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8. 在△ABC中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断AB与AC大小关系的是（
）
）答案
D
解析
【分析】
要判断作图能否确定AB与AC的大小关系，首先需要识别每个选项的尺规作图类型，再结合对应几何性质推导AB和AC的大小：
1. 先回忆常见尺规作图的痕迹特征：以某点为圆心定长为半径画弧是截取等长线段，上下各有交点的直线是线段垂直平分线，从角顶点出发的射线是角平分线。
2. 逐个推导：截取等长线段时，可通过点与弧的位置关系判断线段和半径的大小；垂直平分线可利用“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”转化线段；角平分线仅能得到角相等的结论，若无其他条件无法直接推导线段长度关系。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：作图是以点B为圆心、AB长为半径画弧，弧与AC边相交。若AB≥AC，该弧只会与AC的延长线相交或仅与点A重合，因此可推出AB＜AC，能判断大小。
选项B：作图是以点A为圆心、AB长为半径画弧，点C落在弧的内侧，说明AC的长度小于半径AB，因此可推出AB＞AC，能判断大小。
选项C：作图是BC边的垂直平分线，设垂直平分线与AC交于点P。根据线段垂直平分线的性质，PB=PC。在△ABP中，由三角形两边之和大于第三边得AB＜AP+PB=AP+PC=AC，可推出AB＜AC，能判断大小。
选项D：作图是角平分线，仅能得到对应角相等的结论，没有可推导AB、AC长度关系的条件，无法判断AB与AC的大小。
综上，符合要求的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
尺规作图识别；线段垂直平分线性质；三角形三边关系
【点评】
本题将尺规作图与三角形性质结合考查，解题关键是准确识别常见尺规作图的痕迹，再结合对应性质推导线段的大小关系，容易因作图类型识别错误导致判断失误。
【难度系数】
0.6
要判断作图能否确定AB与AC的大小关系，首先需要识别每个选项的尺规作图类型，再结合对应几何性质推导AB和AC的大小：
1. 先回忆常见尺规作图的痕迹特征：以某点为圆心定长为半径画弧是截取等长线段，上下各有交点的直线是线段垂直平分线，从角顶点出发的射线是角平分线。
2. 逐个推导：截取等长线段时，可通过点与弧的位置关系判断线段和半径的大小；垂直平分线可利用“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”转化线段；角平分线仅能得到角相等的结论，若无其他条件无法直接推导线段长度关系。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：作图是以点B为圆心、AB长为半径画弧，弧与AC边相交。若AB≥AC，该弧只会与AC的延长线相交或仅与点A重合，因此可推出AB＜AC，能判断大小。
选项B：作图是以点A为圆心、AB长为半径画弧，点C落在弧的内侧，说明AC的长度小于半径AB，因此可推出AB＞AC，能判断大小。
选项C：作图是BC边的垂直平分线，设垂直平分线与AC交于点P。根据线段垂直平分线的性质，PB=PC。在△ABP中，由三角形两边之和大于第三边得AB＜AP+PB=AP+PC=AC，可推出AB＜AC，能判断大小。
选项D：作图是角平分线，仅能得到对应角相等的结论，没有可推导AB、AC长度关系的条件，无法判断AB与AC的大小。
综上，符合要求的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
尺规作图识别；线段垂直平分线性质；三角形三边关系
【点评】
本题将尺规作图与三角形性质结合考查，解题关键是准确识别常见尺规作图的痕迹，再结合对应性质推导线段的大小关系，容易因作图类型识别错误导致判断失误。
【难度系数】
0.6
9. 如图，已知$AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$。若用“HL”来判定$\mathrm{Rt}△ ABD$与$\mathrm{Rt}△ CDB$全等，则需要添加的条件是（
A.$∠ B=∠ D$
B.$∠ ADB=∠ CBD$
C.$AB=CD$
D.$AD=CB$
D
）A.$∠ B=∠ D$
B.$∠ ADB=∠ CBD$
C.$AB=CD$
D.$AD=CB$
答案
9. D
解析
【分析】
解决这道题首先要明确HL定理的内容和适用条件：HL是仅适用于直角三角形全等的判定定理，指斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
第一步先判断三角形形状：由AB⊥BD、CD⊥BD可知△ABD和△CDB都是直角三角形，且BD是两个三角形的公共直角边，已经有一组直角边相等。
第二步对应HL的要求：HL需要斜边+一组直角边对应相等，已有公共直角边BD=DB，因此需要补充两个三角形的斜边相等，才能符合HL的判定要求。
第三步对应选项筛选，找到符合斜边对应相等的选项即可。
【解析】
解：
∵$AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，
∴$∠ ABD=∠ CDB=90°$，即$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CDB$均为直角三角形。
