登录
1. 如果一个正比例函数的图象经过点$(-3,-6)$，那么这个正比例函数的表达式为(
A.$y=2x$
B.$y=0.5x$
C.$y=-0.5x$
D.$y=-2x$
A
)。A.$y=2x$
B.$y=0.5x$
C.$y=-0.5x$
D.$y=-2x$
答案
1. A
解析
【分析】
要确定正比例函数的表达式，首先回忆正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），仅需求出常数$k$即可得到解析式。已知函数图象经过点$(-3,-6)$，说明该点的横、纵坐标满足函数表达式，因此将点的坐标代入一般式，即可得到关于$k$的一元一次方程，解方程求出$k$后就能确定函数表达式，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：设该正比例函数的表达式为$y = kx$（$k ≠ 0$，$k$为常数）
∵ 函数图象经过点$(-3,-6)$
∴ 将$x=-3$，$y=-6$代入表达式得：
$-6 = -3k$
解得：$k = 2$
∴ 该正比例函数的表达式为$y=2x$
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的一般形式；待定系数法求解析式；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心考查待定系数法求正比例函数解析式，解题的关键是明确函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式，掌握相关基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
要确定正比例函数的表达式，首先回忆正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），仅需求出常数$k$即可得到解析式。已知函数图象经过点$(-3,-6)$，说明该点的横、纵坐标满足函数表达式，因此将点的坐标代入一般式，即可得到关于$k$的一元一次方程，解方程求出$k$后就能确定函数表达式，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：设该正比例函数的表达式为$y = kx$（$k ≠ 0$，$k$为常数）
∵ 函数图象经过点$(-3,-6)$
∴ 将$x=-3$，$y=-6$代入表达式得：
$-6 = -3k$
解得：$k = 2$
∴ 该正比例函数的表达式为$y=2x$
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的一般形式；待定系数法求解析式；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数基础题型，核心考查待定系数法求正比例函数解析式，解题的关键是明确函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式，掌握相关基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
2. 在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比。某弹簧不挂物体时长9 cm，当所挂物体质量为3 kg时，弹簧长12 cm，则弹簧长度 y(cm)与所挂物体质量 x(kg)之间的关系式为(
A.$y=-x+9$
B.$y=-x-9$
C.$y=x-9$
D.$y=x+9$
D
)。A.$y=-x+9$
B.$y=-x-9$
C.$y=x-9$
D.$y=x+9$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：首先根据“弹簧伸长的长度与所挂物体质量成正比”，可知弹簧总长度y与所挂质量x满足一次函数关系，可设为y=kx+b（k≠0）；其次，不挂物体时即x=0，弹簧长9cm，可直接求出常数项b；最后将x=3、y=12的已知条件代入函数式，求出k的值即可得到最终关系式。
【解析】
设弹簧长度y与所挂物体质量x的关系式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$）。
1. 当不挂物体时，所挂质量$x=0$，弹簧长9cm，代入关系式得：$9 = k × 0 + b$，解得$b=9$；
2. 当所挂物体质量为3kg时，弹簧长12cm，将$x=3$、$y=12$、$b=9$代入关系式得：$12 = 3k + 9$，计算得$3k=3$，解得$k=1$；
综上，弹簧长度与所挂物体质量的关系式为$y = x + 9$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一次函数的应用 2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，解题核心是明确弹簧总长度由原长和伸长长度两部分组成，结合已知条件用待定系数法即可求出函数关系式。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：首先根据“弹簧伸长的长度与所挂物体质量成正比”，可知弹簧总长度y与所挂质量x满足一次函数关系，可设为y=kx+b（k≠0）；其次，不挂物体时即x=0，弹簧长9cm，可直接求出常数项b；最后将x=3、y=12的已知条件代入函数式，求出k的值即可得到最终关系式。
【解析】
设弹簧长度y与所挂物体质量x的关系式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$）。
