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1.三角形可以按内角的大小分类如下：
三角形$\begin{cases}锐角三角形 \\? \\钝角三角形\end{cases}$
其中“？”处是。
三角形$\begin{cases}锐角三角形 \\? \\钝角三角形\end{cases}$
其中“？”处是。
答案
解：三角形按内角的大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
因此“？”处是直角三角形。
因此“？”处是直角三角形。
解析
【分析】
解题时首先明确本题考查三角形按内角大小的分类知识点，先回忆分类依据：我们根据三角形中最大内角的类型对三角形进行划分，若最大内角是锐角则为锐角三角形，最大内角是直角则为直角三角形，最大内角是钝角则为钝角三角形，对照题干给出的两类，就能找到缺失的类别。
【解析】
三角形按内角的大小可分为三类：
1. 三个内角都为锐角的三角形叫做锐角三角形；
2. 有一个内角为直角的三角形叫做直角三角形；
3. 有一个内角为钝角的三角形叫做钝角三角形。
对照题干给出的分类，缺失的是直角三角形，因此“？”处填直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
三角形的按角分类
【点评】
本题是基础概念题，主要考察对三角形分类相关基础知识点的识记能力，熟练记忆分类内容即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确本题考查三角形按内角大小的分类知识点，先回忆分类依据：我们根据三角形中最大内角的类型对三角形进行划分，若最大内角是锐角则为锐角三角形，最大内角是直角则为直角三角形，最大内角是钝角则为钝角三角形，对照题干给出的两类，就能找到缺失的类别。
【解析】
三角形按内角的大小可分为三类：
1. 三个内角都为锐角的三角形叫做锐角三角形；
2. 有一个内角为直角的三角形叫做直角三角形；
3. 有一个内角为钝角的三角形叫做钝角三角形。
对照题干给出的分类，缺失的是直角三角形，因此“？”处填直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
三角形的按角分类
【点评】
本题是基础概念题，主要考察对三角形分类相关基础知识点的识记能力，熟练记忆分类内容即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2.如图，以BD为边的三角形是；以∠DAC为一个内角的三角形是；△AED的三个内角是。
答案
解：
以BD为边的三角形是$△ ABD$；
以$∠ DAC$为一个内角的三角形是$△ ADC$；
$△ AED$的三个内角是$∠ DAE$、$∠ ADE$、$∠ AED$。
以BD为边的三角形是$△ ABD$；
以$∠ DAC$为一个内角的三角形是$△ ADC$；
$△ AED$的三个内角是$∠ DAE$、$∠ ADE$、$∠ AED$。
解析
【分析】
解题时需紧扣三角形的边、内角的定义逐步分析：
1. 找以某条线段为边的三角形：只需确认这条线段作为边，和哪个额外的点能构成封闭的三角形即可；
2. 找以某个角为内角的三角形：需确认这个角是哪个三角形内部相邻两边夹成的角；
3. 找某个三角形的三个内角：只需依次写出这个三角形三个顶点处，由两条边夹成的角即可。
首先看BD为边的情况：BD的端点是B、D，和点A可组成△ABD；再看∠DAC：它由AD、AC夹成，属于△ADC的内角；最后看△AED的内角，对应三个顶点A、E、D处的夹角即可。
【解析】
1. 根据三角形边的定义，线段BD是△ABD的一条边，因此以BD为边的三角形是$△ ABD$；
2. 根据三角形内角的定义，$∠ DAC$是$△ ADC$中顶点A处的内角，因此以$∠ DAC$为一个内角的三角形是$△ ADC$；
3. $△ AED$的三个顶点为A、E、D，对应三个内角分别是顶点A处的$∠ DAE$、顶点E处的$∠ AED$、顶点D处的$∠ ADE$。
【答案】
$△ ABD$；$△ ADC$；$∠ DAE$、$∠ ADE$、$∠ AED$
【知识点】
三角形的定义，三角形的边，三角形的内角
【点评】
本题是基础概念考查题，只要熟练掌握三角形的边、内角的相关定义，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时需紧扣三角形的边、内角的定义逐步分析：
1. 找以某条线段为边的三角形：只需确认这条线段作为边，和哪个额外的点能构成封闭的三角形即可；
2. 找以某个角为内角的三角形：需确认这个角是哪个三角形内部相邻两边夹成的角；