用HL判定两个直角三角形全等，需要满足斜边和一条直角边对应相等。
观察两个三角形的边：BD是公共直角边，即$BD=DB$，因此只需补充两个三角形的斜边相等，即可满足HL判定条件，即$AD=CB$。
对选项逐一分析：
A选项$∠ B=∠ D$，结合已知直角和公共边，属于AAS判定，不符合HL要求；
B选项$∠ ADB=∠ CBD$，结合已知直角和公共边，属于ASA判定，不符合HL要求；
C选项$AB=CD$，结合已知直角和公共边，属于SAS判定，不符合HL要求；
D选项$AD=CB$，结合公共直角边$BD=DB$，符合HL判定要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
HL定理，全等三角形判定
【点评】
本题重点考查HL定理的应用，解题时要注意HL仅适用于直角三角形，且必须满足“斜边+一条直角边对应相等”的条件，要注意区分HL和其他全等判定定理的适用场景，避免因忽略判定条件的要求选错答案。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要明确HL定理的内容和适用条件：HL是仅适用于直角三角形全等的判定定理，指斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
第一步先判断三角形形状：由AB⊥BD、CD⊥BD可知△ABD和△CDB都是直角三角形，且BD是两个三角形的公共直角边，已经有一组直角边相等。
第二步对应HL的要求：HL需要斜边+一组直角边对应相等，已有公共直角边BD=DB，因此需要补充两个三角形的斜边相等，才能符合HL的判定要求。
第三步对应选项筛选，找到符合斜边对应相等的选项即可。
【解析】
解：
∵$AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，
∴$∠ ABD=∠ CDB=90°$，即$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CDB$均为直角三角形。
用HL判定两个直角三角形全等，需要满足斜边和一条直角边对应相等。
观察两个三角形的边：BD是公共直角边，即$BD=DB$，因此只需补充两个三角形的斜边相等，即可满足HL判定条件，即$AD=CB$。
对选项逐一分析：
A选项$∠ B=∠ D$，结合已知直角和公共边，属于AAS判定，不符合HL要求；
B选项$∠ ADB=∠ CBD$，结合已知直角和公共边，属于ASA判定，不符合HL要求；
C选项$AB=CD$，结合已知直角和公共边，属于SAS判定，不符合HL要求；
D选项$AD=CB$，结合公共直角边$BD=DB$，符合HL判定要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
HL定理，全等三角形判定
【点评】
本题重点考查HL定理的应用，解题时要注意HL仅适用于直角三角形，且必须满足“斜边+一条直角边对应相等”的条件，要注意区分HL和其他全等判定定理的适用场景，避免因忽略判定条件的要求选错答案。
【难度系数】
0.6
10. 对于题目 “如图，$BC=6\ \mathrm{cm}$，$∠ PBC=∠ QCB=60°$，点 $M$ 在线段 $CB$ 上以 $3\ \mathrm{cm/s}$ 的速度由点 $C$ 向点 $B$ 运动，同时，点 $N$ 从点 $C$ 处出发，在射线 $CQ$ 上以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动，它们运动的时间为 $t(\mathrm{s})$（当点 $M$ 运动结束时，点 $N$ 运动也随之结束）. 在射线 $BP$ 上取一点 $A$，在点 $M$，$N$ 运动到某处时，有 $△ ABM$ 与 $△ MCN$ 全等，求此时 $t$ 的值”，甲的计算结果是 $0.5$，乙的计算结果是 $1$，丙的计算结果是 $1.5$. 下列说法中，正确的是（
A.甲、乙两人的结果合起来才正确
B.乙、丙两人的结果合起来才正确
C.甲、丙两人的结果合起来才正确
D.甲、乙、丙三人的结果合起来才正确
B
）A.甲、乙两人的结果合起来才正确
B.乙、丙两人的结果合起来才正确
C.甲、丙两人的结果合起来才正确
D.甲、乙、丙三人的结果合起来才正确
答案
10. B
解析
【分析】
解题时先将运动过程中相关线段的长度用含t的代数式表示，结合已知∠PBC=∠QCB=60°，可知两个三角形的这组角为对应角，由于全等三角形的对应边未明确给出，因此需要分两种对应情况讨论，结合全等三角形对应边相等列方程求解，最后验证解是否符合动点的运动范围即可。
【解析】
解：当运动时间为t s时，
点M的速度为3cm/s，故CM=3t cm，BM=BC-CM=(6-3t)cm；
点N的速度为1cm/s，故CN=t cm；
点M从C到B的总时长为6÷3=2s，因此t的取值范围是0＜t≤2。
已知∠ABM=∠MCN=60°，△ABM与△MCN全等，分两种情况讨论：
① 当BM=CN，AB=MC时，△ABM≌△MCN（SAS），
列方程：6-3t = t，
解得t=1.5，符合0＜t≤2，该解有效；
② 当BM=CM，AB=NC时，△ABM≌△NCM（SAS），
列方程：6-3t = 3t，
解得t=1，符合0＜t≤2，该解有效。
综上，t的值为1或1.5，即乙、丙的结果正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质，动点问题，分类讨论
