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1.某学校功能室墙壁的主色调经过学生投票决定采用红色，投票结果如下表所示。这一决策依据的统计量是（
A.平均数
B.方差
C.众数
D.中位数
C
）A.平均数
B.方差
C.众数
D.中位数
答案
C
解析
【分析】
解题时先明确题目需求：要选择得票数最多的颜色作为主色调。接下来回忆各选项统计量的含义：平均数反映数据平均水平，方差反映数据波动大小，众数是一组数据中出现次数最多的数值，中位数是数据排序后位于中间位置的数值。我们需要找得票次数最多的结果，对应统计量就是众数，即可锁定答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 平均数反映一组数据的平均水平，本次决策不需要求平均票数，不符合题意；
B. 方差用于衡量数据的波动程度，和选择得票最高的颜色的需求无关，不符合题意；
C. 众数是一组数据中出现次数最多的数值，本题中红色的投票人数150是所有颜色中最高的，也就是投票数据的众数，本次决策依据的就是众数，符合题意；
D. 中位数反映数据的中等水平，无法对应得票最高的结果，不符合题意。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
众数的概念；统计量的选择；常见统计量的意义
【点评】
本题结合实际投票场景考查不同统计量的适用场景，解题核心是明确各统计量的含义，结合实际需求匹配对应统计量，属于基础类考题。
【难度系数】
0.85
解题时先明确题目需求：要选择得票数最多的颜色作为主色调。接下来回忆各选项统计量的含义：平均数反映数据平均水平，方差反映数据波动大小，众数是一组数据中出现次数最多的数值，中位数是数据排序后位于中间位置的数值。我们需要找得票次数最多的结果，对应统计量就是众数，即可锁定答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 平均数反映一组数据的平均水平，本次决策不需要求平均票数，不符合题意；
B. 方差用于衡量数据的波动程度，和选择得票最高的颜色的需求无关，不符合题意；
C. 众数是一组数据中出现次数最多的数值，本题中红色的投票人数150是所有颜色中最高的，也就是投票数据的众数，本次决策依据的就是众数，符合题意；
D. 中位数反映数据的中等水平，无法对应得票最高的结果，不符合题意。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
众数的概念；统计量的选择；常见统计量的意义
【点评】
本题结合实际投票场景考查不同统计量的适用场景，解题核心是明确各统计量的含义，结合实际需求匹配对应统计量，属于基础类考题。
【难度系数】
0.85
2.已知一组数据的方差算式为$s^2=\frac{1}{n}×[(8-\overline{x})^2+(6-\overline{x})^2+(7-\overline{x})^2+(8-\overline{x})^2+(6-\overline{x})^2]$。根据算式中的信息，下列说法错误的是(
A.$n$的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若在该组数据中加入两个数7,7，则这组新数据的方差变小
C
)A.$n$的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若在该组数据中加入两个数7,7，则这组新数据的方差变小
答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆方差的定义公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是数据个数，$\overline{x}$是数据的平均数。首先从给出的方差算式中提取原始数据、确定$n$的值，再依次计算平均数、众数验证选项，最后计算加入新数据后的方差判断变化情况即可。
【解析】
1. 验证A选项：观察方差算式，括号内共有5个平方项，根据方差公式可得$n=5$，A说法正确，不符合题意。
2. 验证B选项：从方差算式可提取原始数据为8、6、7、8、6，计算平均数$\overline{x}=\frac{8+6+7+8+6}{5}=\frac{35}{5}=7$，B说法正确，不符合题意。
3. 验证C选项：原始数据中6出现2次，8出现2次，7出现1次，因此这组数据的众数是6和8，不是只有6，C说法错误，符合题意。