3. 找某个三角形的三个内角：只需依次写出这个三角形三个顶点处，由两条边夹成的角即可。
首先看BD为边的情况：BD的端点是B、D，和点A可组成△ABD；再看∠DAC：它由AD、AC夹成，属于△ADC的内角；最后看△AED的内角，对应三个顶点A、E、D处的夹角即可。
【解析】
1. 根据三角形边的定义，线段BD是△ABD的一条边，因此以BD为边的三角形是$△ ABD$；
2. 根据三角形内角的定义，$∠ DAC$是$△ ADC$中顶点A处的内角，因此以$∠ DAC$为一个内角的三角形是$△ ADC$；
3. $△ AED$的三个顶点为A、E、D，对应三个内角分别是顶点A处的$∠ DAE$、顶点E处的$∠ AED$、顶点D处的$∠ ADE$。
【答案】
$△ ABD$；$△ ADC$；$∠ DAE$、$∠ ADE$、$∠ AED$
【知识点】
三角形的定义，三角形的边，三角形的内角
【点评】
本题是基础概念考查题，只要熟练掌握三角形的边、内角的相关定义，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
3.如图，直线$ l $经过$ A,B,C,D,E $五点，$ P $是直线$ l $外一点，连接$ PA,PB,PC,PD,PE $，图中共有个三角形。
答案
解：图中所有三角形都以点P为公共顶点，另外两个顶点都在直线l上，因此三角形的总个数等于直线l上A、B、C、D、E五点构成的线段的总条数。
直线l上的线段总数为：$4+3+2+1=10$。
所以图中共有$\boldsymbol{10}$个三角形。
直线l上的线段总数为：$4+3+2+1=10$。
所以图中共有$\boldsymbol{10}$个三角形。
解析
【分析】
要计算图中三角形的个数，首先观察三角形的构成特征：所有三角形都有公共顶点P，剩余两个顶点都在直线l上。根据三角形的定义，每一组不在同一直线的三个点可构成一个三角形，因此数三角形的个数可转化为数直线l上线段的条数，每一条线段与点P搭配就能形成一个三角形，这样能避免直接数三角形出现重复或遗漏。数线段时按照左端点有序计数，先数A为端点的线段，再依次数B、C、D为端点的不重复线段，求和即可得到总个数。
【解析】
观察图形可知，图中所有三角形都以点P为公共顶点，另外两个顶点都在直线l上，因此三角形的总个数等于直线l上A、B、C、D、E五点构成的线段的总条数。
对直线l上的线段进行有序计数：
以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE，共4条；
以B为左端点的不重复线段有BC、BD、BE，共3条；
以C为左端点的不重复线段有CD、CE，共2条；
以D为左端点的不重复线段有DE，共1条；
线段总条数为$4+3+2+1=10$，因此图中三角形的总个数为10。
【答案】
10
【知识点】
三角形的定义；线段的计数
【点评】
本题将三角形计数转化为线段计数，运用了转化的数学思想，考查有序计数的能力，避免直接数图形时出现重复或遗漏的问题，属于基础题型，掌握有序计数的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要计算图中三角形的个数，首先观察三角形的构成特征：所有三角形都有公共顶点P，剩余两个顶点都在直线l上。根据三角形的定义，每一组不在同一直线的三个点可构成一个三角形，因此数三角形的个数可转化为数直线l上线段的条数，每一条线段与点P搭配就能形成一个三角形，这样能避免直接数三角形出现重复或遗漏。数线段时按照左端点有序计数，先数A为端点的线段，再依次数B、C、D为端点的不重复线段，求和即可得到总个数。
【解析】
观察图形可知，图中所有三角形都以点P为公共顶点，另外两个顶点都在直线l上，因此三角形的总个数等于直线l上A、B、C、D、E五点构成的线段的总条数。
对直线l上的线段进行有序计数：
以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE，共4条；
以B为左端点的不重复线段有BC、BD、BE，共3条；
以C为左端点的不重复线段有CD、CE，共2条；
以D为左端点的不重复线段有DE，共1条；
线段总条数为$4+3+2+1=10$，因此图中三角形的总个数为10。
【答案】
10
【知识点】
三角形的定义；线段的计数
【点评】
本题将三角形计数转化为线段计数，运用了转化的数学思想，考查有序计数的能力，避免直接数图形时出现重复或遗漏的问题，属于基础题型，掌握有序计数的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$△ ABC$中,点$D,E$在线段$BC$上,$AB=AC,AD=BD=AE=EC=DE$.找出图中的等腰三角形和等边三角形.
