1.如图，为使人字梯更稳固，可在梯子中间安装一个“拉杆”，这样做利用的数学原理是。 (第1题)

解：三角形具有稳定性

【分析】
解题时首先观察安装拉杆后的人字梯结构：安装拉杆后，拉杆与人字梯的两个侧边刚好围出三角形结构。接着回忆已学的几何图形特性：四边形容易变形具有不稳定性，而三角形具有不易变形的稳定性特性，能让结构更稳固，因此可以对应到对应的数学原理。
【解析】
在人字梯中间加装拉杆后，拉杆与人字梯的两侧边共同构成三角形结构，而三角形具有稳定性的特性，可避免梯子结构变形，使人字梯更稳固，因此该操作利用的就是三角形的相关特性。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是几何特性在生活中的实际应用题目，要求能够将生活场景和所学的几何图形性质结合起来，考查对基础几何性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.9

2.若三角形的三边分别是1,2,x,则x的取值范围是.

解：根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得
2 - 1 ＜ x ＜ 2 + 1
即$1 ＜ x ＜ 3$

【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形三边的核心性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形两条边的长度分别是1和2，求第三边x的取值范围时，直接把已知两边代入三边关系的不等式，就能推导得出x的范围。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$2 - 1 ＜ x ＜ 2 + 1$
化简后为：$1 ＜ x ＜ 3$
【答案】
$1＜x＜3$
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，是三角形边长相关性质的基础应用，只要熟练掌握三角形三边关系的判定规则，就能快速求出未知边的取值范围。
【难度系数】
0.9

3.已知a,b,c是三角形的三边，化简|a - b - c| + |c - b + a| = .

$\boldsymbol{2c}$

【分析】
要化简含绝对值的式子，首先需根据绝对值的性质判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值计算。本题可结合三角形三边关系判断正负：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。首先将两个绝对值内的式子变形，结合三边关系判断正负，再去绝对值合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：
∵a、b、c是三角形的三边
∴根据三角形三边关系，得：$b+c＞a$，$a+c＞b$
∴$a-b-c=a-(b+c)＜0$
$c-b+a=(a+c)-b＞0$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|a-b-c|=-(a-b-c)=-a+b+c$
$|c-b+a|=c-b+a$
∴原式$=(-a+b+c)+(c-b+a)$
$=-a+b+c+c-b+a$
$=2c$
【答案】
$\boldsymbol{2c}$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的性质；整式的加减
【点评】
本题是三角形三边关系与绝对值化简的综合基础题，解题的核心是先利用三角形三边关系判断绝对值内表达式的正负，再正确去绝对值合并同类项，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4.某工艺店打算制作一批有两边长分别是7 dm和3 dm，第三边长为奇数(单位：dm)的不同规格的三角形木框.
(1)满足上述条件的三角形木框共有种；
(2)若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元/分米，则至少需要多少钱购买材料？(忽略接头)

解：
(1) 设三角形的第三边长为x dm，
根据三角形三边关系，得7-3 ＜ x ＜ 7+3，
即4 ＜ x ＜ 10。
∵第三边长为奇数，
∴x可取5、7、9，共3种取值，
即满足条件的三角形木框共有3种。
(2) 所有规格三角形木框的总木条长度为：
(3+7+5)+(3+7+7)+(3+7+9) = 51(dm)
总费用为51×8 = 408(元)
答：至少需要408元购买材料。

【分析】
要解决这道题可分两步思考：
(1) 涉及三角形边长的问题，首先利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求出第三边的取值范围；再结合题目中“第三边长为奇数”的条件，筛选出范围内符合要求的整数，统计个数即可得到第一问的结果。
(2) 要计算购买材料的最少费用，首先求出所有符合规格的三角形木框的总周长（每种规格做1个，总长度就是所有三角形的周长之和），再用总长度乘每分米木条的售价，即可得到总费用。
【解析】
(1) 设三角形的第三边长为$ x \, \mathrm{dm} $，
根据三角形三边关系可得：$ 7 - 3 ＜ x ＜ 7 + 3 $，
化简得：$ 4 ＜ x ＜ 10 $。
因为第三边长为奇数，所以$ x $可取的值为5、7、9，共3种取值，即满足条件的三角形木框共有3种。
(2) 先计算每种规格三角形木框的周长，再求和得到总木条长度：
总长度$ = (3+7+5) + (3+7+7) + (3+7+9) = 15 + 17 + 19 = 51 \, (\mathrm{dm}) $
已知木条售价为8元/分米，总费用为：$ 51 × 8 = 408 \, (\mathrm{元}) $
答：至少需要408元购买材料。
【答案】
(1) 3；(2) 408元
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 奇数的概念
3. 有理数混合运算
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题的关键是正确利用三边关系确定第三边的取值范围，注意取值范围的边界不可取等号，再结合限定条件筛选出符合要求的边长，计算总费用时不要漏算任意一种规格的周长，整体侧重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.8

5. $a,b,c$分别为$△ ABC$的三边，且满足$a+b=3c-2,a-b=2c-6.$
(1)求$c$的取值范围；
(2)若$△ ABC$的周长为18，求$c$的值.

