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8. 如图 4-4-2,在平面直角坐标系中,直线与 x轴交于点$B(3,0)$,与 y 轴交于点$A(0,6)$。
(1)求直线 AB 对应的函数表达式。
(2)点$(5,-2)$和点$(1,4)$在直线 AB 上吗?请说明理由。
(3)点 C 是直线 AB 上的一个动点,如果$△ OBC$的面积为 3,求点 C 的坐标。
图 4-4-2
(1)求直线 AB 对应的函数表达式。
(2)点$(5,-2)$和点$(1,4)$在直线 AB 上吗?请说明理由。
(3)点 C 是直线 AB 上的一个动点,如果$△ OBC$的面积为 3,求点 C 的坐标。
图 4-4-2
答案
8. 解:(1)设直线 AB 对应的函数表达式为 $y=kx+b(k≠0)$,把$(0,6)$代入 $y=kx+b$,得 $b=6$,所以 $y=kx+6$，把$(3,0)$代入 $y=kx+6$,得 $3k+6=0$,解得 $k=-2$,所以直线 AB 对应的函数表达式为 $y=-2x+6$。
(2)将 $x=5$ 代入 $y=-2x+6$,解得 $y=-4,-4≠-2$，所以点$(5,-2)$不在直线 AB 上。
将 $x=1$ 代入 $y=-2x+6$,解得 $y=4$,所以点$(1,4)$在直线 AB 上。
(3)如答图4-4-1,有两种情况。
过点 C 作 $CD⊥x$ 轴,垂足为 D,连接 OC。
因为 $S_{△ OBC}=\frac{1}{2}×OB×CD=3,OB=3$，
所以 $CD=2$，
所以点 C 的纵坐标为 2 或−2。
所以将 $y=2$ 代入 $y=-2x+6$,解得 $x=2$；
将 $y=-2$ 代入 $y=-2x+6$,解得 $x=4$。
所以点 C 的坐标为$(2,2)$或$(4,-2)$。
解析
【分析】
(1) 求一次函数解析式可采用待定系数法：已知直线经过两个定点，设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标代入即可求解未知参数k、b，得到解析式。
(2) 判断点是否在直线上的核心逻辑是：若点的坐标满足直线解析式，则点在直线上。只需将点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标对比即可判断。
(3) 求解动点C的坐标时，先明确△OBC的底为OB，长度为3，结合面积可求出OB边上的高，即点C到x轴的距离，也就是点C纵坐标的绝对值；由于点C可能在x轴上方或下方，因此分两种情况将纵坐标代入解析式，即可求出对应横坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 设直线AB对应的函数表达式为 $y=kx+b(k≠0)$，
把$A(0,6)$代入 $y=kx+b$，得 $b=6$，所以 $y=kx+6$，
把$B(3,0)$代入 $y=kx+6$，得 $3k+6=0$，解得 $k=-2$，
因此直线AB对应的函数表达式为 $y=-2x+6$。
(2) 将 $x=5$ 代入 $y=-2x+6$，解得 $y=-4$，因为$-4≠-2$，所以点$(5,-2)$不在直线AB上。
将 $x=1$ 代入 $y=-2x+6$，解得 $y=4$，和点的纵坐标一致，所以点$(1,4)$在直线AB上。
(3) 分两种情况讨论：
过点C作 $CD⊥x$ 轴，垂足为D，连接OC。
因为 $S_{△ OBC}=\frac{1}{2}×OB×CD=3$，$OB=3$，
代入得$\frac{1}{2}×3×CD=3$，解得 $CD=2$，
所以点C的纵坐标为2或−2。
将 $y=2$ 代入 $y=-2x+6$，解得 $x=2$；
将 $y=-2$ 代入 $y=-2x+6$，解得 $x=4$。
因此点C的坐标为$(2,2)$或$(4,-2)$。
【答案】
(1) $y=-2x+6$
(2) 点$(5,-2)$不在直线AB上，点$(1,4)$在直线AB上；
(3) 点C的坐标为$(2,2)$或$(4,-2)$，辅助线示意图：
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，考查了一次函数的常规求解、点与直线位置关系的判断，以及结合几何面积求解动点坐标的能力，解题时要注意第三问需要分情况讨论点的位置，避免遗漏其中一种解。
【难度系数】
0.7
(1) 求一次函数解析式可采用待定系数法：已知直线经过两个定点，设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标代入即可求解未知参数k、b，得到解析式。