4. 验证D选项：原数据方差$s^2=\frac{1}{5}×[(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2]=\frac{4}{5}=0.8$；加入两个7后，新数据平均数仍为7，新方差$s_新^2=\frac{1}{7}×(1+1+0+1+1+0+0)=\frac{4}{7}\approx0.57＜0.8$，方差变小，D说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
方差的计算；平均数；众数
【点评】
本题考查统计中基础概念的应用，解题核心是能从方差公式中提取对应的数据信息，需注意一组数据的众数可能不止一个。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆方差的定义公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是数据个数，$\overline{x}$是数据的平均数。首先从给出的方差算式中提取原始数据、确定$n$的值，再依次计算平均数、众数验证选项，最后计算加入新数据后的方差判断变化情况即可。
【解析】
1. 验证A选项：观察方差算式，括号内共有5个平方项，根据方差公式可得$n=5$，A说法正确，不符合题意。
2. 验证B选项：从方差算式可提取原始数据为8、6、7、8、6，计算平均数$\overline{x}=\frac{8+6+7+8+6}{5}=\frac{35}{5}=7$，B说法正确，不符合题意。
3. 验证C选项：原始数据中6出现2次，8出现2次，7出现1次，因此这组数据的众数是6和8，不是只有6，C说法错误，符合题意。
4. 验证D选项：原数据方差$s^2=\frac{1}{5}×[(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2]=\frac{4}{5}=0.8$；加入两个7后，新数据平均数仍为7，新方差$s_新^2=\frac{1}{7}×(1+1+0+1+1+0+0)=\frac{4}{7}\approx0.57＜0.8$，方差变小，D说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
方差的计算；平均数；众数
【点评】
本题考查统计中基础概念的应用，解题核心是能从方差公式中提取对应的数据信息，需注意一组数据的众数可能不止一个。
【难度系数】
0.7
3.刘老师从某校2000名学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分学生的问卷，将这部分学生的锻炼时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成如图所示的条形统计图（图中部分数据被遮盖）。已知每天锻炼时长为1 h的学生人数占样本总人数的36％，则下列说法正确的是(
A.锻炼时长为1.5 h是这个样本的众数
B.该样本中学生平均每天锻炼时长为1 h
C.锻炼时长为1 h是这个样本的中位数
D.该校锻炼时长为2 h的学生少于200名
A
)A.锻炼时长为1.5 h是这个样本的众数
B.该样本中学生平均每天锻炼时长为1 h
C.锻炼时长为1 h是这个样本的中位数
D.该校锻炼时长为2 h的学生少于200名
答案
A
解析
【分析】
解题首先需要根据锻炼时长为1h的人数和对应占比求出样本总人数，再计算被遮盖的时长为1.5h的人数，之后结合众数、加权平均数、中位数的定义分别判断A、B、C选项，再根据用样本估计总体的方法判断D选项即可。
【解析】
解：①计算样本总人数：
已知锻炼时长为1h的学生有72人，占样本总人数的36%，因此样本总人数为 $72÷36\%=200$ 人。
②计算锻炼时长为1.5h的人数：
总人数减去其余三组人数，即 $200-18-72-25=85$ 人。
③逐个分析选项：
A. 四组锻炼时长对应的人数分别为18人、72人、85人、25人，人数最多的是时长1.5h的组，因此样本的众数是1.5h，A正确；
B. 样本平均锻炼时长为加权平均数：$\frac{0.5×18+1×72+1.5×85+2×25}{200}=1.2925\ \mathrm{h}≠1\ \mathrm{h}$，B错误；
C. 样本共200个数据，中位数为排序后第100、101个数据的平均值，前两组累计人数为 $18+72=90$ 人，因此第91到175个数据都属于1.5h组，第100、101个数据都是1.5h，即中位数为1.5h，C错误；
D. 样本中锻炼时长为2h的人数占比为 $\frac{25}{200}=12.5\%$，估计全校2000名学生中锻炼时长为2h的人数为 $2000×12.5\%=250$ 人，多于200人，D错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
条形统计图，统计量的识别，用样本估计总体
【点评】
本题重点考查统计图表的读取和统计基础知识的应用，解题核心是先求出样本总人数和被遮盖组的人数，再结合各统计量的定义和用样本估计总体的思想逐一判断，计算时注意不要出错。
