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15. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$. 若动点$P$从点$C$开始，按$C \to A \to B$的路径运动，且速度为$1\ \mathrm{cm/s}$. 设点$P$出发的时间为$t(\mathrm{s})$.
(1)若$△ BCP$为直角三角形，则$t$的值为
(2)若$△ BCP$为等腰三角形，则$t$的值为
(1)若$△ BCP$为直角三角形，则$t$的值为
$\frac{36}{5}$或$0＜t≤4$
.(2)若$△ BCP$为等腰三角形，则$t$的值为
3或5.4或6或$\frac{13}{2}$
.答案
15. (1) $\frac{36}{5}$ 或 $0＜t≤4$
(2) 3 或 5.4 或 6 或 $\frac{13}{2}$
(2) 3 或 5.4 或 6 或 $\frac{13}{2}$
解析
【分析】
首先利用勾股定理求出AC的长度为4cm，再根据动点P的运动路径$C \to A \to B$，分P在AC上、P在AB上两类情况讨论：(1)若$△ BCP$为直角三角形，先判断P在AC上时天然满足$∠ C$为直角，再讨论P在AB上时$∠ CPB$为直角的情况，利用面积法或勾股定理计算对应路程即可得到t；(2)若$△ BCP$为等腰三角形，分P在AC上（$CP=BC$）和P在AB上（$BC=BP$、$BC=CP$、$BP=CP$）共四类子情况，分别计算P运动的路程，结合速度为1cm/s得到t的值，注意不要漏解。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5\mathrm{cm}$，$BC=3\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\mathrm{cm}$
点P运动速度为1cm/s，因此P在AC上的运动时间为0~4s，在AB上的运动时间为4~9s。
(1)求$△ BCP$为直角三角形时的t值
① 当P在AC上时，$∠ PCB=90°$，$△ BCP$恒为直角三角形，此时$0＜t≤4$；
② 当P在AB上时，仅当$∠ CPB=90°$时$△ BCP$为直角三角形，此时CP为AB边上的高。
由$△ ABC$面积公式$\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CP$，代入数值得$CP=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}\mathrm{cm}$。
在$Rt△ BCP$中，$BP=\sqrt{BC^2-CP^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}\mathrm{cm}$，
此时P运动的总路程为$AC+(AB-BP)=4+(5-\frac{9}{5})=\frac{36}{5}\mathrm{cm}$，故$t=\frac{36}{5}\mathrm{s}$。
(2)求$△ BCP$为等腰三角形时的t值
分四类情况讨论：
① 当P在AC上，且$CP=BC=3\mathrm{cm}$时，$t=\frac{CP}{1}=3\mathrm{s}$；
② 当P在AB上，且$BC=BP=3\mathrm{cm}$时，P运动路程为$AC+(AB-BP)=4+(5-3)=6\mathrm{cm}$，故$t=6\mathrm{s}$；
③ 当P在AB上，且$BC=CP=3\mathrm{cm}$时，过C作$CD⊥AB$于D，由(1)知$BD=\frac{9}{5}\mathrm{cm}$，等腰$△ BCP$中$BP=2BD=\frac{18}{5}=3.6\mathrm{cm}$，P运动路程为$AC+(AB-BP)=4+5-3.6=5.4\mathrm{cm}$，故$t=5.4\mathrm{s}$；
④ 当P在AB上，且$BP=CP$时，P为AB中点（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），此时$AP=\frac{1}{2}AB=2.5\mathrm{cm}$，P运动路程为$4+2.5=\frac{13}{2}\mathrm{cm}$，故$t=\frac{13}{2}\mathrm{s}$。
【答案】
(1) $\frac{36}{5}$ 或 $0＜t≤4$
(2) 3 或 5.4 或 6 或 $\frac{13}{2}$
【知识点】
勾股定理，动点分类讨论，特殊三角形性质
【点评】
本题是典型的几何动点问题，解题核心是根据动点的位置分情况讨论，结合等腰、直角三角形的性质建立等量关系计算，易错点是遗漏不同运动阶段的特殊情况，解题时要逐一梳理所有可能的情况。
【难度系数】
0.65
