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6.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务。设原计划每天绿化的面积为$x$万平方米，则下面所列方程中正确的是（
A.$\frac{60}{x} - \frac{60}{(1+25\%)x} = 30$
B.$\frac{60}{(1+25\%)x} - \frac{60}{x} = 30$
C.$\frac{60×(1+25\%)}{x} - \frac{60}{x} = 30$
D.$\frac{60}{x} - \frac{60×(1+25\%)}{x} = 30$
A
）A.$\frac{60}{x} - \frac{60}{(1+25\%)x} = 30$
B.$\frac{60}{(1+25\%)x} - \frac{60}{x} = 30$
C.$\frac{60×(1+25\%)}{x} - \frac{60}{x} = 30$
D.$\frac{60}{x} - \frac{60×(1+25\%)}{x} = 30$
答案
A
解析
【分析】
这是一道工程类分式方程应用题，解题核心是先明确“工作时间=工作总量÷工作效率”的基本数量关系，再找到题目中的等量关系：原计划完成任务的时间 - 实际完成任务的时间 = 提前的30天。我们只需要分别用含x的式子表示出原计划和实际的工作时间，代入等量关系就能列出方程。
【解析】
第一步，计算原计划完成任务的时间：已知工作总量为60万平方米，原计划每天绿化面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得原计划时间为$\frac{60}{x}$天。
第二步，计算实际完成任务的时间：实际工作效率比原计划提高25%，因此实际每天绿化面积为$(1+25\%)x$万平方米，同理可得实际时间为$\frac{60}{(1+25\%)x}$天。
第三步，根据“提前30天完成”可知原计划时间比实际时间多30天，列方程得：$\frac{60}{x} - \frac{60}{(1+25\%)x} = 30$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题的关键是找准时间差的等量关系，区分开计划和实际的工作效率，避免出现时间大小关系颠倒的错误，属于常考的基础题。
【难度系数】
0.7
这是一道工程类分式方程应用题，解题核心是先明确“工作时间=工作总量÷工作效率”的基本数量关系，再找到题目中的等量关系：原计划完成任务的时间 - 实际完成任务的时间 = 提前的30天。我们只需要分别用含x的式子表示出原计划和实际的工作时间，代入等量关系就能列出方程。
【解析】
第一步，计算原计划完成任务的时间：已知工作总量为60万平方米，原计划每天绿化面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得原计划时间为$\frac{60}{x}$天。
第二步，计算实际完成任务的时间：实际工作效率比原计划提高25%，因此实际每天绿化面积为$(1+25\%)x$万平方米，同理可得实际时间为$\frac{60}{(1+25\%)x}$天。
第三步，根据“提前30天完成”可知原计划时间比实际时间多30天，列方程得：$\frac{60}{x} - \frac{60}{(1+25\%)x} = 30$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题的关键是找准时间差的等量关系，区分开计划和实际的工作效率，避免出现时间大小关系颠倒的错误，属于常考的基础题。
【难度系数】
0.7
7.某化工厂为了给员工创建安全的工作环境,采用A,B两种机器人来搬运化工原料.其中A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克,A型机器人搬运1 500千克所用时间与B型机器人搬运1 000千克所用时间相等.
(1)求A,B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料.
(2)若每台A型、B型机器人的价格分别为5万元和3万元,该化工厂需要购进A,B两种机器人共12台,工厂现有资金45万元,则最多可购进A型机器人多少台?
(1)求A,B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料.
(2)若每台A型、B型机器人的价格分别为5万元和3万元,该化工厂需要购进A,B两种机器人共12台,工厂现有资金45万元,则最多可购进A型机器人多少台?
答案
(1)设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运$(x+30)$千克化工原料，根据题意，得$\frac{1500}{x+30}=\frac{1000}{x}$,解得$x=60$.
经检验，$x=60$是所列方程的解，且符合题意，
所以$x+30=60+30=90$.
答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料.