【难度系数】
0.7
解题首先需要根据锻炼时长为1h的人数和对应占比求出样本总人数，再计算被遮盖的时长为1.5h的人数，之后结合众数、加权平均数、中位数的定义分别判断A、B、C选项，再根据用样本估计总体的方法判断D选项即可。
【解析】
解：①计算样本总人数：
已知锻炼时长为1h的学生有72人，占样本总人数的36%，因此样本总人数为 $72÷36\%=200$ 人。
②计算锻炼时长为1.5h的人数：
总人数减去其余三组人数，即 $200-18-72-25=85$ 人。
③逐个分析选项：
A. 四组锻炼时长对应的人数分别为18人、72人、85人、25人，人数最多的是时长1.5h的组，因此样本的众数是1.5h，A正确；
B. 样本平均锻炼时长为加权平均数：$\frac{0.5×18+1×72+1.5×85+2×25}{200}=1.2925\ \mathrm{h}≠1\ \mathrm{h}$，B错误；
C. 样本共200个数据，中位数为排序后第100、101个数据的平均值，前两组累计人数为 $18+72=90$ 人，因此第91到175个数据都属于1.5h组，第100、101个数据都是1.5h，即中位数为1.5h，C错误；
D. 样本中锻炼时长为2h的人数占比为 $\frac{25}{200}=12.5\%$，估计全校2000名学生中锻炼时长为2h的人数为 $2000×12.5\%=250$ 人，多于200人，D错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
条形统计图，统计量的识别，用样本估计总体
【点评】
本题重点考查统计图表的读取和统计基础知识的应用，解题核心是先求出样本总人数和被遮盖组的人数，再结合各统计量的定义和用样本估计总体的思想逐一判断，计算时注意不要出错。
【难度系数】
0.7
4.某食堂午餐提供8元/盒、10元/盒、12元/盒三种价格的盒饭。该食堂某月各类盒饭销售占比的扇形统计图如图所示，由统计图可计算出该月食堂午餐盒饭的平均价格是
10.2
元/盒。答案
10.2
解析
【分析】
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路如下：首先从扇形统计图中提取三种盒饭的单价和对应的销售占比，销售占比就是各单价对应的权重；再根据加权平均数的计算方法，将每个单价乘以对应的权重，求和后即可得到平均价格。
【解析】
根据加权平均数的计算公式：
平均价格 = 8×15% + 10×60% + 12×25%
分别计算各项：
8×15% = 8×0.15 = 1.2
10×60% = 10×0.6 = 6
12×25% = 12×0.25 = 3
将各项结果相加：1.2 + 6 + 3 = 10.2（元/盒）
【答案】
10.2
【知识点】
扇形统计图、加权平均数计算
【点评】
本题属于基础应用题，需要先从扇形统计图中准确获取各数据对应的权重，再结合加权平均数的公式计算即可，解题时注意百分比和小数的换算，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路如下：首先从扇形统计图中提取三种盒饭的单价和对应的销售占比，销售占比就是各单价对应的权重；再根据加权平均数的计算方法，将每个单价乘以对应的权重，求和后即可得到平均价格。
【解析】
根据加权平均数的计算公式：
平均价格 = 8×15% + 10×60% + 12×25%
分别计算各项：
8×15% = 8×0.15 = 1.2
10×60% = 10×0.6 = 6
12×25% = 12×0.25 = 3
将各项结果相加：1.2 + 6 + 3 = 10.2（元/盒）
【答案】
10.2
【知识点】
扇形统计图、加权平均数计算
【点评】
本题属于基础应用题，需要先从扇形统计图中准确获取各数据对应的权重，再结合加权平均数的公式计算即可，解题时注意百分比和小数的换算，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
5. 提升题 已知一组数据$x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$，其平均数为1，方差为$\frac{1}{5}$，则另一组数据$5x_1 - 2,5x_2 - 2,5x_3 - 2,\dots,5x_n - 2$的平均数为
3
，标准差为$\sqrt{5}$
。答案
3；$\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时可直接利用数据线性变换下的统计量变化规律求解：①若一组数据每个元素都变为$ax+b$，则新数据的平均数等于原平均数乘$a$再加$b$；②加减常数不改变数据的波动大小，因此方差不受常数项影响，乘$a$后方差变为原方差乘$a^2$；③标准差是方差的算术平方根，算出新方差后开方即可得到标准差。
