5.(2024·湖北武汉中考)分式方程$\frac{x}{x-3}=\frac{x+1}{x-1}$的解是.

5.$x=-3$

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径为：1. 先确定方程中两个分母$x-3$和$x-1$的最简公分母为$(x-3)(x-1)$；2. 方程两边同时乘最简公分母消去分母，得到整式方程；3. 按照整式方程的解法求解未知数；4. 最后必须检验所得的解是否使原方程分母不为0，排除增根。
【解析】
解：方程两边同时乘最简公分母$(x-3)(x-1)$，消去分母得：
$x(x-1)=(x+1)(x-3)$
分别展开等号两边的乘积：
左边：$x^2 - x$
右边：$x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$
整理方程得：
$x^2 - x = x^2 - 2x - 3$
移项、合并同类项：
$x^2 - x - x^2 + 2x = -3$
$x = -3$
检验：当$x=-3$时，最简公分母$(x-3)(x-1)=(-3-3)×(-3-1)=24≠0$，因此$x=-3$是原分式方程的解。
【答案】
$x=-3$
【知识点】
分式方程的解法，整式方程求解，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题型，重点考查分式方程的常规求解步骤，解题的易错点为去分母时漏乘项、忘记检验增根，掌握基础解法即可顺利得分。
【难度系数】
0.8

6. 解方程：
(1)$\frac{2}{x^2 -1}+\frac{x}{x-1}=1$；
(2)$\frac{x}{3x -1}=2-\frac{1}{1-3x}$；
(3)$\frac{3}{4 -x}+2=\frac{1 -x}{x -4}$。

(1)方程两边乘$(x+1)(x-1)$,得$2+x(x+1)=x^2-1$. 解得$x=-3$.
检验:当$x=-3$时,$(x+1)(x-1)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=-3$.
(2)方程两边乘$3x-1$,得$x=2(3x-1)+1$.
解得$x=\frac{1}{5}$.
检验:当$x=\frac{1}{5}$时,$3x-1≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=\frac{1}{5}$.
(3)方程两边乘$x-4$,得$-3+2(x-4)=1-x$. 解得$x=4$.
检验:当$x=4$时,$x-4=0$,
因此$x=4$不是原分式方程的解.
所以,原分式方程无解.

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径如下：1.先整理各分母，找到最简公分母，注意互为相反数的分母变形时要调整符号；2.方程两边同时乘最简公分母约去分母，得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的常数项；3.解整式方程；4.必须检验：把整式方程的解代入最简公分母，若公分母为0，该解是增根，原方程无解；若公分母不为0，该解才是原方程的解。
针对本题三个小题：(1)中$x^2-1$可因式分解为$(x+1)(x-1)$，最简公分母即为$(x+1)(x-1)$；(2)中$1-3x=-(3x-1)$，最简公分母为$3x-1$；(3)中$4-x=-(x-4)$，最简公分母为$x-4$，去分母时注意符号变化即可。
【解析】
(1) 方程两边乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$2+x(x+1)=x^2-1$
展开整理得：$2+x^2+x=x^2-1$
移项合并同类项得：$x=-3$
检验：当$x=-3$时，$(x+1)(x-1)=(-3+1)×(-3-1)=8≠0$，所以$x=-3$是原分式方程的解。
(2) 方程两边乘最简公分母$3x-1$，得：
$x=2(3x-1)+1$
展开整理得：$x=6x-2+1$
移项合并同类项得：$-5x=-1$
解得$x=\frac{1}{5}$
检验：当$x=\frac{1}{5}$时，$3x-1=3×\frac{1}{5}-1=-\frac{2}{5}≠0$，所以$x=\frac{1}{5}$是原分式方程的解。
(3) 方程两边乘最简公分母$x-4$，得：
$-3+2(x-4)=1-x$
展开整理得：$-3+2x-8=1-x$
移项合并同类项得：$3x=12$
解得$x=4$
检验：当$x=4$时，$x-4=0$，因此$x=4$是原分式方程的增根，原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=-3$；(2)$x=\frac{1}{5}$；(3)无解
【知识点】
分式方程的解法；分式方程验根；分式的基本性质
【点评】
本题是分式方程解法的基础训练题，重点考察去分母、解整式方程和验根的规范步骤，解题时要注意互为相反数的分母变形时的符号变化，不要漏乘常数项，牢记验根是解分式方程必不可少的环节，避免误把增根当成方程的解。
【难度系数】
0.7

7.(2024·四川达州中考)若关于x的方程$\frac{3}{x-2} - \frac{kx - 1}{x - 2} = 1$无解，则k的值为.

7.2或-1

【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，需明确分式方程无解分两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程有解，但该解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。本题先确定原方程的增根，再分别对应两种情况计算k的值即可。
【解析】
原方程分母为$x-2$，因此$x≠2$，方程两边同时乘$(x-2)$去分母得：
$3 - (kx - 1) = x - 2$
去括号得：$3 - kx + 1 = x - 2$
整理移项得：$(k + 1)x = 6$
分两种情况讨论：
① 当整式方程无解时，未知数的系数为0：
即$k + 1 = 0$，解得$k = -1$，此时$0× x=6$，等式不成立，整式方程无解，符合题意；
② 当整式方程的解是原分式方程的增根时，增根为$x=2$，将$x=2$代入$(k + 1)x = 6$得：
$2(k + 1) = 6$，解得$k = 2$，此时原方程分母为0，分式方程无解，符合题意。
综上，k的值为2或-1。
【答案】
2或-1
【知识点】
分式方程无解的判定；分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程类易错题，解题关键是牢记分式方程无解的两种情况，讨论时不要遗漏整式方程本身无解的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5

8.(2024·黑龙江牡丹江中考)若关于x的分式方程$\frac{x}{x-1}=3-\frac{mx}{1-x}$的解为正整数，则整数m的值为.