(2)设购进m台A型机器人，则购进$(12-m)$台B型机器人，根据题意，得$5m+3(12-m)≤45$,解得$m≤\frac{9}{2}$.又因为m为正整数，所以m的最大值为4.
答：最多可购进A型机器人4台.
经检验，$x=60$是所列方程的解，且符合题意，
所以$x+30=60+30=90$.
答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料.
(2)设购进m台A型机器人，则购进$(12-m)$台B型机器人，根据题意，得$5m+3(12-m)≤45$,解得$m≤\frac{9}{2}$.又因为m为正整数，所以m的最大值为4.
答：最多可购进A型机器人4台.
解析
【分析】
（1）第一问是分式方程应用问题，核心等量关系为“A型机器人搬运1500千克所用时间=B型机器人搬运1000千克所用时间”，工作时间=工作总量÷工作效率，我们可以设B型机器人每小时搬运量为未知数，进而表示出A型的搬运效率，代入等量关系列方程求解即可，注意分式方程需要双检验，既要检验是否为方程的解，也要检验是否符合实际意义。
（2）第二问是一元一次不等式应用问题，核心不等关系为“购进两种机器人的总费用≤45万元”，设购进A型机器人的数量为未知数，即可表示出B型的购进数量，结合单价列出不等式求解，最后根据机器人台数为正整数的实际要求取最大值即可。
【解析】
(1)设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运$(x+30)$千克化工原料，根据题意得：
$\frac{1500}{x+30}=\frac{1000}{x}$
交叉相乘得：$1500x=1000(x+30)$
解得$x=60$。
经检验，$x=60$是所列分式方程的解，且符合实际题意，
因此A型机器人每小时搬运量为$x+30=60+30=90$（千克）。
答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料。
(2)设购进m台A型机器人，则购进$(12-m)$台B型机器人，根据总资金不超过45万元得：
$5m+3(12-m)≤45$
化简得：$5m+36-3m≤45$
$2m≤9$
解得$m≤\frac{9}{2}$。
又因为m为机器人台数，需为正整数，所以m的最大值为4。
答：最多可购进A型机器人4台。
【答案】
(1)A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料；
(2)最多可购进A型机器人4台。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；实际问题取值限制
【点评】
本题以工厂生产、采购的实际场景为载体，综合考查方程与不等式的实际应用，解题的关键是准确提炼题目中的等量关系和不等关系，同时要注意分式方程必须验根，实际问题中未知数的取值要符合现实要求，是应用类的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）第一问是分式方程应用问题，核心等量关系为“A型机器人搬运1500千克所用时间=B型机器人搬运1000千克所用时间”，工作时间=工作总量÷工作效率，我们可以设B型机器人每小时搬运量为未知数，进而表示出A型的搬运效率，代入等量关系列方程求解即可，注意分式方程需要双检验，既要检验是否为方程的解，也要检验是否符合实际意义。
（2）第二问是一元一次不等式应用问题，核心不等关系为“购进两种机器人的总费用≤45万元”，设购进A型机器人的数量为未知数，即可表示出B型的购进数量，结合单价列出不等式求解，最后根据机器人台数为正整数的实际要求取最大值即可。
【解析】
(1)设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运$(x+30)$千克化工原料，根据题意得：
$\frac{1500}{x+30}=\frac{1000}{x}$
交叉相乘得：$1500x=1000(x+30)$
解得$x=60$。
经检验，$x=60$是所列分式方程的解，且符合实际题意，
因此A型机器人每小时搬运量为$x+30=60+30=90$（千克）。
答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料。
(2)设购进m台A型机器人，则购进$(12-m)$台B型机器人，根据总资金不超过45万元得：
$5m+3(12-m)≤45$
化简得：$5m+36-3m≤45$
$2m≤9$
解得$m≤\frac{9}{2}$。
又因为m为机器人台数，需为正整数，所以m的最大值为4。
答：最多可购进A型机器人4台。
【答案】
(1)A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料；
(2)最多可购进A型机器人4台。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；实际问题取值限制
【点评】
本题以工厂生产、采购的实际场景为载体，综合考查方程与不等式的实际应用，解题的关键是准确提炼题目中的等量关系和不等关系，同时要注意分式方程必须验根，实际问题中未知数的取值要符合现实要求，是应用类的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
8.某工厂计划在规定时间内生产24 000个零件.若实际每天比原计划多生产30个零件,则在规定时间内可以多生产300个零件.