(2) 判断点是否在直线上的核心逻辑是：若点的坐标满足直线解析式，则点在直线上。只需将点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标对比即可判断。
(3) 求解动点C的坐标时，先明确△OBC的底为OB，长度为3，结合面积可求出OB边上的高，即点C到x轴的距离，也就是点C纵坐标的绝对值；由于点C可能在x轴上方或下方，因此分两种情况将纵坐标代入解析式，即可求出对应横坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 设直线AB对应的函数表达式为 $y=kx+b(k≠0)$，
把$A(0,6)$代入 $y=kx+b$，得 $b=6$，所以 $y=kx+6$，
把$B(3,0)$代入 $y=kx+6$，得 $3k+6=0$，解得 $k=-2$，
因此直线AB对应的函数表达式为 $y=-2x+6$。
(2) 将 $x=5$ 代入 $y=-2x+6$，解得 $y=-4$，因为$-4≠-2$，所以点$(5,-2)$不在直线AB上。
将 $x=1$ 代入 $y=-2x+6$，解得 $y=4$，和点的纵坐标一致，所以点$(1,4)$在直线AB上。
(3) 分两种情况讨论：
过点C作 $CD⊥x$ 轴，垂足为D，连接OC。
因为 $S_{△ OBC}=\frac{1}{2}×OB×CD=3$，$OB=3$，
代入得$\frac{1}{2}×3×CD=3$，解得 $CD=2$，
所以点C的纵坐标为2或−2。
将 $y=2$ 代入 $y=-2x+6$，解得 $x=2$；
将 $y=-2$ 代入 $y=-2x+6$，解得 $x=4$。
因此点C的坐标为$(2,2)$或$(4,-2)$。
【答案】
(1) $y=-2x+6$
(2) 点$(5,-2)$不在直线AB上，点$(1,4)$在直线AB上；
(3) 点C的坐标为$(2,2)$或$(4,-2)$，辅助线示意图：
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，考查了一次函数的常规求解、点与直线位置关系的判断，以及结合几何面积求解动点坐标的能力，解题时要注意第三问需要分情况讨论点的位置，避免遗漏其中一种解。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 在密码学中,可以直接看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码。有一种密码,将英文26个字母$a,b,c,\dots,z$(不论大小写)依次对应$1,2,3,\dots,26$,如表4-4-3。当明码对应的序号$x$为奇数时,密码对应的序号为$y=\frac{x+1}{2}$;当明码对应的序号$x$为偶数时,密码对应的序号为$y=\frac{x}{2}+13$。比如,明码“$sz$”译成密码是“$jz$”。那么,将明码“$love$”译成密码是
表4-4-3
9. 在密码学中,可以直接看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码。有一种密码,将英文26个字母$a,b,c,\dots,z$(不论大小写)依次对应$1,2,3,\dots,26$,如表4-4-3。当明码对应的序号$x$为奇数时,密码对应的序号为$y=\frac{x+1}{2}$;当明码对应的序号$x$为偶数时,密码对应的序号为$y=\frac{x}{2}+13$。比如,明码“$sz$”译成密码是“$jz$”。那么,将明码“$love$”译成密码是
shxc
。表4-4-3
答案
9. shxc
解析
【分析】
要将明码“love”译成密码，按以下思路解题：①先查找明码中每个字母对应的序号$x$；②判断$x$的奇偶性，选择对应公式计算密码序号$y$：$x$为奇数时用$y=\frac{x+1}{2}$，$x$为偶数时用$y=\frac{x}{2}+13$；③将得到的$y$对应回表格中的字母，组合后即为最终密码。
【解析】
逐个处理明码“love”的每个字母：
1. 字母$l$：对应序号$x=12$（偶数），代入公式得$y=\frac{12}{2}+13=19$，序号19对应字母$s$；
2. 字母$o$：对应序号$x=15$（奇数），代入公式得$y=\frac{15+1}{2}=8$，序号8对应字母$h$；
3. 字母$v$：对应序号$x=22$（偶数），代入公式得$y=\frac{22}{2}+13=24$，序号24对应字母$x$；
4. 字母$e$：对应序号$x=5$（奇数），代入公式得$y=\frac{5+1}{2}=3$，序号3对应字母$c$。
将所得字母组合，得到密码为shxc。
【答案】
shxc
【知识点】
