方米水费上涨原价的$\frac{1}{4}$，因此今年用水价格为$(1+\frac{1}{4})x$元/m³。
步骤2：分别表示去年、今年5月的用水量
去年5月总水费28元，用水量为：$\frac{28}{x}$ m³
今年5月总水费24.5元，用水量为：$\frac{24.5}{(1+\frac{1}{4})x}$ m³
步骤3：根据用水量的差列方程
由“今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3 $\mathrm{m}^3$”，可得：
$\frac{28}{x}-\frac{24.5}{(1+\frac{1}{4})x}=3$
【答案】
$\frac{28}{x}-\frac{24.5}{(1+\frac{1}{4})x}=3$
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 总价单价数量关系
【点评】
本题是分式方程应用的常规题型，解题的关键是准确提取题目中的等量关系，结合单价、总价、数量的关系正确列出对应代数式，再代入等量关系即可得到方程，注重考察对实际问题的信息提取和转化能力。
【难度系数】
0.7
4.（2024·山东泰安中考）随着物流服务业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间.某农产品加工企业有甲、
乙两个组共35名工人.甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人.
乙两个组共35名工人.甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人.
答案
设甲组有x名工人，则乙组有$(35-x)$名工人.
根据题意，得$\frac{2700}{35-x}=\frac{3000}{x}×1.2$,解得$x=20$.
经检验，$x=20$是所列方程的解，且符合题意.
所以$35-x=35-20=15$.
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人.
根据题意，得$\frac{2700}{35-x}=\frac{3000}{x}×1.2$,解得$x=20$.
经检验，$x=20$是所列方程的解，且符合题意.
所以$35-x=35-20=15$.
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人.
解析
【分析】
这是分式方程的实际应用问题，解题思路可按三步展开：第一步设未知数，设甲组有x名工人，结合总人数35名，可直接用含x的式子表示乙组人数；第二步找核心等量关系，题目明确给出“乙组每人每天平均加工量是甲组的1.2倍”，而人均加工量=总加工量÷对应人数，分别表示出两组的人均加工量即可列出方程；第三步求解验证，分式方程解完后要先检验是否为增根，再验证是否符合实际意义（人数为正整数），最后计算乙组人数即可。
【解析】
设甲组有x名工人，则乙组有$(35-x)$名工人。
根据“乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍”列方程：
$\frac{2700}{35-x}=\frac{3000}{x}×1.2$
去分母得：$2700x=3600×(35-x)$
整理得：$2700x=126000-3600x$
移项合并同类项得：$6300x=126000$
解得$x=20$
经检验，$x=20$时，分母$x≠0$，$35-x≠0$，是原方程的解，且人数为正整数，符合题意。
则乙组人数为$35-x=35-20=15$（名）
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人。
【答案】
甲组有20名工人，乙组有15名工人。
【知识点】
分式方程的应用、列方程解应用题
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题核心是从题干中提取等量关系建立方程模型，需要注意分式方程必须检验，既要验证是否为增根，也要验证是否符合实际场景的要求，主要考察学生的数学建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.75
这是分式方程的实际应用问题，解题思路可按三步展开：第一步设未知数，设甲组有x名工人，结合总人数35名，可直接用含x的式子表示乙组人数；第二步找核心等量关系，题目明确给出“乙组每人每天平均加工量是甲组的1.2倍”，而人均加工量=总加工量÷对应人数，分别表示出两组的人均加工量即可列出方程；第三步求解验证，分式方程解完后要先检验是否为增根，再验证是否符合实际意义（人数为正整数），最后计算乙组人数即可。
【解析】
设甲组有x名工人，则乙组有$(35-x)$名工人。
根据“乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍”列方程：
$\frac{2700}{35-x}=\frac{3000}{x}×1.2$
去分母得：$2700x=3600×(35-x)$
整理得：$2700x=126000-3600x$
移项合并同类项得：$6300x=126000$
解得$x=20$
经检验，$x=20$时，分母$x≠0$，$35-x≠0$，是原方程的解，且人数为正整数，符合题意。
则乙组人数为$35-x=35-20=15$（名）
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人。
【答案】
甲组有20名工人，乙组有15名工人。
【知识点】
分式方程的应用、列方程解应用题
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题核心是从题干中提取等量关系建立方程模型，需要注意分式方程必须检验，既要验证是否为增根，也要验证是否符合实际场景的要求，主要考察学生的数学建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.75
5. 小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时.某天，他们以平常的速度行驶了$\frac{1}{2}$的路程时遇到了暴雨，立即将车速减了20千米/时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到小强奶奶家的距离是多少千米？
答案
设平常的速度是x千米/时，根据题意，得
$\frac{\frac{1}{2}×4x}{x-20}=5-4×\frac{1}{2}$,解得$x=60$.