(1)求原计划每天生产的零件个数和规定时间的天数.
(2)为了提前完成生产任务,工厂在安排原有工人按原计划生产的同时,引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产,已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总个数还多20%.按此测算,恰好提前两天完成24 000个零件的生产任务,求原计划安排的工人人数.
(1)求原计划每天生产的零件个数和规定时间的天数.
(2)为了提前完成生产任务,工厂在安排原有工人按原计划生产的同时,引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产,已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总个数还多20%.按此测算,恰好提前两天完成24 000个零件的生产任务,求原计划安排的工人人数.
答案
(1)设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产$(x+30)$个零件.由题意，得$\frac{24000}{x}=\frac{24000+300}{x+30}$.
解得$x=2400$.
经检验，$x=2400$是原方程的解，且符合题意.
所以规定的天数为$24000÷2400=10$.
答：原计划每天生产零件2400个，规定时间的天数是10.
(2)设原计划安排的工人人数为y，由题意，得
$[5×20×(1+20\%)×\frac{2400}{y}+2400]×(10-2)=24000$. 解得$y=480$.
经检验，$y=480$是所列方程的解，且符合题意.
答：原计划安排的工人人数为480.
解得$x=2400$.
经检验，$x=2400$是原方程的解，且符合题意.
所以规定的天数为$24000÷2400=10$.
答：原计划每天生产零件2400个，规定时间的天数是10.
(2)设原计划安排的工人人数为y，由题意，得
$[5×20×(1+20\%)×\frac{2400}{y}+2400]×(10-2)=24000$. 解得$y=480$.
经检验，$y=480$是所列方程的解，且符合题意.
答：原计划安排的工人人数为480.
解析
【分析】
(1) 第一问的核心等量关系是“规定时间不变”：原计划生产24000个零件的时间 = 实际生产(24000+300)个零件的时间。我们可以设原计划每天生产零件x个，用“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示两个时间，列分式方程求解，解后要检验是否为原方程的解且符合实际意义，再用总工作量除以原计划工作效率得到规定天数。
(2) 第二问的等量关系是“(原有工人每天产量 + 5组机器人每天总产量)×实际工作时间 = 总工作量24000”。先根据第一问结果得到规定天数是10天，实际工作时间为10-2=8天；先表示出每个工人原计划每天生产的零件数为$\frac{2400}{y}$，再算出每组机器人每天的产量，进而得到5组机器人的总产量，加上原有工人每天产量2400，乘实际时间等于总工作量，列方程求解后检验即可。
【解析】
(1) 设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产$(x+30)$个零件。
根据规定时间相等，列方程得：
$\frac{24000}{x}=\frac{24000+300}{x+30}$
交叉相乘化简得：$24000(x+30)=24300x$
$24000x + 720000 = 24300x$
$300x = 720000$
解得$x=2400$。
经检验，当$x=2400$时，$x(x+30)≠0$，是原方程的解，且符合实际生产的意义。
规定的天数为：$24000÷2400=10$（天）。
答：原计划每天生产零件2400个，规定时间的天数是10天。
(2) 设原计划安排的工人人数为y人。
首先，每个工人原计划每天生产零件$\frac{2400}{y}$个，每组机器人生产流水线每天生产零件的个数为$20×\frac{2400}{y}×(1+20\%)$，5组机器人每天总产量为$5×20×\frac{2400}{y}×(1+20\%)$，加上原有工人每天生产的2400个，就是改进后每天的总产量；实际生产时间为$10-2=8$天，总工作量为24000个，列方程得：