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的典型题型，易错点是忽略全等三角形对应关系的多种可能性，造成漏解，同时要注意动点的运动边界，舍去不符合实际运动情况的解。
【难度系数】
0.6
解题时先将运动过程中相关线段的长度用含t的代数式表示，结合已知∠PBC=∠QCB=60°，可知两个三角形的这组角为对应角，由于全等三角形的对应边未明确给出，因此需要分两种对应情况讨论，结合全等三角形对应边相等列方程求解，最后验证解是否符合动点的运动范围即可。
【解析】
解：当运动时间为t s时，
点M的速度为3cm/s，故CM=3t cm，BM=BC-CM=(6-3t)cm；
点N的速度为1cm/s，故CN=t cm；
点M从C到B的总时长为6÷3=2s，因此t的取值范围是0＜t≤2。
已知∠ABM=∠MCN=60°，△ABM与△MCN全等，分两种情况讨论：
① 当BM=CN，AB=MC时，△ABM≌△MCN（SAS），
列方程：6-3t = t，
解得t=1.5，符合0＜t≤2，该解有效；
② 当BM=CM，AB=NC时，△ABM≌△NCM（SAS），
列方程：6-3t = 3t，
解得t=1，符合0＜t≤2，该解有效。
综上，t的值为1或1.5，即乙、丙的结果正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质，动点问题，分类讨论
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的典型题型，易错点是忽略全等三角形对应关系的多种可能性，造成漏解，同时要注意动点的运动边界，舍去不符合实际运动情况的解。
【难度系数】
0.6
二、填空题(本大题共5个小题，每小题2分，共10分)
11. 9的平方根为
11. 9的平方根为
$\pm3$
.答案
11. $\pm3$
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。其次要明确正数的平方根有两个，且互为相反数，注意不要和算术平方根混淆，只需找到平方后等于9的所有数即可。
【解析】
根据平方根的定义计算：
∵ $(\pm 3)^2=9$
∴ 9的平方根为$\pm 3$。
【答案】
$\pm 3$
【知识点】
平方根的定义，正数的平方根性质
【点评】
本题是基础易错题，解题时要注意区分平方根与算术平方根，算术平方根仅指正的平方根，而正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。其次要明确正数的平方根有两个，且互为相反数，注意不要和算术平方根混淆，只需找到平方后等于9的所有数即可。
【解析】
根据平方根的定义计算：
∵ $(\pm 3)^2=9$
∴ 9的平方根为$\pm 3$。
【答案】
$\pm 3$
【知识点】
平方根的定义，正数的平方根性质
【点评】
本题是基础易错题，解题时要注意区分平方根与算术平方根，算术平方根仅指正的平方根，而正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
12. 若一等腰三角形两边的长分别为2 cm和4 cm，则其周长为
10
cm.答案
12. 10
解析
【分析】
本题考查等腰三角形周长的计算，解题需分两步思考：①根据等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况确定三边的可能长度：一是腰长为2cm、底边长为4cm，二是腰长为4cm、底边长为2cm；②利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断两种边长组合是否能构成三角形，排除不成立的组合后，将符合条件的三边长度相加即可得到周长。
【解析】
已知等腰三角形两边长分别为2cm和4cm，分情况讨论：
1. 若腰长为2cm，底边长为4cm，则三边长为2cm、2cm、4cm。
因为$2+2=4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，所以该组合不能构成三角形，舍去。
2. 若腰长为4cm，底边长为2cm，则三边长为4cm、4cm、2cm。
因为$4+2＞4$，$4+4＞2$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
此时周长为$4+4+2=10(\mathrm{cm})$。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，三角形周长计算
【点评】
本题是常见易错题，解题时很容易忽略验证边长组合是否满足三角形构成条件，直接计算两种情况的周长得到错误结果，切记处理等腰三角形边长问题时，要先判断三边能否构成三角形再求解。
【难度系数】
0.6
本题考查等腰三角形周长的计算，解题需分两步思考：①根据等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况确定三边的可能长度：一是腰长为2cm、底边长为4cm，二是腰长为4cm、底边长为2cm；②利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断两种边长组合是否能构成三角形，排除不成立的组合后，将符合条件的三边长度相加即可得到周长。
【解析】
已知等腰三角形两边长分别为2cm和4cm，分情况讨论：
1. 若腰长为2cm，底边长为4cm，则三边长为2cm、2cm、4cm。
