登录
8. 已知一次函数 $ y=-2x+4 $ 的图象分别与x轴、y轴交于点A，B。
(1)请直接写出A，B两点的坐标。
(2)在如图4-3-8的平面直角坐标系中画出函数图象(不用列表，直接描点、连线)。
(3)点P是一次函数 $ y=-2x+4 $ 的图象上一动点，则OP的最小值为
图4-3-8
(1)请直接写出A，B两点的坐标。
(2)在如图4-3-8的平面直角坐标系中画出函数图象(不用列表，直接描点、连线)。
(3)点P是一次函数 $ y=-2x+4 $ 的图象上一动点，则OP的最小值为
$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
。图4-3-8
答案
8. (1)解:A,B两点的坐标分别为$(2,0),(0,4)$。
(2)解:由(1)得A,B两点的坐标分别为$(2,0),(0,4)$,所以函数图象如
所示。(3) $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
(1) 求一次函数与坐标轴交点的坐标：与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，分别代入函数解析式即可求解对应坐标。
(2) 一次函数的图像是直线，两点确定一条直线，只需描出(1)中得到的A、B两点，连接两点即可得到函数图像。
(3) 直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，因此OP的最小值是原点O到直线AB的垂线段长度。可先通过勾股定理算出AB的长度，再结合△AOB的面积用等积法求出垂线段的长度，即为OP的最小值。
【解析】
(1) 求点A坐标：点A在x轴上，纵坐标为0，将$y=0$代入$y=-2x+4$，得：
$0=-2x+4$，解得$x=2$，故A点坐标为$(2,0)$。
求点B坐标：点B在y轴上，横坐标为0，将$x=0$代入$y=-2x+4$，得：
$y=4$，故B点坐标为$(0,4)$。
(2) 在平面直角坐标系中描出A$(2,0)$、B$(0,4)$两个点，过两点画直线，即为$y=-2x+4$的函数图像，如所示。
(3) 由A$(2,0)$、B$(0,4)$可知$OA=2$，$OB=4$，△AOB为直角三角形：
① 由勾股定理算AB长度：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
② 计算△AOB的面积：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×4=4$。
③ 设OP的最小值为$h$（即O到AB的垂线段长），此时$S_{△ AOB}$也可表示为$\frac{1}{2}× AB× h$，代入得：
$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}× h=4$，解得$h=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，即OP的最小值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) A，B两点的坐标分别为$(2,0),(0,4)$。
(2) 由(1)得A,B两点的坐标分别为$(2,0),(0,4)$,所以函数图象如所示。
(3) $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
一次函数的图象与性质、勾股定理、垂线段最短
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，覆盖了一次函数与坐标轴交点求解、函数图象绘制、最短距离计算三个考点，既考察基本运算能力，也考察数形结合的思维能力，是一次函数章节的经典题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求一次函数与坐标轴交点的坐标：与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，分别代入函数解析式即可求解对应坐标。
(2) 一次函数的图像是直线，两点确定一条直线，只需描出(1)中得到的A、B两点，连接两点即可得到函数图像。
(3) 直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，因此OP的最小值是原点O到直线AB的垂线段长度。可先通过勾股定理算出AB的长度，再结合△AOB的面积用等积法求出垂线段的长度，即为OP的最小值。
【解析】
(1) 求点A坐标：点A在x轴上，纵坐标为0，将$y=0$代入$y=-2x+4$，得：
$0=-2x+4$，解得$x=2$，故A点坐标为$(2,0)$。
求点B坐标：点B在y轴上，横坐标为0，将$x=0$代入$y=-2x+4$，得：
$y=4$，故B点坐标为$(0,4)$。
(2) 在平面直角坐标系中描出A$(2,0)$、B$(0,4)$两个点，过两点画直线，即为$y=-2x+4$的函数图像，如
所示。(3) 由A$(2,0)$、B$(0,4)$可知$OA=2$，$OB=4$，△AOB为直角三角形：
① 由勾股定理算AB长度：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
② 计算△AOB的面积：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×4=4$。
③ 设OP的最小值为$h$（即O到AB的垂线段长），此时$S_{△ AOB}$也可表示为$\frac{1}{2}× AB× h$，代入得：