$[5×20×(1+20\%)×\frac{2400}{y}+2400]×(10-2)=24000$
化简得：$(\frac{288000}{y} + 2400)×8 = 24000$
两边除以8得：$\frac{288000}{y} + 2400 = 3000$
$\frac{288000}{y}=600$
解得$y=480$。
经检验，当$y=480$时，$y≠0$，是原方程的解，且符合实际意义。
答：原计划安排的工人人数为480人。
【答案】
(1) 原计划每天生产零件2400个，规定时间的天数是10天；
(2) 原计划安排的工人人数为480人。
【知识点】
分式方程的应用；工程问题等量关系；分式方程的检验
【点评】
本题是典型的工程类分式方程应用题，解题关键是抓住工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，找准不变量作为等量关系列方程。需要注意分式方程求解后必须双重检验，既要检验是否为原方程的解，也要检验是否符合实际生产的意义，整体侧重考察读题分析、提取等量关系的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问的核心等量关系是“规定时间不变”：原计划生产24000个零件的时间 = 实际生产(24000+300)个零件的时间。我们可以设原计划每天生产零件x个，用“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示两个时间，列分式方程求解，解后要检验是否为原方程的解且符合实际意义，再用总工作量除以原计划工作效率得到规定天数。
(2) 第二问的等量关系是“(原有工人每天产量 + 5组机器人每天总产量)×实际工作时间 = 总工作量24000”。先根据第一问结果得到规定天数是10天，实际工作时间为10-2=8天；先表示出每个工人原计划每天生产的零件数为$\frac{2400}{y}$，再算出每组机器人每天的产量，进而得到5组机器人的总产量，加上原有工人每天产量2400，乘实际时间等于总工作量，列方程求解后检验即可。
【解析】
(1) 设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产$(x+30)$个零件。
根据规定时间相等，列方程得：
$\frac{24000}{x}=\frac{24000+300}{x+30}$
交叉相乘化简得：$24000(x+30)=24300x$
$24000x + 720000 = 24300x$
$300x = 720000$
解得$x=2400$。
经检验，当$x=2400$时，$x(x+30)≠0$，是原方程的解，且符合实际生产的意义。
规定的天数为：$24000÷2400=10$（天）。
答：原计划每天生产零件2400个，规定时间的天数是10天。
(2) 设原计划安排的工人人数为y人。
首先，每个工人原计划每天生产零件$\frac{2400}{y}$个，每组机器人生产流水线每天生产零件的个数为$20×\frac{2400}{y}×(1+20\%)$，5组机器人每天总产量为$5×20×\frac{2400}{y}×(1+20\%)$，加上原有工人每天生产的2400个，就是改进后每天的总产量；实际生产时间为$10-2=8$天，总工作量为24000个，列方程得：
$[5×20×(1+20\%)×\frac{2400}{y}+2400]×(10-2)=24000$
化简得：$(\frac{288000}{y} + 2400)×8 = 24000$
两边除以8得：$\frac{288000}{y} + 2400 = 3000$
$\frac{288000}{y}=600$
解得$y=480$。
经检验，当$y=480$时，$y≠0$，是原方程的解，且符合实际意义。
答：原计划安排的工人人数为480人。
【答案】
(1) 原计划每天生产零件2400个，规定时间的天数是10天；
(2) 原计划安排的工人人数为480人。
【知识点】
分式方程的应用；工程问题等量关系；分式方程的检验
【点评】
本题是典型的工程类分式方程应用题，解题关键是抓住工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，找准不变量作为等量关系列方程。需要注意分式方程求解后必须双重检验，既要检验是否为原方程的解，也要检验是否符合实际生产的意义，整体侧重考察读题分析、提取等量关系的能力。
【难度系数】
0.7