1. 当不挂物体时，所挂质量$x=0$，弹簧长9cm，代入关系式得：$9 = k × 0 + b$，解得$b=9$；
2. 当所挂物体质量为3kg时，弹簧长12cm，将$x=3$、$y=12$、$b=9$代入关系式得：$12 = 3k + 9$，计算得$3k=3$，解得$k=1$；
综上，弹簧长度与所挂物体质量的关系式为$y = x + 9$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一次函数的应用 2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，解题核心是明确弹簧总长度由原长和伸长长度两部分组成，结合已知条件用待定系数法即可求出函数关系式。
【难度系数】
0.8
3. 某地温度 $T(°C)$与海拔 $h(km)$之间的关系可用 $T=30-6h$ 来表示，则该地区海拔为2 000 m的山顶上的温度为
18 ℃
。答案
3. 18 ℃
解析
【分析】
解题时首先明确已知的一次函数关系式中各量的单位：海拔h的单位为km，而题目给出的山顶海拔是2000m，因此第一步需要先统一单位，将2000m换算为2km，再把h=2代入给出的函数表达式，计算得到的T值就是所求的山顶温度。
【解析】
解：先进行单位换算：$2000\ \mathrm{m}=2\ \mathrm{km}$
将$h=2$代入函数关系式$T=30-6h$中，可得：
$T=30-6×2=30-12=18\ (\mathrm{° C})$
【答案】
$18\ \mathrm{° C}$
【知识点】
一次函数的应用，单位换算，代数式求值
【点评】
本题是一次函数应用的基础题，核心考查自变量代入求函数值的能力，解题时需注意先核对函数中各量的单位，统一单位后再代入计算，避免因忽略单位差异出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知的一次函数关系式中各量的单位：海拔h的单位为km，而题目给出的山顶海拔是2000m，因此第一步需要先统一单位，将2000m换算为2km，再把h=2代入给出的函数表达式，计算得到的T值就是所求的山顶温度。
【解析】
解：先进行单位换算：$2000\ \mathrm{m}=2\ \mathrm{km}$
将$h=2$代入函数关系式$T=30-6h$中，可得：
$T=30-6×2=30-12=18\ (\mathrm{° C})$
【答案】
$18\ \mathrm{° C}$
【知识点】
一次函数的应用，单位换算，代数式求值
【点评】
本题是一次函数应用的基础题，核心考查自变量代入求函数值的能力，解题时需注意先核对函数中各量的单位，统一单位后再代入计算，避免因忽略单位差异出现计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李。当行李的质量超过规定时，需付的行李费$y$(元)与行李质量$x$(kg)之间满足一次函数关系，部分对应值如表4-4-1：
表4-4-1
则旅客最多可免费携带行李的质量是
表4-4-1
则旅客最多可免费携带行李的质量是
10 kg
。答案
4. 10 kg
解析
【分析】
题目明确行李费y与行李质量x为一次函数关系，解题思路分为两步：第一步，利用表格中给出的两组x、y对应值，通过待定系数法求出一次函数的解析式；第二步，旅客免费携带行李时行李费y=0，将y=0代入解析式求解对应的x值，即为最多可免费携带的行李质量。
【解析】
设y与x的一次函数解析式为$\boldsymbol{y=kx+b\ (k≠0)}$
将$x=30,y=4$和$x=40,y=6$代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}30k+b=4\\40k+b=6\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$10k=2$，解得$k=0.2$
将$k=0.2$代入$30k+b=4$，得：$30×0.2 +b=4$，解得$b=-2$
因此一次函数解析式为$y=0.2x-2$
当行李免费时，需付行李费$y=0$，代入解析式得：
$0=0.2x-2$
解得$x=10$
（验证：将$x=55$代入$y=0.2x-2$，得$y=0.2×55-2=9$，与表格数据一致，解析式正确）
【答案】
10 kg
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的典型应用，核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时需要结合实际问题的含义找到对应的函数值求解，解题时对求出的解析式进行验证可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
题目明确行李费y与行李质量x为一次函数关系，解题思路分为两步：第一步，利用表格中给出的两组x、y对应值，通过待定系数法求出一次函数的解析式；第二步，旅客免费携带行李时行李费y=0，将y=0代入解析式求解对应的x值，即为最多可免费携带的行李质量。
【解析】
设y与x的一次函数解析式为$\boldsymbol{y=kx+b\ (k≠0)}$
将$x=30,y=4$和$x=40,y=6$代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}30k+b=4\\40k+b=6\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$10k=2$，解得$k=0.2$