$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}× h=4$，解得$h=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，即OP的最小值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) A，B两点的坐标分别为$(2,0),(0,4)$。
(2) 由(1)得A,B两点的坐标分别为$(2,0),(0,4)$,所以函数图象如
所示。(3) $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
一次函数的图象与性质、勾股定理、垂线段最短
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，覆盖了一次函数与坐标轴交点求解、函数图象绘制、最短距离计算三个考点，既考察基本运算能力，也考察数形结合的思维能力，是一次函数章节的经典题型。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9.(1)小明发现，一次函数 $y=kx+b$ 的图象可以看作是正比例函数 $y=kx$ 的图象向上或向下平移$|b|$个单位长度得到的。例如，将正比例函数 $y=3x$ 的图象向上平移2个单位长度后得到一次函数 $y=3x+2$ 的图象，则将正比例函数 $y=3x$ 的图象向下平移3个单位长度后可得到一次函数
(2)对于左右平移，小明发现上述方法不再适用，为了解决这个问题，他先在原函数上取一点，结合平移情况得到平移后的点，这样就能得到平移后的函数表达式了。根据小明的方法，将函数 $y=3x$ 的图象向右平移3个单位长度后得到的图象所对应新函数的表达式为
9.(1)小明发现，一次函数 $y=kx+b$ 的图象可以看作是正比例函数 $y=kx$ 的图象向上或向下平移$|b|$个单位长度得到的。例如，将正比例函数 $y=3x$ 的图象向上平移2个单位长度后得到一次函数 $y=3x+2$ 的图象，则将正比例函数 $y=3x$ 的图象向下平移3个单位长度后可得到一次函数
$y=3x-3$
的图象。(2)对于左右平移，小明发现上述方法不再适用，为了解决这个问题，他先在原函数上取一点，结合平移情况得到平移后的点，这样就能得到平移后的函数表达式了。根据小明的方法，将函数 $y=3x$ 的图象向右平移3个单位长度后得到的图象所对应新函数的表达式为
$y=3x-9$
。答案
9.(1) $y=3x-3$ (2) $y=3x-9$
解析
【分析】
(1) 第一问考查一次函数上下平移规律，一次函数上下平移时遵循“上加下减”的规则：向上平移就给常数项加平移单位长度，向下平移就给常数项减平移单位长度。正比例函数$y=3x$的常数项为0，向下平移3个单位时，直接用0减去3即可得到新函数的常数项。
(2) 第二问考查一次函数左右平移，按照题目给出的方法，先在原函数上取两个方便计算的点，根据点平移“右移横坐标加、纵坐标不变”的规则得到平移后的点坐标，再结合一次函数平移后k值不变的性质，用待定系数法即可求出新函数表达式。
【解析】
(1) 正比例函数上下平移遵循“上加下减”的规律，将$y=3x$的图象向下平移3个单位长度，直接在原表达式基础上减去3，可得新的一次函数表达式为$y=3x-3$。
(2) ①在原函数$y=3x$上取两个易计算的点：当$x=0$时，$y=0$，即点$(0,0)$；当$x=1$时，$y=3$，即点$(1,3)$。
②将两个点向右平移3个单位长度，横坐标加3，纵坐标不变，得到平移后的点为$(3,0)$、$(4,3)$。
③一次函数平移后斜率$k$不变，仍为3，设平移后的新函数表达式为$y=3x+b$。
④将点$(3,0)$代入表达式得：$0=3×3 + b$，解得$b=-9$，因此新函数表达式为$y=3x-9$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=3x-3}$；(2) $\boldsymbol{y=3x-9}$
【知识点】
一次函数平移规律、点的坐标平移、待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数平移的基础拓展题，既考查了简单的上下平移规律，又通过找点平移的方法引导学生理解平移的本质，避免死记硬背口诀，能有效巩固一次函数的核心性质。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问考查一次函数上下平移规律，一次函数上下平移时遵循“上加下减”的规则：向上平移就给常数项加平移单位长度，向下平移就给常数项减平移单位长度。正比例函数$y=3x$的常数项为0，向下平移3个单位时，直接用0减去3即可得到新函数的常数项。
(2) 第二问考查一次函数左右平移，按照题目给出的方法，先在原函数上取两个方便计算的点，根据点平移“右移横坐标加、纵坐标不变”的规则得到平移后的点坐标，再结合一次函数平移后k值不变的性质，用待定系数法即可求出新函数表达式。
【解析】
(1) 正比例函数上下平移遵循“上加下减”的规律，将$y=3x$的图象向下平移3个单位长度，直接在原表达式基础上减去3，可得新的一次函数表达式为$y=3x-3$。
(2) ①在原函数$y=3x$上取两个易计算的点：当$x=0$时，$y=0$，即点$(0,0)$；当$x=1$时，$y=3$，即点$(1,3)$。
②将两个点向右平移3个单位长度，横坐标加3，纵坐标不变，得到平移后的点为$(3,0)$、$(4,3)$。
③一次函数平移后斜率$k$不变，仍为3，设平移后的新函数表达式为$y=3x+b$。