【解析】
已知原数据的平均数$\bar{x}=1$，方差$s^2=\frac{1}{5}$。
1. 计算新数据的平均数：
新数据为$5x_i-2$（$i=1,2,\dots,n$），根据平均数变换规律：
$\bar{y}=5\bar{x}-2=5×1-2=3$
2. 计算新数据的方差：
根据方差变换规律，常数项不影响方差，系数需乘平方：
$s_y^2=5^2× s^2=25×\frac{1}{5}=5$
3. 计算新数据的标准差：
标准差是方差的算术平方根，因此：
$s_y=\sqrt{s_y^2}=\sqrt{5}$
【答案】
$3$；$\sqrt{5}$
【知识点】
平均数变换规律，方差变换规律，标准差定义
【点评】
本题属于统计量性质应用的常考基础题型，解题时需注意区分方差和标准差的变换规则，避免将方差的平方变化错用到标准差上。
【难度系数】
0.7
解题时可直接利用数据线性变换下的统计量变化规律求解：①若一组数据每个元素都变为$ax+b$，则新数据的平均数等于原平均数乘$a$再加$b$；②加减常数不改变数据的波动大小，因此方差不受常数项影响，乘$a$后方差变为原方差乘$a^2$；③标准差是方差的算术平方根，算出新方差后开方即可得到标准差。
【解析】
已知原数据的平均数$\bar{x}=1$，方差$s^2=\frac{1}{5}$。
1. 计算新数据的平均数：
新数据为$5x_i-2$（$i=1,2,\dots,n$），根据平均数变换规律：
$\bar{y}=5\bar{x}-2=5×1-2=3$
2. 计算新数据的方差：
根据方差变换规律，常数项不影响方差，系数需乘平方：
$s_y^2=5^2× s^2=25×\frac{1}{5}=5$
3. 计算新数据的标准差：
标准差是方差的算术平方根，因此：
$s_y=\sqrt{s_y^2}=\sqrt{5}$
【答案】
$3$；$\sqrt{5}$
【知识点】
平均数变换规律，方差变换规律，标准差定义
【点评】
本题属于统计量性质应用的常考基础题型，解题时需注意区分方差和标准差的变换规则，避免将方差的平方变化错用到标准差上。
【难度系数】
0.7
6.一组数据有5个自然数：4,5,5,x,y，这组数据的中位数为4，唯一的众数是5。在所有满足条件的x,y中，x+y的最大值是
5
。答案
5
解析
【分析】
解题需结合中位数和众数的定义逐步推导：首先明确5个数据的中位数是排序后第3个数据，众数是出现次数最多的数，且本题众数唯一。第一步先根据中位数为4确定x、y的取值上限；第二步根据唯一众数是5排除不符合要求的取值，确定x、y的可用范围；第三步在可用范围内选取合适的数计算x+y的最大值。
【解析】
1. 分析中位数限制：将5个数据从小到大排列后，第3个数为中位数，题目给出中位数是4，说明比4大的数只能有2个（即现有的两个5），因此x、y均不大于4。
2. 分析众数限制：唯一众数是5，说明5的出现次数（2次）比其他所有数的出现次数都多：
若x或y等于4，则4的出现次数变为2次，与5的出现次数相同，众数不唯一，因此x、y均小于4；
若x=y，则该数的出现次数变为2次，与5的出现次数相同，众数不唯一，因此x、y为互不相等的自然数。
3. 求x+y的最大值：小于4的自然数为0、1、2、3，选取最大的两个不同数3和2，可得x+y的最大值为3+2=5。
【答案】
5
【知识点】
中位数，众数，有理数大小比较
【点评】
本题重点考查统计中中位数、众数核心概念的应用，需要结合多个限制条件逐步筛选未知数的取值范围，易错点是忽略“唯一众数”的要求，未排除多个数出现次数相同的情况。
【难度系数】
0.6
解题需结合中位数和众数的定义逐步推导：首先明确5个数据的中位数是排序后第3个数据，众数是出现次数最多的数，且本题众数唯一。第一步先根据中位数为4确定x、y的取值上限；第二步根据唯一众数是5排除不符合要求的取值，确定x、y的可用范围；第三步在可用范围内选取合适的数计算x+y的最大值。
【解析】
1. 分析中位数限制：将5个数据从小到大排列后，第3个数为中位数，题目给出中位数是4，说明比4大的数只能有2个（即现有的两个5），因此x、y均不大于4。
2. 分析众数限制：唯一众数是5，说明5的出现次数（2次）比其他所有数的出现次数都多：
若x或y等于4，则4的出现次数变为2次，与5的出现次数相同，众数不唯一，因此x、y均小于4；
若x=y，则该数的出现次数变为2次，与5的出现次数相同，众数不唯一，因此x、y为互不相等的自然数。
3. 求x+y的最大值：小于4的自然数为0、1、2、3，选取最大的两个不同数3和2，可得x+y的最大值为3+2=5。
【答案】
5
【知识点】
中位数，众数，有理数大小比较
【点评】
本题重点考查统计中中位数、众数核心概念的应用，需要结合多个限制条件逐步筛选未知数的取值范围，易错点是忽略“唯一众数”的要求，未排除多个数出现次数相同的情况。