8.$-1$

【分析】
解决这道题首先要遵循分式方程的求解思路，第一步先去分母将分式方程转化为整式方程，用含参数m的代数式表示出方程的解x；第二步结合分式方程分母不为0的隐含限制，确定x的取值范围；第三步根据“解为正整数、m为整数”的条件，筛选出符合要求的m的值即可。
【解析】
首先对原分式方程进行变形，将右边分母化为和左边一致的形式：
$\frac{x}{x-1}=3+\frac{mx}{x-1}$
方程两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意$x≠1$，否则原分式方程无意义），去分母得：
$x=3(x-1)+mx$
展开右侧并整理：
$x=3x-3+mx$
移项、合并同类项：
$x-3x-mx=-3$
$(-2-m)x=-3$
系数化为1得：
$x=\frac{3}{m+2}$
因为方程的解为正整数，且$x≠1$：
1. 若$\frac{3}{m+2}$为正整数，则$m+2$是3的正因数，3的正因数为1、3；
2. 当$m+2=1$时，$m=-1$，此时$x=\frac{3}{1}=3$，是正整数且$x≠1$，符合要求；
3. 当$m+2=3$时，$m=1$，此时$x=\frac{3}{3}=1$，是分式方程的增根，舍去。
综上，整数m的值为$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；含参数分式方程求解
【点评】
本题是分式方程中常见的整数解类题型，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不能为0的隐含条件，误将增根对应的参数值纳入结果，求解时一定要先验证解是否为增根，再结合整数要求筛选参数。
【难度系数】
0.5

9. 阅读材料:关于$x$的分式方程$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解是$x_1=c,x_2=\frac{1}{c}$；
$x-\frac{1}{x}=c-\frac{1}{c}$(即$x+\frac{-1}{x}=c+\frac{-1}{c}$)的解是$x_1=c,x_2=-\frac{1}{c}$；
$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的解是$x_1=c,x_2=\frac{2}{c}$；
$x+\frac{3}{x}=c+\frac{3}{c}$的解是$x_1=c,x_2=\frac{3}{c}$；
……
(1)请观察上述方程与解的特征,猜想关于$x$的方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解是什么?并利用“方程的解”的概念进行验证.
(2)根据以上的规律方法解关于$x$的方程:$x+\frac{2}{x-1}=a+\frac{2}{a-1}$.

(1)关于$x$的方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解为$x_1=c,x_2=\frac{m}{c}$.
验证:把$x=c$代入方程,得左边$=c+\frac{m}{c}$,右边$=c+\frac{m}{c}$,即左边=右边,符合题意;
把$x=\frac{m}{c}$代入方程,得左边$=\frac{m}{c}+\frac{m}{\frac{m}{c}}=c+\frac{m}{c}=$右边,即左边=右边,符合题意.
(2)因为$x+\frac{2}{x-1}=a+\frac{2}{a-1}$,
所以$x-1+\frac{2}{x-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$,
所以$x_1-1=a-1,x_2-1=\frac{2}{a-1}$,
所以$x_1=a,x_2=\frac{a+1}{a-1}($或$1+\frac{2}{a-1})$.

【分析】
(1) 先观察给出的分式方程及解的共性特征：方程左侧均为$x$加一个常数除以$x$，右侧均为常数$c$加同一个常数除以$c$，解分别为$c$和该常数除以$c$，由此可猜想目标方程的解；验证时根据方程解的定义，将候选解代入方程左右两边，判断两边是否相等即可。
(2) 求解第二个方程时，需先将方程变形为符合材料规律的形式：把左侧的$x$拆为$(x-1)+1$，右侧的$a$拆为$(a-1)+1$，两边同时减1后，将$x-1$看作整体套用(1)的结论求解，最后还原求出$x$，并检验解是否使分母不为0。
【解析】
(1) 猜想：关于$x$的方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解为$x_1=c$，$x_2=\frac{m}{c}$。
验证：①把$x=c$代入方程，左边$=c+\frac{m}{c}$，右边$=c+\frac{m}{c}$，左边=右边，因此$x=c$是方程的解；
②把$x=\frac{m}{c}$代入方程，左边$=\frac{m}{c}+\frac{m}{\frac{m}{c}}=\frac{m}{c}+c$，右边$=c+\frac{m}{c}$，左边=右边，因此$x=\frac{m}{c}$是方程的解。
(2) 对原方程$x+\frac{2}{x-1}=a+\frac{2}{a-1}$变形：
两边同时减1，得$x-1+\frac{2}{x-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$，
将$x-1$看作整体，套用(1)的规律可得：
$x-1=a-1$ 或 $x-1=\frac{2}{a-1}$，
分别求解：
由$x-1=a-1$得$x_1=a$；
由$x-1=\frac{2}{a-1}$得$x_2=\frac{2}{a-1}+1=\frac{a+1}{a-1}$。
经检验，$x_1=a$、$x_2=\frac{a+1}{a-1}$均使原方程分母不为0，是原方程的解。
【答案】
(1) 解为$x_1=c,x_2=\frac{m}{c}$，验证过程见解析；
(2) 方程的解为$x_1=a,x_2=\frac{a+1}{a-1}$（或$x_2=1+\frac{2}{a-1}$）。
【知识点】
分式方程的解，规律探究，换元法解方程
【点评】
本题属于规律探究类问题，既考查从已知示例中归纳共性规律的能力，也考查知识迁移应用的能力，解题的关键是将待解方程变形为符合规律的结构，易错点是变形时漏项，求解后需注意检验分式方程的解是否使分母有意义。
【难度系数】
0.6