17.（本小题满分8分）
已知$x=(\sqrt{3}-1)^2$，且$A=(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1})÷\frac{4}{x^2-1}$。
(1)分别化简$x$和$A$。
(2)将$x$的值代入$A$化简后的结果，求$A$的值。

解：(1)$x=(\sqrt{3}-1)^2$
$=(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}+1$
$=3-2\sqrt{3}+1$
$=4-2\sqrt{3},$
$A=(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1})÷\frac{4}{x^2-1}$
$=\frac{x+1+x-1}{(x-1)(x+1)}÷\frac{4}{(x-1)(x+1)}$
$=\frac{2x}{(x-1)(x+1)}×\frac{(x-1)(x+1)}{4}$
$=\frac{x}{2}.$
(2)将$x=4-2\sqrt{3}$代入$A=\frac{x}{2}$，得
$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3},$
即$A$的值为$2-\sqrt{3}.$

【分析】
（1）化简$x$时，直接利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开计算即可；化简$A$时属于分式混合运算，先计算括号内的分式加法，通分后将除法转化为乘法，借助因式分解$x^2-1=(x-1)(x+1)$约分，即可得到$A$的最简形式。
（2）$A$化简后为仅含$x$的一次式，直接代入第一问求出的$x$的值计算即可，无需代入原式，能大幅降低计算量、减少出错概率。
【解析】
(1) 化简$x$：
根据完全平方公式展开：
$\begin{aligned}x&=(\sqrt{3}-1)^2\\&=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×1+1^2\\&=3-2\sqrt{3}+1\\&=4-2\sqrt{3}\end{aligned}$
化简$A$：
先通分计算括号内的加法，再将除法转化为乘法约分：
$\begin{aligned}A&=(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1})÷\frac{4}{x^2-1}\\&=\frac{x+1+x-1}{(x-1)(x+1)}÷\frac{4}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{2x}{(x-1)(x+1)}×\frac{(x-1)(x+1)}{4}\\&=\frac{x}{2}\end{aligned}$
(2) 将$x=4-2\sqrt{3}$代入$A=\frac{x}{2}$得：
$\begin{aligned}A&=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}\\&=2-\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $x=4-2\sqrt{3}$，$A=\frac{x}{2}$；(2) $A=2-\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式，分式混合运算，二次根式化简
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，核心解题技巧是先将代数式化简为最简形式再代入数值计算，可有效降低计算难度，解题时需注意通分、约分的规则，以及乘法公式的正确运用。
【难度系数】
0.7