2. 解下列方程：
(1)$\frac{x-2}{x+3}-\frac{3}{x-3}=1;$
(2)$\frac{1}{x-2}=\frac{1-x}{2-x}-3.$

(1) 方程两边乘$(x+3)(x-3)$,得$(x-2)(x-3)-3(x+3)=(x+3)(x-3)$. 解得$x=\frac{3}{4}$.
检验:当$x=\frac{3}{4}$时,$(x+3)(x-3)≠0$,所以,原分式方程的解为$x=\frac{3}{4}$.
(2) 方程两边乘$x-2$,得$1=-(1-x)-3(x-2)$. 解得$x=2$.
检验:当$x=2$时,$x-2=0$,因此$x=2$不是原分式方程的解. 所以,原分式方程无解.

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①确定方程中各分母的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，去掉分母得到整式方程；③解整式方程；④检验所得根是否为增根（即是否使最简公分母为0），若为增根则原方程无解，否则为原方程的解。
对于第(1)题，两个分母为$x+3$和$x-3$，最简公分母是$(x+3)(x-3)$；对于第(2)题，分母$2-x=-(x-2)$，因此最简公分母是$x-2$，去分母时要注意符号变化。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x+3)(x-3)$，得：
$(x-2)(x-3)-3(x+3)=(x+3)(x-3)$
展开整理得：$x^2-8x-3=x^2-9$
移项合并同类项得：$-8x=-6$
解得：$x=\frac{3}{4}$
检验：当$x=\frac{3}{4}$时，$(x+3)(x-3)≠0$，因此$x=\frac{3}{4}$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$x-2$，得：
$1=-(1-x)-3(x-2)$
展开整理得：$1=-2x+5$
移项合并同类项得：$2x=4$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，$x-2=0$，因此$x=2$是原分式方程的增根，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=\frac{3}{4}$；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题关键是准确确定最简公分母，去分母时注意不要漏乘常数项，最后必须检验所得根是否为增根，避免误把增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7

1. 下列式子是分式方程的是 （）

A.$\frac{2}{x+1}+\frac{x}{3}$
B.$\frac{x}{4}+\frac{x-1}{2}=0$
C.$x^2 -1=3$
D.$\frac{1}{x-2}+x=3$

1.D

【分析】
要解决这道题，首先需要明确分式方程的判定标准，分式方程需同时满足两个核心条件：一是属于含有未知数的等式（即首先必须是方程），二是分母中含有未知数。接下来只需按照这两个标准逐一排查每个选项，就能筛选出正确答案。
【解析】
首先回忆分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对各选项逐一分析：
选项A：$\frac{2}{x+1}+\frac{x}{3}$是代数式，不是等式，不满足方程的基本要求，直接排除；
选项B：$\frac{x}{4}+\frac{x-1}{2}=0$是等式，但分母为4和2，均是常数，不含未知数，属于一元一次整式方程，不符合分式方程定义，排除；
选项C：$x^2 -1=3$是一元二次整式方程，没有含未知数的分母，排除；
选项D：$\frac{1}{x-2}+x=3$是含未知数$x$的等式，且分母$x-2$中含有未知数$x$，完全符合分式方程的定义。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义；整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题是基础概念考查类题目，解题的核心是牢牢抓住分式方程的两个判定要点，做题时要注意区分分式代数式和分式方程，不要把非等式的代数式误当成方程。
【难度系数】
0.8

2. (2024·山东济宁中考)解分式方程 $1-\dfrac{1}{3x-1}=-\dfrac{5}{2-6x}$时，去分母变形正确的是（）

A.$2-6x+2=-5$
B.$6x-2-2=-5$
C.$2-6x-1=5$
D.$6x-2+1=5$

2.A

【分析】
要判断分式方程去分母的变形是否正确，需按以下思路思考：第一步先观察方程中两个分母的关系，将分母变形找到最简公分母；第二步根据等式的性质，给方程的每一项都乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的常数项，同时要注意分数线有括号的作用，计算时不要弄错符号；第三步将变形后的式子和选项对比即可得到答案。
【解析】
首先对分母变形：$2-6x=-2(3x-1)$，因此可选择最简公分母为$2-6x$。
给原方程$1-\dfrac{1}{3x-1}=-\dfrac{5}{2-6x}$的每一项同时乘以$2-6x$：
1. 左边第一项$1$乘$2-6x$，得$2-6x$；
2. 左边第二项$-\dfrac{1}{3x-1}$乘$2-6x$，代入$2-6x=-2(3x-1)$，计算得$-\dfrac{1}{3x-1}×[-2(3x-1)]=+2$；
3. 右边$-\dfrac{5}{2-6x}$乘$2-6x$，约分后得$-5$。
将各项结果合并，得到去分母后的式子为$2-6x+2=-5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程去分母 2. 等式的基本性质 3. 符号运算
【点评】
本题是分式方程解法的基础题型，易错点在于去分母时漏乘常数项，或者忽略分母变形带来的符号变化，解题时先统一分母形式，再严格按去分母规则计算，注意核对每一项的符号即可避免错误。
【难度系数】
0.7

3. 分式方程$\frac{x}{x-1}+\frac{2x}{1-x}=1$的解为（）

A.$x=1$
B.$x=3$
C.$x=\frac{1}{2}$
D.无解

3.C

【分析】
解本题首先观察分式方程的分母，发现1-x是x-1的相反数，先将第二个分式变形统一分母形式，确定最简公分母为x-1；然后方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解；最后必须检验所得的根是否使原方程分母为0，排除增根后得到原方程的解。
【解析】
首先对原方程变形，
∵$1-x=-(x-1)$，
∴原方程可化为：
$\frac{x}{x-1}-\frac{2x}{x-1}=1$
方程两边同时乘最简公分母$x-1$（需满足$x≠1$），消去分母得：
$x - 2x = x - 1$
整理整式方程：
$-x = x - 1$
移项得：$-2x = -1$
解得：$x=\frac{1}{2}$
检验：将$x=\frac{1}{2}$代入$x-1$，得$\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}≠0$，因此$x=\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程解法的基础题型，易错点是处理分母$1-x$时符号出错，或忘记验根。解题时要先统一分母形式，去分母时注意不要漏乘不含分母的项，最后必须检验根是否使原方程分母为0。
【难度系数】
0.7

4.(2024·山东济南中考)若分式$\frac{x-1}{2x}$的值为0，则实数x的值为.

4.1

【分析】
要解决分式值为0的问题，首先需明确分式值为0需同时满足两个条件：①分子的值为0；②分母的值不为0，两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0列出方程求出x的可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，最终得到符合要求的结果。
【解析】
若分式的值为0，需同时满足分子为0且分母不为0：
1. 令分子等于0，列方程：$x - 1 = 0$，解得$x = 1$；
2. 检验分母：当$x = 1$时，分母$2x = 2×1 = 2 ≠ 0$，满足分母不为0的要求。
因此实数x的值为1。
【答案】
1
【知识点】
分式值为0的条件、解一元一次方程
【点评】
本题是分式相关的基础题型，解题的关键是牢记分式值为0的两个限制条件，避免遗漏分母不为0的要求导致错解。
【难度系数】
0.8