首先利用勾股定理求出AC的长度为4cm，再根据动点P的运动路径$C \to A \to B$，分P在AC上、P在AB上两类情况讨论：(1)若$△ BCP$为直角三角形，先判断P在AC上时天然满足$∠ C$为直角，再讨论P在AB上时$∠ CPB$为直角的情况，利用面积法或勾股定理计算对应路程即可得到t；(2)若$△ BCP$为等腰三角形，分P在AC上（$CP=BC$）和P在AB上（$BC=BP$、$BC=CP$、$BP=CP$）共四类子情况，分别计算P运动的路程，结合速度为1cm/s得到t的值，注意不要漏解。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5\mathrm{cm}$，$BC=3\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\mathrm{cm}$
点P运动速度为1cm/s，因此P在AC上的运动时间为0~4s，在AB上的运动时间为4~9s。
(1)求$△ BCP$为直角三角形时的t值
① 当P在AC上时，$∠ PCB=90°$，$△ BCP$恒为直角三角形，此时$0＜t≤4$；
② 当P在AB上时，仅当$∠ CPB=90°$时$△ BCP$为直角三角形，此时CP为AB边上的高。
由$△ ABC$面积公式$\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CP$，代入数值得$CP=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}\mathrm{cm}$。
在$Rt△ BCP$中，$BP=\sqrt{BC^2-CP^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}\mathrm{cm}$，
此时P运动的总路程为$AC+(AB-BP)=4+(5-\frac{9}{5})=\frac{36}{5}\mathrm{cm}$，故$t=\frac{36}{5}\mathrm{s}$。
(2)求$△ BCP$为等腰三角形时的t值
分四类情况讨论：
① 当P在AC上，且$CP=BC=3\mathrm{cm}$时，$t=\frac{CP}{1}=3\mathrm{s}$；
② 当P在AB上，且$BC=BP=3\mathrm{cm}$时，P运动路程为$AC+(AB-BP)=4+(5-3)=6\mathrm{cm}$，故$t=6\mathrm{s}$；
③ 当P在AB上，且$BC=CP=3\mathrm{cm}$时，过C作$CD⊥AB$于D，由(1)知$BD=\frac{9}{5}\mathrm{cm}$，等腰$△ BCP$中$BP=2BD=\frac{18}{5}=3.6\mathrm{cm}$，P运动路程为$AC+(AB-BP)=4+5-3.6=5.4\mathrm{cm}$，故$t=5.4\mathrm{s}$；
④ 当P在AB上，且$BP=CP$时，P为AB中点（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），此时$AP=\frac{1}{2}AB=2.5\mathrm{cm}$，P运动路程为$4+2.5=\frac{13}{2}\mathrm{cm}$，故$t=\frac{13}{2}\mathrm{s}$。
【答案】
(1) $\frac{36}{5}$ 或 $0＜t≤4$
(2) 3 或 5.4 或 6 或 $\frac{13}{2}$
【知识点】
勾股定理，动点分类讨论，特殊三角形性质
【点评】
本题是典型的几何动点问题，解题核心是根据动点的位置分情况讨论，结合等腰、直角三角形的性质建立等量关系计算，易错点是遗漏不同运动阶段的特殊情况，解题时要逐一梳理所有可能的情况。
【难度系数】
0.65
三、解答题(本大题共6个小题，共60分)
16. (本小题满分8分)
(1)计算：
①$\sqrt{2}+\sqrt{8}-\sqrt{18}$；
②$2\sqrt{48}×\sqrt{\frac{1}{3}}÷\sqrt{3}$。
(2)解分式方程：$\frac{1-x}{2-x}=\frac{1}{x-2}+3$。
16. (本小题满分8分)
(1)计算：
①$\sqrt{2}+\sqrt{8}-\sqrt{18}$；
②$2\sqrt{48}×\sqrt{\frac{1}{3}}÷\sqrt{3}$。
(2)解分式方程：$\frac{1-x}{2-x}=\frac{1}{x-2}+3$。
答案
16. 解：(1)①$\sqrt{2}+\sqrt{8}-\sqrt{18}$
$=\sqrt{2}+2\sqrt{2}-3\sqrt{2}$
$=0.$
②$2\sqrt{48}×\sqrt{\frac{1}{3}}÷\sqrt{3}$
$=2×4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}$
$=2×4×\frac{1}{\sqrt{3}}$
$=\frac{8}{\sqrt{3}}$
$=\frac{8\sqrt{3}}{3}.$
(2)方程两边同乘$x-2$，得
$-(1-x)=1+3(x-2),$
$-1+x=1+3x-6,$
$x-3x=1-6+1,$
$-2x=-4,$
$x=2.$
将$x=2$代入$x-2$，得$2-2=0.$
因此，原分式方程无解.