因为$2+2=4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，所以该组合不能构成三角形，舍去。
2. 若腰长为4cm，底边长为2cm，则三边长为4cm、4cm、2cm。
因为$4+2＞4$，$4+4＞2$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
此时周长为$4+4+2=10(\mathrm{cm})$。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，三角形周长计算
【点评】
本题是常见易错题，解题时很容易忽略验证边长组合是否满足三角形构成条件，直接计算两种情况的周长得到错误结果，切记处理等腰三角形边长问题时，要先判断三边能否构成三角形再求解。
【难度系数】
0.6
13. 当二次根式$\sqrt{x-5}$有意义时，$x$的取值范围为
$x≥5$
.答案
13. $x≥5$
解析
【分析】
要确定二次根式有意义时x的取值范围，首先回忆二次根式的相关要求：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于或等于0）。本题中二次根式$\sqrt{x-5}$的被开方数是$x-5$，因此只需让$x-5$满足非负数的要求，列出不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得：
$x-5≥0$
解这个不等式，移项得：
$x≥5$
【答案】
$x≥5$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是二次根式相关的基础易错题，易错点是容易忽略被开方数可以等于0，误写为$x＞5$，解题时牢记“非负数包含0”即可避免出错，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
要确定二次根式有意义时x的取值范围，首先回忆二次根式的相关要求：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于或等于0）。本题中二次根式$\sqrt{x-5}$的被开方数是$x-5$，因此只需让$x-5$满足非负数的要求，列出不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得：
$x-5≥0$
解这个不等式，移项得：
$x≥5$
【答案】
$x≥5$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是二次根式相关的基础易错题，易错点是容易忽略被开方数可以等于0，误写为$x＞5$，解题时牢记“非负数包含0”即可避免出错，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
14. 作一个角等于已知角的尺规作图过程如图所示，要说明$∠ A'O'B'=∠ AOB$，需要证明$△ D'O'C'≌△ DOC$，则这两个三角形全等的依据是
SSS
。答案
14. SSS
解析
【分析】
要确定两个三角形全等的依据，首先需结合尺规作相等角的步骤，找出两个三角形对应边的关系：作图时先以O为圆心画弧得到OC=OD，再以O'为圆心、OC长为半径画弧得到O'C'=OC=O'D'，最后以C'为圆心、CD长为半径画弧得到C'D'=CD，由此可得两个三角形三组对应边都相等，即可对应到全等判定的相关定理。
【解析】
由尺规作一个角等于已知角的操作过程可得：
$OC=O'C'$，$OD=O'D'$，$CD=C'D'$，
在$△ D'O'C'$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}O'C'=OC \\O'D'=OD \\C'D'=CD\end{cases}$
$\therefore △ D'O'C'≌△ DOC(\mathrm{SSS})$
因此两个三角形全等的依据为SSS。
【答案】
SSS
【知识点】
尺规作相等角；全等三角形SSS判定
【点评】
本题考查尺规作图的原理和全等三角形判定的应用，解题核心是明确作图过程中得到的相等线段，熟记全等三角形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.75
要确定两个三角形全等的依据，首先需结合尺规作相等角的步骤，找出两个三角形对应边的关系：作图时先以O为圆心画弧得到OC=OD，再以O'为圆心、OC长为半径画弧得到O'C'=OC=O'D'，最后以C'为圆心、CD长为半径画弧得到C'D'=CD，由此可得两个三角形三组对应边都相等，即可对应到全等判定的相关定理。
【解析】
由尺规作一个角等于已知角的操作过程可得：
$OC=O'C'$，$OD=O'D'$，$CD=C'D'$，
在$△ D'O'C'$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}O'C'=OC \\O'D'=OD \\C'D'=CD\end{cases}$
$\therefore △ D'O'C'≌△ DOC(\mathrm{SSS})$
因此两个三角形全等的依据为SSS。
【答案】
SSS
【知识点】
尺规作相等角；全等三角形SSS判定
【点评】
本题考查尺规作图的原理和全等三角形判定的应用，解题核心是明确作图过程中得到的相等线段，熟记全等三角形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.75