分段函数应用，代数式求值
【点评】
本题结合密码翻译的趣味情境，考查对分段规则的理解和应用能力，解题核心是准确对应字母序号，根据奇偶性选择正确公式计算，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
要将明码“love”译成密码，按以下思路解题：①先查找明码中每个字母对应的序号$x$；②判断$x$的奇偶性，选择对应公式计算密码序号$y$：$x$为奇数时用$y=\frac{x+1}{2}$，$x$为偶数时用$y=\frac{x}{2}+13$；③将得到的$y$对应回表格中的字母，组合后即为最终密码。
【解析】
逐个处理明码“love”的每个字母：
1. 字母$l$：对应序号$x=12$（偶数），代入公式得$y=\frac{12}{2}+13=19$，序号19对应字母$s$；
2. 字母$o$：对应序号$x=15$（奇数），代入公式得$y=\frac{15+1}{2}=8$，序号8对应字母$h$；
3. 字母$v$：对应序号$x=22$（偶数），代入公式得$y=\frac{22}{2}+13=24$，序号24对应字母$x$；
4. 字母$e$：对应序号$x=5$（奇数），代入公式得$y=\frac{5+1}{2}=3$，序号3对应字母$c$。
将所得字母组合，得到密码为shxc。
【答案】
shxc
【知识点】
分段函数应用，代数式求值
【点评】
本题结合密码翻译的趣味情境，考查对分段规则的理解和应用能力，解题核心是准确对应字母序号，根据奇偶性选择正确公式计算，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
10. 小明在学习一次函数后，对形如 $y=k(x-m)+n$（其中 $k,m,n$ 为常数，且 $k≠0$）的一次函数的图象和性质进行了探究，过程如下：
如图4-4-3所示，小明分别画出了函数 $y=(x-1)+2$，$y=-(x-1)+2$，$y=2(x-1)+2$ 的图象。
图4-4-3
(1)【深入探究】通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现 $y=k(x-1)+2$（$k$ 为常数，且 $k≠0$）的图象一定会经过的点的坐标是
(2)【得到性质】函数 $y=k(x-m)+n$（其中 $k,m,n$ 为常数，且 $k≠0$）的图象一定会经过的点的坐标是
(3)【实践运用】已知一次函数 $y=kx-3+2k$（$k$ 为常数，且 $k≠0$）的图象一定过点 $N$，且与 $y$ 轴相交于点 $A$，若 $△ OAN$ 的面积为5，求 $k$ 的值。
如图4-4-3所示，小明分别画出了函数 $y=(x-1)+2$，$y=-(x-1)+2$，$y=2(x-1)+2$ 的图象。
图4-4-3
(1)【深入探究】通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现 $y=k(x-1)+2$（$k$ 为常数，且 $k≠0$）的图象一定会经过的点的坐标是
$(1,2)$
。(2)【得到性质】函数 $y=k(x-m)+n$（其中 $k,m,n$ 为常数，且 $k≠0$）的图象一定会经过的点的坐标是
$(m,n)$
。(3)【实践运用】已知一次函数 $y=kx-3+2k$（$k$ 为常数，且 $k≠0$）的图象一定过点 $N$，且与 $y$ 轴相交于点 $A$，若 $△ OAN$ 的面积为5，求 $k$ 的值。
答案
10. (1) $(1,2)$
(2) $(m,n)$
(3)解:因为一次函数 $y=kx-3+2k=k(x+2)-3(k$ 为常数,且 $k≠0)$的图象一定过点 $N$,且与 $y$ 轴相交于点 $A$，所以 $N(-2,-3),A(0,2k-3)$,所以 $OA=|2k-3|$。
因为$△ OAN$ 的面积为 5,所以 $\frac{1}{2}×|2k-3|×2=5$,所以 $k=4$ 或 $k=-1$。
(2) $(m,n)$
(3)解:因为一次函数 $y=kx-3+2k=k(x+2)-3(k$ 为常数,且 $k≠0)$的图象一定过点 $N$,且与 $y$ 轴相交于点 $A$，所以 $N(-2,-3),A(0,2k-3)$,所以 $OA=|2k-3|$。
因为$△ OAN$ 的面积为 5,所以 $\frac{1}{2}×|2k-3|×2=5$,所以 $k=4$ 或 $k=-1$。
解析
【分析】
(1) 求$y=k(x-1)+2$恒过的定点，即找与$k$取值无关的点：令含$k$的项系数为0，即$x-1=0$，得$x=1$，代入解析式即可求出对应的$y$值，得到定点坐标。
(2) 推广到一般形式$y=k(x-m)+n$，同理令$x-m=0$消去参数$k$，得$x=m$，代入求出$y$值即可得到通用的定点坐标。