$=\sqrt{2}+2\sqrt{2}-3\sqrt{2}$
$=0.$
②$2\sqrt{48}×\sqrt{\frac{1}{3}}÷\sqrt{3}$
$=2×4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}$
$=2×4×\frac{1}{\sqrt{3}}$
$=\frac{8}{\sqrt{3}}$
$=\frac{8\sqrt{3}}{3}.$
(2)方程两边同乘$x-2$，得
$-(1-x)=1+3(x-2),$
$-1+x=1+3x-6,$
$x-3x=1-6+1,$
$-2x=-4,$
$x=2.$
将$x=2$代入$x-2$，得$2-2=0.$
因此，原分式方程无解.
解析
【分析】
（1）二次根式加减运算时，先把所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可：①中先化简√8、√18为最简二次根式，再和√2合并计算。二次根式乘除运算时，系数和被开方数分别按乘除法则计算，最后把结果化为最简二次根式：②中先化简√48，再按从左到右的顺序计算，最后做分母有理化得到最简结果。
（2）解分式方程的核心是先去分母转化为整式方程求解，最后必须代入最简公分母检验：本题中2-x和x-2互为相反数，最简公分母为x-2，两边同乘x-2消去分母得到整式方程，解出x后代入公分母，若公分母为0则x是增根，原方程无解。
【解析】
(1)①$\sqrt{2}+\sqrt{8}-\sqrt{18}$
$=\sqrt{2}+2\sqrt{2}-3\sqrt{2}$
$=0$
②$2\sqrt{48}×\sqrt{\frac{1}{3}}÷\sqrt{3}$
$=2×4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}$
$=2×4×\frac{1}{\sqrt{3}}$
$=\frac{8}{\sqrt{3}}$
$=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
(2)方程两边同乘$x-2$，得
$-(1-x)=1+3(x-2)$
$-1+x=1+3x-6$
$x-3x=1-6+1$
$-2x=-4$
$x=2$
将$x=2$代入$x-2$，得$2-2=0$，即$x=2$是原方程的增根。
因此，原分式方程无解。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{0}$；②$\boldsymbol{\frac{8\sqrt{3}}{3}}$
(2)$\boldsymbol{原分式方程无解}$
【知识点】
二次根式的运算，分式方程的解法，增根的检验
【点评】
本题属于基础运算类题目，是常见易错题。二次根式运算要注意结果必须化为最简形式，分式方程求解后一定要检验增根，避免误把增根当成方程的解。
【难度系数】
0.7
（1）二次根式加减运算时，先把所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可：①中先化简√8、√18为最简二次根式，再和√2合并计算。二次根式乘除运算时，系数和被开方数分别按乘除法则计算，最后把结果化为最简二次根式：②中先化简√48，再按从左到右的顺序计算，最后做分母有理化得到最简结果。
（2）解分式方程的核心是先去分母转化为整式方程求解，最后必须代入最简公分母检验：本题中2-x和x-2互为相反数，最简公分母为x-2，两边同乘x-2消去分母得到整式方程，解出x后代入公分母，若公分母为0则x是增根，原方程无解。
【解析】
(1)①$\sqrt{2}+\sqrt{8}-\sqrt{18}$
$=\sqrt{2}+2\sqrt{2}-3\sqrt{2}$
$=0$
②$2\sqrt{48}×\sqrt{\frac{1}{3}}÷\sqrt{3}$
$=2×4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}$
$=2×4×\frac{1}{\sqrt{3}}$
$=\frac{8}{\sqrt{3}}$
$=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
(2)方程两边同乘$x-2$，得
$-(1-x)=1+3(x-2)$
$-1+x=1+3x-6$
$x-3x=1-6+1$
$-2x=-4$
$x=2$
将$x=2$代入$x-2$，得$2-2=0$，即$x=2$是原方程的增根。
因此，原分式方程无解。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{0}$；②$\boldsymbol{\frac{8\sqrt{3}}{3}}$
(2)$\boldsymbol{原分式方程无解}$
【知识点】
二次根式的运算，分式方程的解法，增根的检验
【点评】
本题属于基础运算类题目，是常见易错题。二次根式运算要注意结果必须化为最简形式，分式方程求解后一定要检验增根，避免误把增根当成方程的解。
【难度系数】
0.7