解：
(1) 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得
$\begin{cases}a + b ＞ c \\|a - b| ＜ c\end{cases}$
将$a+b=3c-2$，$a-b=2c-6$代入不等式组：
由$3c - 2 ＞ c$，解得$c ＞ 1$；
由$|2c - 6| ＜ c$，得$-c ＜ 2c - 6 ＜ c$：
解$2c - 6 ＜ c$，得$c ＜ 6$；
解$2c - 6 ＞ -c$，得$c ＞ 2$。
综合得$c$的取值范围是$2 ＜ c ＜ 6$。
(2) 由题意知$△ ABC$的周长为$a + b + c = 18$，
将$a + b = 3c - 2$代入得：
$3c - 2 + c = 18$，
$4c = 20$，
解得$c = 5$。
综上，(1) $c$的取值范围是$2＜c＜6$；(2) $c$的值为$5$。

【分析】
(1) 求解c的取值范围需用到三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边。题目已直接给出a+b、a-b关于c的表达式，将其代入三边关系对应的不等式，得到关于c的不等式组，解不等式组取公共解集即可得到c的取值范围。
(2) 三角形周长为三边之和，已知周长为18，可列出等式a+b+c=18，将a+b=3c-2代入该等式，得到关于c的一元一次方程，解方程后验证结果是否符合第一问的取值范围即可。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边，可得不等式组：
$\begin{cases}a + b ＞ c \\|a - b| ＜ c\end{cases}$
将$a+b=3c-2$，$a-b=2c-6$代入上述不等式组：
解$3c - 2 ＞ c$，移项合并同类项得$2c＞2$，解得$c ＞ 1$；
解$|2c - 6| ＜ c$，根据绝对值性质转化为$-c ＜ 2c - 6 ＜ c$：
解$2c - 6 ＜ c$，移项得$c ＜ 6$；
解$2c - 6 ＞ -c$，移项合并同类项得$3c＞6$，解得$c ＞ 2$。
综合所有解集，取公共部分得$c$的取值范围是$2 ＜ c ＜ 6$。
(2) 已知$△ ABC$的周长为18，即$a + b + c = 18$，
将$a + b = 3c - 2$代入得：
$3c - 2 + c = 18$，
合并同类项得$4c = 20$，
解得$c = 5$，经验证5在$2＜c＜6$范围内，符合要求。
【答案】
(1) $2＜c＜6$；(2) $c=5$
【知识点】
三角形三边关系，解一元一次不等式组，一元一次方程的应用
【点评】
本题将三角形性质与不等式、方程计算结合考查，解题核心是准确运用三角形三边关系，注意两边之差小于第三边需带绝对值，避免因忽略符号导致解集错误，求出结果后要验证是否符合取值范围。
【难度系数】
0.7

6. 提升题 如图，P是$△ ABC$内一点，求证：$AB+AC＞PB+PC$.

证明：
延长BP，交AC于点D。
在△ABD中，由三角形两边之和大于第三边，得：
$AB + AD ＞ BD = PB + PD$ ①
在△CPD中，由三角形两边之和大于第三边，得：
$PD + DC ＞ PC$ ②
将①②两式左右两边分别相加，得：
$AB + AD + PD + DC ＞ PB + PD + PC$
两边同时减去PD，可得：
$AB + AD + DC ＞ PB + PC$
因为$AD + DC = AC$，
所以$AB + AC ＞ PB + PC$。

【分析】
要证明$AB+AC＞PB+PC$，我们已学的三角形三边关系是“任意两边之和大于第三边”，但待证的四条线段不在同一个三角形中，因此需要构造辅助线转化线段关系。可延长$BP$交$AC$于点$D$，将待证线段拆分到$△ ABD$和$△ CPD$两个三角形中，分别利用三边关系列出不等式，再将两个不等式相加，消去公共线段$PD$，结合$AD+DC=AC$化简即可得到结论。
【解析】
证明：延长$BP$，交$AC$于点$D$。
在$△ ABD$中，由三角形两边之和大于第三边，得：
$AB + AD ＞ BD = PB + PD$ ①
在$△ CPD$中，由三角形两边之和大于第三边，得：
$PD + DC ＞ PC$ ②
将①②两式左右两边分别相加，得：
$AB + AD + PD + DC ＞ PB + PD + PC$
两边同时减去$PD$，不等号方向不变，可得：
$AB + AD + DC ＞ PB + PC$
因为$AD + DC = AC$，代入上式得：
$AB + AC ＞ PB + PC$
【答案】
证明成立，过程见解析。
【知识点】
三角形三边关系；不等式的基本性质；辅助线构造
【点评】
本题是三角形三边关系应用的典型提升题型，核心是通过构造辅助线将分散的待比较线段归入不同三角形中，结合不等式运算推导结论，能够有效锻炼几何逻辑推理能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.6