(3) 先把$y=kx-3+2k$变形为$y=k(x+2)-3$的形式，参照(2)的结论得到定点$N$的坐标；再令$x=0$求出函数与$y$轴交点$A$的坐标；$△ OAN$中$OA$为$A$点纵坐标的绝对值，$OA$边上的高为$N$点横坐标的绝对值，根据面积公式列含绝对值的方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
(1) 对于$y=k(x-1)+2$，当$x=1$时，$y=k×0+2=2$，和$k$的取值无关，因此图象一定经过点$(1,2)$。
(2) 对于$y=k(x-m)+n$，当$x=m$时，$y=k×0+n=n$，和$k$的取值无关，因此图象一定经过点$(m,n)$。
(3) 把一次函数解析式变形：$y=kx-3+2k=k(x+2)-3$，根据(2)的结论可得定点$N$的坐标为$(-2,-3)$。
令$x=0$，代入解析式得$y=2k-3$，因此$y$轴交点$A$的坐标为$(0,2k-3)$，即$OA=|2k-3|$。
点$N$到$y$轴的距离为$|-2|=2$，也就是$△ OAN$中$OA$边上的高为2，由面积为5可得：
$\frac{1}{2}×|2k-3|×2=5$，即$|2k-3|=5$。
当$2k-3=5$时，解得$k=4$；当$2k-3=-5$时，解得$k=-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,2)}$
(2) $\boldsymbol{(m,n)}$
(3) $\boldsymbol{k=4}$或$\boldsymbol{k=-1}$
【知识点】
1. 一次函数定点特征
2. 一次函数与坐标轴交点
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数规律探究类题目，从特殊函数归纳通用结论，再运用结论解决面积相关问题，解题核心是掌握消去参数找定点的方法，同时注意坐标转换为线段长度时要加绝对值，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
(1) 求$y=k(x-1)+2$恒过的定点，即找与$k$取值无关的点：令含$k$的项系数为0，即$x-1=0$，得$x=1$，代入解析式即可求出对应的$y$值，得到定点坐标。
(2) 推广到一般形式$y=k(x-m)+n$，同理令$x-m=0$消去参数$k$，得$x=m$，代入求出$y$值即可得到通用的定点坐标。
(3) 先把$y=kx-3+2k$变形为$y=k(x+2)-3$的形式，参照(2)的结论得到定点$N$的坐标；再令$x=0$求出函数与$y$轴交点$A$的坐标；$△ OAN$中$OA$为$A$点纵坐标的绝对值，$OA$边上的高为$N$点横坐标的绝对值，根据面积公式列含绝对值的方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
(1) 对于$y=k(x-1)+2$，当$x=1$时，$y=k×0+2=2$，和$k$的取值无关，因此图象一定经过点$(1,2)$。
(2) 对于$y=k(x-m)+n$，当$x=m$时，$y=k×0+n=n$，和$k$的取值无关，因此图象一定经过点$(m,n)$。
(3) 把一次函数解析式变形：$y=kx-3+2k=k(x+2)-3$，根据(2)的结论可得定点$N$的坐标为$(-2,-3)$。
令$x=0$，代入解析式得$y=2k-3$，因此$y$轴交点$A$的坐标为$(0,2k-3)$，即$OA=|2k-3|$。
点$N$到$y$轴的距离为$|-2|=2$，也就是$△ OAN$中$OA$边上的高为2，由面积为5可得：
$\frac{1}{2}×|2k-3|×2=5$，即$|2k-3|=5$。
当$2k-3=5$时，解得$k=4$；当$2k-3=-5$时，解得$k=-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,2)}$
(2) $\boldsymbol{(m,n)}$
(3) $\boldsymbol{k=4}$或$\boldsymbol{k=-1}$
【知识点】
1. 一次函数定点特征
2. 一次函数与坐标轴交点
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数规律探究类题目，从特殊函数归纳通用结论，再运用结论解决面积相关问题，解题核心是掌握消去参数找定点的方法，同时注意坐标转换为线段长度时要加绝对值，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