经检验，$x=60$是原方程的解.
$4×60=240$(千米).
答：小强家到小强奶奶家的距离是240千米.
$\frac{\frac{1}{2}×4x}{x-20}=5-4×\frac{1}{2}$,解得$x=60$.
经检验，$x=60$是原方程的解.
$4×60=240$(千米).
答：小强家到小强奶奶家的距离是240千米.
解析
【分析】
这是典型的行程类应用题，核心公式为“路程=速度×时间”。解题时可先设平常行驶的速度为x千米/时，结合平常走完全程需4小时，可知总路程为4x千米。当天行驶分两段：前半段路程按原速行驶，所用时间为平常走全程时间的一半，即$4×\frac{1}{2}=2$小时；已知当天总用时5小时，因此后半段减速行驶的时间为$5-2=3$小时。后半段路程为总路程的$\frac{1}{2}$即2x千米，行驶速度为$(x-20)$千米/时，根据“时间=路程÷速度”即可列方程求解速度，再计算总路程即可。
【解析】
解：设平常的行驶速度是x千米/时，根据题意可得：
$\frac{\frac{1}{2}×4x}{x-20}=5-4×\frac{1}{2}$
化简得：$\frac{2x}{x-20}=3$
去分母得：$2x=3(x-20)$
去括号得：$2x=3x-60$
解得：$x=60$
经检验，当$x=60$时，$x-20=40≠0$，所以$x=60$是原方程的解，且符合实际意义。
则小强家到奶奶家的距离为：$4×60=240$（千米）
【答案】
小强家到小强奶奶家的距离是240千米。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 行程问题等量关系
3. 分式方程验根
【点评】
本题属于常规的分式方程实际应用题，解题的关键是理清分段行驶的路程、速度、时间三者的对应关系，明确后半段行驶的时间是列方程的核心，同时要注意分式方程求解后必须检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
这是典型的行程类应用题，核心公式为“路程=速度×时间”。解题时可先设平常行驶的速度为x千米/时，结合平常走完全程需4小时，可知总路程为4x千米。当天行驶分两段：前半段路程按原速行驶，所用时间为平常走全程时间的一半，即$4×\frac{1}{2}=2$小时；已知当天总用时5小时，因此后半段减速行驶的时间为$5-2=3$小时。后半段路程为总路程的$\frac{1}{2}$即2x千米，行驶速度为$(x-20)$千米/时，根据“时间=路程÷速度”即可列方程求解速度，再计算总路程即可。
【解析】
解：设平常的行驶速度是x千米/时，根据题意可得：
$\frac{\frac{1}{2}×4x}{x-20}=5-4×\frac{1}{2}$
化简得：$\frac{2x}{x-20}=3$
去分母得：$2x=3(x-20)$
去括号得：$2x=3x-60$
解得：$x=60$
经检验，当$x=60$时，$x-20=40≠0$，所以$x=60$是原方程的解，且符合实际意义。
则小强家到奶奶家的距离为：$4×60=240$（千米）
【答案】
小强家到小强奶奶家的距离是240千米。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 行程问题等量关系
3. 分式方程验根
【点评】
本题属于常规的分式方程实际应用题，解题的关键是理清分段行驶的路程、速度、时间三者的对应关系，明确后半段行驶的时间是列方程的核心，同时要注意分式方程求解后必须检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