答案
解：
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形。
∵ AD=BD，
∴ △ABD是等腰三角形。
∵ AE=EC，
∴ △AEC是等腰三角形。
∵ AD=AE，
∴ △ADE是等腰三角形。
∵ AD=DE=AE，
∴ △ADE是等边三角形。
综上，图中的等腰三角形是$△ ABC$、$△ ABD$、$△ ADE$、$△ AEC$；等边三角形是$△ ADE$。
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形。
∵ AD=BD，
∴ △ABD是等腰三角形。
∵ AE=EC，
∴ △AEC是等腰三角形。
∵ AD=AE，
∴ △ADE是等腰三角形。
∵ AD=DE=AE，
∴ △ADE是等边三角形。
综上，图中的等腰三角形是$△ ABC$、$△ ABD$、$△ ADE$、$△ AEC$；等边三角形是$△ ADE$。
解析
【分析】
要解决本题，首先明确判定依据：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形。首先找出图中所有的三角形，再结合题目给出的边相等的条件，逐个对应判断每个三角形的类型即可。
【解析】
∵ $AB=AC$，
∴ $△ABC$是等腰三角形。
∵ $AD=BD$，
∴ $△ABD$是等腰三角形。
∵ $AE=EC$，
∴ $△AEC$是等腰三角形。
∵ $AD=AE$，
∴ $△ADE$是等腰三角形。
∵ $AD=DE=AE$，
∴ $△ADE$是等边三角形。
【答案】
等腰三角形是$△ ABC$、$△ ABD$、$△ ADE$、$△ AEC$；等边三角形是$△ ADE$。
【知识点】
等腰三角形的判定，等边三角形的判定
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考查等腰、等边三角形的判定定义，解题时结合已知的边相等条件逐一排查所有三角形即可，注意不要遗漏$△ADE$同时属于等腰三角形和等边三角形的情况。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先明确判定依据：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形。首先找出图中所有的三角形，再结合题目给出的边相等的条件，逐个对应判断每个三角形的类型即可。
【解析】
∵ $AB=AC$，
∴ $△ABC$是等腰三角形。
∵ $AD=BD$，
∴ $△ABD$是等腰三角形。
∵ $AE=EC$，
∴ $△AEC$是等腰三角形。
∵ $AD=AE$，
∴ $△ADE$是等腰三角形。
∵ $AD=DE=AE$，
∴ $△ADE$是等边三角形。
【答案】
等腰三角形是$△ ABC$、$△ ABD$、$△ ADE$、$△ AEC$；等边三角形是$△ ADE$。
【知识点】
等腰三角形的判定，等边三角形的判定
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考查等腰、等边三角形的判定定义，解题时结合已知的边相等条件逐一排查所有三角形即可，注意不要遗漏$△ADE$同时属于等腰三角形和等边三角形的情况。
【难度系数】
0.85
5.如图,过A,B,C,D,E五个点中的任意三点画三角形.
(1)以AB为边画三角形,能画几个?
写出各三角形的名称.
(2)分别指出(1)中画出的三角形,哪些是等腰三角形,哪些是钝角三角形.
(1)以AB为边画三角形,能画几个?
写出各三角形的名称.
(2)分别指出(1)中画出的三角形,哪些是等腰三角形,哪些是钝角三角形.
答案
解：
(1) 能画3个，分别是$△ ABE$，$△ ABD$，$△ ABC$。
(2) 等腰三角形：$△ ABD$；
钝角三角形：$△ ABE$，$△ ABC$。
(1) 能画3个，分别是$△ ABE$，$△ ABD$，$△ ABC$。
(2) 等腰三角形：$△ ABD$；
钝角三角形：$△ ABE$，$△ ABC$。
解析
【分析】
（1）要画以AB为边的三角形，只需确定第三个顶点即可，剩余可选的点为E、D、C共3个，因此可画出3个三角形，依次写出对应三角形名称即可。
（2）判断等腰三角形和钝角三角形时，可先设每个小方格的边长为1，通过勾股定理计算各三角形边长：若有两边长度相等即为等腰三角形；若三角形两条较短边的平方和小于最长边的平方，则该三角形为钝角三角形，据此逐一判断即可。
【解析】
(1) 以AB为边时，第三个顶点可选取E、D、C三个点，因此能画3个三角形，分别是$△ ABE$，$△ ABD$，$△ ABC$。
(2) 设网格中每个小方格的边长为1：
① 计算$△ ABD$的边长：$AB=2$，$AD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，可得$AD=BD$，因此$△ ABD$是等腰三角形。
② 对$△ ABE$，其三边为$AB=2$，$AE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BE=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，满足$AB^2+AE^2=4+5=9＜13=BE^2$，故$∠ BAE$为钝角，$△ ABE$是钝角三角形。
③ 对$△ ABC$，其三边为$AB=2$，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，满足$AB^2+BC^2=4+2=6＜10=AC^2$，故$∠ ABC$为钝角，$△ ABC$是钝角三角形。
【答案】
(1) 能画3个，分别是$△ ABE$，$△ ABD$，$△ ABC$。
(2) 等腰三角形：$△ ABD$；钝角三角形：$△ ABE$，$△ ABC$。
【知识点】