④将点$(3,0)$代入表达式得：$0=3×3 + b$，解得$b=-9$，因此新函数表达式为$y=3x-9$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=3x-3}$；(2) $\boldsymbol{y=3x-9}$
【知识点】
一次函数平移规律、点的坐标平移、待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数平移的基础拓展题，既考查了简单的上下平移规律，又通过找点平移的方法引导学生理解平移的本质，避免死记硬背口诀，能有效巩固一次函数的核心性质。
【难度系数】
0.8
10. 我们常通过描点、平移或翻折的方法画函数图象。小明同学根据学到的函数知识探究函数 $ y = |ax + 4| - b $ 的图象与性质并利用图象解决问题。小明同学列出了如表4-3-2所示的y与x的几组对应值：
表4-3-2
(1)由表可知 $ a = $
(2)在平面直角坐标系中,画出该函数图象,并根据函数图象,写出该函数的两条性质。
(3)函数y的图象与直线 $ y = 1 $ 有
图4-3-9
表4-3-2
(1)由表可知 $ a = $
2
, $ b = $ 3
;(2)在平面直角坐标系中,画出该函数图象,并根据函数图象,写出该函数的两条性质。
(3)函数y的图象与直线 $ y = 1 $ 有
两
个交点,则方程 $ |ax + 4| - b = 1 $ 的解为 $x=-4或x=0$
。图4-3-9
答案
10.(1) 2 3
(2)解:描点、连线画出图象如
。性质:①$y$的最小值为$-3$;②当$x＞-2$时,$y$的值随$x$值的增大而增大。(答案不唯一)
(3)两 $x=-4$或$x=0$
解析
【分析】
(1) 绝对值函数$y=|ax+4|-b$的顶点处，绝对值内的式子值为0，函数取得最小值$-b$。结合给出的图象可知顶点坐标为$(-2,-3)$，代入相关式子即可求出$a$、$b$的值。
(2) 画函数图象遵循描点、连线的步骤，观察图象的最值、增减性、对称性等特征，即可总结函数的性质。
(3) 观察图象可直接得到函数与$y=1$的交点个数；解方程$|ax+4|-b=1$，就是求$y=1$时对应的$x$的值，可利用绝对值的性质求解，也可直接读取交点的横坐标。
【解析】
(1) 由图象可知函数$y=|ax+4|-b$的顶点坐标为$(-2,-3)$。
顶点处函数取最小值，因此最小值$-b=-3$，解得$b=3$；
将顶点横坐标$x=-2$代入$ax+4=0$，得$-2a+4=0$，解得$a=2$。
(2) 先根据对应值表在坐标系中描点，再用平滑的线依次连接各点，得到图象如。
观察图象可总结性质：①函数的最小值为$-3$；②当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小（任选两条即可，答案不唯一）。
(3) 观察图象可知，函数$y=|2x+4|-3$与直线$y=1$有2个交点。
解方程$|2x+4|-3=1$：
移项得$|2x+4|=4$，
则$2x+4=4$或$2x+4=-4$，
分别解得$x=0$或$x=-4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{3}$
(2) 描点、连线画出图象如。
性质：①$y$的最小值为$-3$；②当$x＞-2$时，$y$的值随$x$值的增大而增大。（答案不唯一）
(3) $\boldsymbol{两}$；$\boldsymbol{x=-4或x=0}$
【知识点】
绝对值函数的性质；解绝对值方程；函数图象画法
【点评】
本题结合数形结合思想考查绝对值函数的相关知识，解题的关键是掌握绝对值函数的顶点特征，能通过图象分析函数性质、求解对应方程的解。
【难度系数】
0.7
(1) 绝对值函数$y=|ax+4|-b$的顶点处，绝对值内的式子值为0，函数取得最小值$-b$。结合给出的图象可知顶点坐标为$(-2,-3)$，代入相关式子即可求出$a$、$b$的值。
(2) 画函数图象遵循描点、连线的步骤，观察图象的最值、增减性、对称性等特征，即可总结函数的性质。
(3) 观察图象可直接得到函数与$y=1$的交点个数；解方程$|ax+4|-b=1$，就是求$y=1$时对应的$x$的值，可利用绝对值的性质求解，也可直接读取交点的横坐标。
【解析】
(1) 由图象可知函数$y=|ax+4|-b$的顶点坐标为$(-2,-3)$。
顶点处函数取最小值，因此最小值$-b=-3$，解得$b=3$；
将顶点横坐标$x=-2$代入$ax+4=0$，得$-2a+4=0$，解得$a=2$。
(2) 先根据对应值表在坐标系中描点，再用平滑的线依次连接各点，得到图象如
。观察图象可总结性质：①函数的最小值为$-3$；②当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小（任选两条即可，答案不唯一）。
(3) 观察图象可知，函数$y=|2x+4|-3$与直线$y=1$有2个交点。
解方程$|2x+4|-3=1$：
移项得$|2x+4|=4$，
则$2x+4=4$或$2x+4=-4$，
分别解得$x=0$或$x=-4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{3}$
(2) 描点、连线画出图象如
。性质：①$y$的最小值为$-3$；②当$x＞-2$时，$y$的值随$x$值的增大而增大。（答案不唯一）
(3) $\boldsymbol{两}$；$\boldsymbol{x=-4或x=0}$
【知识点】
绝对值函数的性质；解绝对值方程；函数图象画法
【点评】
本题结合数形结合思想考查绝对值函数的相关知识，解题的关键是掌握绝对值函数的顶点特征，能通过图象分析函数性质、求解对应方程的解。
【难度系数】
0.7