将$k=0.2$代入$30k+b=4$，得：$30×0.2 +b=4$，解得$b=-2$
因此一次函数解析式为$y=0.2x-2$
当行李免费时，需付行李费$y=0$，代入解析式得：
$0=0.2x-2$
解得$x=10$
（验证：将$x=55$代入$y=0.2x-2$，得$y=0.2×55-2=9$，与表格数据一致，解析式正确）
【答案】
10 kg
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；解一元一次方程
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的典型应用，核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时需要结合实际问题的含义找到对应的函数值求解，解题时对求出的解析式进行验证可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
5. 如图4-4-1，拇指与小指尽量张开时，两指尖的距离称为指距。据研究表明，一般情况下身高h(cm)与指距d(cm)之间是一次函数关系，部分对应值如表4-4-2：
表4-4-2
结合上表，身高h与指距d之间的关系式为
表4-4-2
结合上表，身高h与指距d之间的关系式为
$h=9d-20$
。答案
5. $h=9d-20$
解析
【分析】
题目明确给出身高h与指距d是一次函数关系，我们可以利用待定系数法求解函数关系式：第一步先设出一次函数的一般形式h=kd+b（k、b为常数，k≠0）；第二步从表格中选取两组d与h的对应值，代入所设解析式，得到关于k、b的二元一次方程组；第三步解方程组求出k和b的值；第四步将k、b代回解析式即可得到h与d的关系式，最后可代入表格中其他数据验证结果是否正确。
【解析】
设身高h与指距d的一次函数关系式为$h = kd + b$（$k≠0$）。
从表格中选取两组对应值：当$d=20$时，$h=160$；当$d=21$时，$h=169$，分别代入解析式得：
$\begin{cases}20k + b = 160 \\21k + b = 169\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$k=9$。
将$k=9$代入$20k + b = 160$，得：$20×9 + b = 160$，解得$b=-20$。
将$k=9$、$b=-20$代回解析式得$h=9d-20$，代入表格其余数据验证均成立。
【答案】
$h=9d-20$
【知识点】
1. 待定系数法
2. 一次函数解析式
3. 二元一次方程组求解
【点评】
本题是一次函数应用的基础题型，核心考查待定系数法求一次函数解析式的步骤，解题时只要准确选取对应数据代入，计算不出错就能得到正确结果。
【难度系数】
0.8
题目明确给出身高h与指距d是一次函数关系，我们可以利用待定系数法求解函数关系式：第一步先设出一次函数的一般形式h=kd+b（k、b为常数，k≠0）；第二步从表格中选取两组d与h的对应值，代入所设解析式，得到关于k、b的二元一次方程组；第三步解方程组求出k和b的值；第四步将k、b代回解析式即可得到h与d的关系式，最后可代入表格中其他数据验证结果是否正确。
【解析】
设身高h与指距d的一次函数关系式为$h = kd + b$（$k≠0$）。
从表格中选取两组对应值：当$d=20$时，$h=160$；当$d=21$时，$h=169$，分别代入解析式得：
$\begin{cases}20k + b = 160 \\21k + b = 169\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$k=9$。
将$k=9$代入$20k + b = 160$，得：$20×9 + b = 160$，解得$b=-20$。
将$k=9$、$b=-20$代回解析式得$h=9d-20$，代入表格其余数据验证均成立。
【答案】
$h=9d-20$
【知识点】
1. 待定系数法
2. 一次函数解析式
3. 二元一次方程组求解
【点评】
本题是一次函数应用的基础题型，核心考查待定系数法求一次函数解析式的步骤，解题时只要准确选取对应数据代入，计算不出错就能得到正确结果。
【难度系数】
0.8
6. 近日，教育部召开深入落实“健康第一”工作部署会，对推进学生身心健康工作进行了全面部署。某校认真落实“健康第一”的教育理念，切实提高本校学生体质健康水平。学校计划购买足球和排球共300个，经调查：足球100元/个，排球80元/个。设该校此次购买足球x个，购买这批足球和排球的总费用为y元；
(1)求y与x之间的函数关系式。
(2)若该校此次购买这批足球和排球共花费28 000元，则该校购买足球多少个？
(1)求y与x之间的函数关系式。
(2)若该校此次购买这批足球和排球共花费28 000元，则该校购买足球多少个？
答案
6. 解:(1)根据题意得 $y = 100x + (300-x)×80 = 20x + 24 000$，即 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=20x+24\ 000$。
(2)根据题意得,$20x+24\ 000=28\ 000$，解得 $x=200$。
答:该校购买足球 200 个。
(2)根据题意得,$20x+24\ 000=28\ 000$，解得 $x=200$。
答:该校购买足球 200 个。
解析
【分析】
（1）要求总费用y与足球个数x的函数关系式，需明确总费用=足球总花费+排球总花费。已知购买足球x个，总共采购300个球，因此排球购买数量为(300-x)个，结合两种球的单价分别计算两者的花费，相加后化简即可得到函数关系式。