三角形的概念，等腰三角形的判定，钝角三角形的判定
【点评】
本题考查三角形的基础分类相关知识，解题时需按顺序选取第三个顶点避免漏解，结合网格特征用勾股定理计算边长即可快速判断三角形类型，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
（1）要画以AB为边的三角形，只需确定第三个顶点即可，剩余可选的点为E、D、C共3个，因此可画出3个三角形，依次写出对应三角形名称即可。
（2）判断等腰三角形和钝角三角形时，可先设每个小方格的边长为1，通过勾股定理计算各三角形边长：若有两边长度相等即为等腰三角形；若三角形两条较短边的平方和小于最长边的平方，则该三角形为钝角三角形，据此逐一判断即可。
【解析】
(1) 以AB为边时，第三个顶点可选取E、D、C三个点，因此能画3个三角形，分别是$△ ABE$，$△ ABD$，$△ ABC$。
(2) 设网格中每个小方格的边长为1：
① 计算$△ ABD$的边长：$AB=2$，$AD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，可得$AD=BD$，因此$△ ABD$是等腰三角形。
② 对$△ ABE$，其三边为$AB=2$，$AE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BE=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，满足$AB^2+AE^2=4+5=9＜13=BE^2$，故$∠ BAE$为钝角，$△ ABE$是钝角三角形。
③ 对$△ ABC$，其三边为$AB=2$，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，满足$AB^2+BC^2=4+2=6＜10=AC^2$，故$∠ ABC$为钝角，$△ ABC$是钝角三角形。
【答案】
(1) 能画3个，分别是$△ ABE$，$△ ABD$，$△ ABC$。
(2) 等腰三角形：$△ ABD$；钝角三角形：$△ ABE$，$△ ABC$。
【知识点】
三角形的概念，等腰三角形的判定，钝角三角形的判定
【点评】
本题考查三角形的基础分类相关知识，解题时需按顺序选取第三个顶点避免漏解，结合网格特征用勾股定理计算边长即可快速判断三角形类型，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
6. 提升题 观察以下图形，解答下列问题.
(1)图②有个三角形，图③有个三角形，图④有个三角形……猜测图⑦中共有个三角形.
(2)按上面的方法继续数下去，第n个图形中有个三角形(用含n的代数式表示).
(1)图②有个三角形，图③有个三角形，图④有个三角形……猜测图⑦中共有个三角形.
(2)按上面的方法继续数下去，第n个图形中有个三角形(用含n的代数式表示).
答案
(1) $\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{7}$，$\boldsymbol{13}$
(2) $\boldsymbol{2n-1}$
(2) $\boldsymbol{2n-1}$
解析
【分析】
解题时先按顺序数出前4个图形中三角形的个数，对比图形序号和对应三角形的数量，寻找二者的变化规律：观察可知相邻两个图形，后一个比前一个多2个三角形，符合等差数列的特征，再利用规律推导图⑦的数量和第n个图形的通用表达式即可。
【解析】
(1) 逐个数三角形：
图②中，2个小三角形+1个大三角形，共3个三角形；
图③中，在图②基础上左边新增2个小三角形，共$3+2=5$个三角形；
图④中，在图③基础上左边再新增2个小三角形，共$5+2=7$个三角形；
总结规律：第$k$个图形的三角形个数为$2k-1$，因此图⑦即$k=7$时，个数为$2×7-1=13$。
(2) 由上述规律可得，第$n$个图形中三角形的个数为$2n-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{7}$，$\boldsymbol{13}$
(2) $\boldsymbol{2n-1}$
【知识点】
图形规律探究，三角形的识别，列代数式
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，解题核心是准确计数基础图形的数量，归纳出数量与序号的对应关系，能有效锻炼观察和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先按顺序数出前4个图形中三角形的个数，对比图形序号和对应三角形的数量，寻找二者的变化规律：观察可知相邻两个图形，后一个比前一个多2个三角形，符合等差数列的特征，再利用规律推导图⑦的数量和第n个图形的通用表达式即可。
【解析】
(1) 逐个数三角形：
图②中，2个小三角形+1个大三角形，共3个三角形；
图③中，在图②基础上左边新增2个小三角形，共$3+2=5$个三角形；
图④中，在图③基础上左边再新增2个小三角形，共$5+2=7$个三角形；
总结规律：第$k$个图形的三角形个数为$2k-1$，因此图⑦即$k=7$时，个数为$2×7-1=13$。
(2) 由上述规律可得，第$n$个图形中三角形的个数为$2n-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{7}$，$\boldsymbol{13}$
(2) $\boldsymbol{2n-1}$
【知识点】
图形规律探究，三角形的识别，列代数式
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，解题核心是准确计数基础图形的数量，归纳出数量与序号的对应关系，能有效锻炼观察和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