【难度系数】
0.6
7.某校开展了“我阅读，我快乐”的活动，小华调查了本校80名学生本学期购买课外书的费用情况，数据如下表所示：
(1)购买课外书的费用的众数是
(2)购买课外书费用的下四分位数是
(3)在下图指定位置绘制购买课外书费用的箱线图。
(1)购买课外书的费用的众数是
80和150
元，中位数是90
元。(2)购买课外书费用的下四分位数是
60
元，上四分位数是135
元。(3)在下图指定位置绘制购买课外书费用的箱线图。
答案
(1)80和150；90
(2)60；135
(3)如图所示。
(2)60；135
(3)如图所示。
解析
【分析】
要解决这道题，需按照各统计量的定义逐步计算，再根据特征值绘制箱线图：
1. 求众数：只需找出出现次数最多的购买费用即可；
2. 求中位数：先将80名学生的购书费用从小到大排序，总数据数为偶数，中位数为排序后第40、第41个数据的平均数；
3. 求四分位数：下四分位数是第25百分位数，对应位置为80×25%=20，取排序后第20、21个数据的平均数；上四分位数是第75百分位数，对应位置为80×75%=60，取排序后第60、61个数据的平均数；
4. 绘制箱线图：先确定最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这5个特征值，再按规范在数轴上标注并绘制即可。
【解析】
(1) 统计各购书费用的出现次数，可知80元和150元出现的次数最多，因此众数为80和150元；
将80个数据从小到大排序后，第40个数据为80元、第41个数据为100元，因此中位数为$\frac{80+100}{2}=90$元。
(2) 将数据排序后，第20、21个数据均为60元，因此下四分位数为$\frac{60+60}{2}=60$元；
排序后第60个数据为130元、第61个数据为140元，因此上四分位数为$\frac{130+140}{2}=135$元。
(3) 先确定购书费用的最小值、下四分位数60元、中位数90元、上四分位数135元、最大值五个特征值，在给定的数轴上依次标注这五个点，用矩形连接下四分位数和上四分位数，在矩形内部对应中位数的位置画竖线，再从矩形的左右两端分别向最小值、最大值画水平线段，即得到所需箱线图。
【答案】
(1)80和150；90
(2)60；135
(3)如图所示。
【知识点】
众数与中位数，四分位数计算，箱线图绘制
【点评】
本题考查统计特征量的计算与统计图表的绘制，解题关键是准确掌握各统计量的定义，注意计算中位数、四分位数时要先对数据排序，再确定对应位置的数值，属于统计模块的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需按照各统计量的定义逐步计算，再根据特征值绘制箱线图：
1. 求众数：只需找出出现次数最多的购买费用即可；
2. 求中位数：先将80名学生的购书费用从小到大排序，总数据数为偶数，中位数为排序后第40、第41个数据的平均数；
3. 求四分位数：下四分位数是第25百分位数，对应位置为80×25%=20，取排序后第20、21个数据的平均数；上四分位数是第75百分位数，对应位置为80×75%=60，取排序后第60、61个数据的平均数；
4. 绘制箱线图：先确定最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这5个特征值，再按规范在数轴上标注并绘制即可。
【解析】
(1) 统计各购书费用的出现次数，可知80元和150元出现的次数最多，因此众数为80和150元；
将80个数据从小到大排序后，第40个数据为80元、第41个数据为100元，因此中位数为$\frac{80+100}{2}=90$元。
(2) 将数据排序后，第20、21个数据均为60元，因此下四分位数为$\frac{60+60}{2}=60$元；
排序后第60个数据为130元、第61个数据为140元，因此上四分位数为$\frac{130+140}{2}=135$元。
(3) 先确定购书费用的最小值、下四分位数60元、中位数90元、上四分位数135元、最大值五个特征值，在给定的数轴上依次标注这五个点，用矩形连接下四分位数和上四分位数，在矩形内部对应中位数的位置画竖线，再从矩形的左右两端分别向最小值、最大值画水平线段，即得到所需箱线图。
【答案】
(1)80和150；90
(2)60；135
(3)如图所示。
【知识点】
众数与中位数，四分位数计算，箱线图绘制
【点评】
本题考查统计特征量的计算与统计图表的绘制，解题关键是准确掌握各统计量的定义，注意计算中位数、四分位数时要先对数据排序，再确定对应位置的数值，属于统计模块的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