（2）已知总花费为28000元，即y=28000，将其代入第一问求出的函数关系式中，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出足球的购买数量。
【解析】
（1）根据题意，购买足球的总费用为100x元，购买排球的总费用为$80(300-x)$元，因此总费用：
$y = 100x + 80(300-x)$
化简得：$y = 20x + 24000$
即y与x之间的函数关系式为$y=20x+24000$。
（2）当总费用$y=28000$时，代入上述函数关系式得：
$20x + 24000 = 28000$
解得：$x=200$
【答案】
（1）$y=20x+24000$；（2）该校购买足球200个。
【知识点】
一次函数实际应用，列函数关系式，解一元一次方程
【点评】
本题结合校园采购的实际情境出题，属于一次函数应用的基础题型，核心考查对“总价=单价×数量”这一基本数量关系的运用，以及代入函数值求解自变量的能力，解题时理清各数量之间的关系即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
（1）要求总费用y与足球个数x的函数关系式，需明确总费用=足球总花费+排球总花费。已知购买足球x个，总共采购300个球，因此排球购买数量为(300-x)个，结合两种球的单价分别计算两者的花费，相加后化简即可得到函数关系式。
（2）已知总花费为28000元，即y=28000，将其代入第一问求出的函数关系式中，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出足球的购买数量。
【解析】
（1）根据题意，购买足球的总费用为100x元，购买排球的总费用为$80(300-x)$元，因此总费用：
$y = 100x + 80(300-x)$
化简得：$y = 20x + 24000$
即y与x之间的函数关系式为$y=20x+24000$。
（2）当总费用$y=28000$时，代入上述函数关系式得：
$20x + 24000 = 28000$
解得：$x=200$
【答案】
（1）$y=20x+24000$；（2）该校购买足球200个。
【知识点】
一次函数实际应用，列函数关系式，解一元一次方程
【点评】
本题结合校园采购的实际情境出题，属于一次函数应用的基础题型，核心考查对“总价=单价×数量”这一基本数量关系的运用，以及代入函数值求解自变量的能力，解题时理清各数量之间的关系即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
7. 一次函数 $y=ax+b$ 的图象经过点 $(-1, -3)$，且与一次函数 $y=5x+6$ 的图象平行，请求出该一次函数的表达式。
答案
7. 解:因为一次函数 $y=ax+b$ 的图象与一次函数 $y=5x+6$ 的图象平行,所以 $a=5$。
又因为一次函数 $y=ax+b$ 的图象经过点$(-1,-3)$，所以$-3=5×(-1)+b$,解得 $b=2$,所以该一次函数的表达式为 $y=5x+2$。
又因为一次函数 $y=ax+b$ 的图象经过点$(-1,-3)$，所以$-3=5×(-1)+b$,解得 $b=2$,所以该一次函数的表达式为 $y=5x+2$。
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据两个一次函数图象平行的性质，两个一次函数平行时一次项系数相等，先求出参数a的值；第二步，使用待定系数法，将已知经过的点的坐标代入含a的函数表达式，求解得到常数项b的值，即可确定完整的一次函数表达式。
【解析】
解：
∵ 一次函数$y=ax+b$的图象与$y=5x+6$的图象平行，
∴ 两个函数的一次项系数相等，即$a=5$，此时函数可写为$y=5x+b$。
又
∵ 函数图象经过点$(-1,-3)$，将$x=-1$，$y=-3$代入$y=5x+b$可得：
$-3=5×(-1)+b$
计算得：$-3=-5+b$，解得$b=2$。
∴ 该一次函数的表达式为$y=5x+2$。
【答案】
$y=5x+2$
【知识点】
一次函数平行的性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于一次函数基础题型，主要考察一次函数平行的性质和待定系数法的应用，掌握核心性质和基础解题方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步，根据两个一次函数图象平行的性质，两个一次函数平行时一次项系数相等，先求出参数a的值；第二步，使用待定系数法，将已知经过的点的坐标代入含a的函数表达式，求解得到常数项b的值，即可确定完整的一次函数表达式。
【解析】
解：
∵ 一次函数$y=ax+b$的图象与$y=5x+6$的图象平行，
∴ 两个函数的一次项系数相等，即$a=5$，此时函数可写为$y=5x+b$。
又
∵ 函数图象经过点$(-1,-3)$，将$x=-1$，$y=-3$代入$y=5x+b$可得：
$-3=5×(-1)+b$
计算得：$-3=-5+b$，解得$b=2$。
∴ 该一次函数的表达式为$y=5x+2$。
【答案】
$y=5x+2$
【知识点】
一次函数平行的性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于一次函数基础题型，主要考察一次函数平行的性质和待定系数法的应用，掌握核心性质和基础解题方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
