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1.如图，若D，E是边AC的三等分点，则BD是的中线。
答案
$\boldsymbol{△ ABE}$
解析
【分析】
首先明确三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。解题时先结合D、E是AC三等分点的条件，找到BD的端点D是哪条线段的中点，再判断这条线段属于哪个三角形的边，即可确定BD是哪个三角形的中线。
【解析】
已知D、E是边AC的三等分点，因此有$AD=DE=EC$，由此可得D是线段AE的中点。
根据三角形中线的定义，点B是$△ ABE$的一个顶点，D是$△ ABE$中边AE的中点，因此线段BD是$△ ABE$的中线。
【答案】
$△ ABE$
【知识点】
三角形中线的定义；线段三等分点的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对三角形中线定义的理解与应用，解题时需结合已知条件准确找到线段中点对应的三角形边，避免混淆对应三角形。
【难度系数】
0.9
首先明确三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。解题时先结合D、E是AC三等分点的条件，找到BD的端点D是哪条线段的中点，再判断这条线段属于哪个三角形的边，即可确定BD是哪个三角形的中线。
【解析】
已知D、E是边AC的三等分点，因此有$AD=DE=EC$，由此可得D是线段AE的中点。
根据三角形中线的定义，点B是$△ ABE$的一个顶点，D是$△ ABE$中边AE的中点，因此线段BD是$△ ABE$的中线。
【答案】
$△ ABE$
【知识点】
三角形中线的定义；线段三等分点的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对三角形中线定义的理解与应用，解题时需结合已知条件准确找到线段中点对应的三角形边，避免混淆对应三角形。
【难度系数】
0.9
2.如图,在$△ ABC$中,AF是中线,AD是角平分线,AE是高.请解答下列问题:
(1)$BF=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}$;
(2)$∠ BAD=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}$;
(3)$∠ AEB=$$=90°$;
(4)$S_{△ ABC}=$.
(1)$BF=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}$;
(2)$∠ BAD=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}$;
(3)$∠ AEB=$$=90°$;
(4)$S_{△ ABC}=$.
答案
(1) $FC$，$BC$
(2) $∠ CAD$，$∠ BAC$
(3) $∠ AEC$
(4) $\frac{1}{2}BC· AE$
(2) $∠ CAD$，$∠ BAC$
(3) $∠ AEC$
(4) $\frac{1}{2}BC· AE$
解析
【分析】
本题考查三角形中线、角平分线、高的定义以及三角形面积公式，解题时结合各线段的定义逐一分析即可：
1. 解决第(1)问需回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，中线平分对边；
2. 解决第(2)问需回忆三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线，角平分线平分对应内角；
3. 解决第(3)问需回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，高与对边的夹角为直角；
4. 解决第(4)问直接运用三角形面积公式：三角形面积=$\frac{1}{2}$×底×对应高。
【解析】
(1) 因为AF是$△ ABC$的中线，所以F是BC的中点，因此$BF=FC=\frac{1}{2}BC$；
(2) 因为AD是$△ ABC$的角平分线，所以AD平分$∠ BAC$，因此$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$；
(3) 因为AE是$△ ABC$的高，所以$AE⊥ BC$，因此$∠ AEB=∠ AEC=90°$；
(4) 根据三角形面积公式，以BC为底，AE为底BC对应的高，可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE$。
【答案】
(1) $FC$，$BC$
(2) $∠ CAD$，$∠ BAC$
(3) $∠ AEC$
(4) $\frac{1}{2}BC· AE$
【知识点】
三角形的中线，三角形的角平分线，三角形面积公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要围绕三角形的三类重要线段的性质设置问题，只要熟练掌握相关基础定义和公式，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形中线、角平分线、高的定义以及三角形面积公式，解题时结合各线段的定义逐一分析即可：
1. 解决第(1)问需回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，中线平分对边；
2. 解决第(2)问需回忆三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线，角平分线平分对应内角；
3. 解决第(3)问需回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，高与对边的夹角为直角；
4. 解决第(4)问直接运用三角形面积公式：三角形面积=$\frac{1}{2}$×底×对应高。
【解析】
(1) 因为AF是$△ ABC$的中线，所以F是BC的中点，因此$BF=FC=\frac{1}{2}BC$；
(2) 因为AD是$△ ABC$的角平分线，所以AD平分$∠ BAC$，因此$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$；
(3) 因为AE是$△ ABC$的高，所以$AE⊥ BC$，因此$∠ AEB=∠ AEC=90°$；
(4) 根据三角形面积公式，以BC为底，AE为底BC对应的高，可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE$。
【答案】
(1) $FC$，$BC$
(2) $∠ CAD$，$∠ BAC$
(3) $∠ AEC$
(4) $\frac{1}{2}BC· AE$
【知识点】
三角形的中线，三角形的角平分线，三角形面积公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要围绕三角形的三类重要线段的性质设置问题，只要熟练掌握相关基础定义和公式，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
3.据图解答下列问题.
(1)在$△ ABC$中，$BC$边上的高是；
(2)在$△ AEC$中，$AE$边上的高是。
(1)在$△ ABC$中，$BC$边上的高是；
(2)在$△ AEC$中，$AE$边上的高是。
答案
解：
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。
(1) 在$△ ABC$中，$BC$边所对的顶点为$A$，$AB⊥ BC$，因此$BC$边上的高是$AB$；
(2) 在$△ AEC$中，$AE$边所对的顶点为$C$，$CD⊥ AE$所在直线，因此$AE$边上的高是$CD$。
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。
(1) 在$△ ABC$中，$BC$边所对的顶点为$A$，$AB⊥ BC$，因此$BC$边上的高是$AB$；
(2) 在$△ AEC$中，$AE$边所对的顶点为$C$，$CD⊥ AE$所在直线，因此$AE$边上的高是$CD$。
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高。解决第(1)问时，先确定△ABC中BC边对应的顶点是A，再找从A向BC边作的垂线段，观察图形可知AB⊥BC，因此AB就是BC边上的高；解决第(2)问时，先确定△AEC中AE边对应的顶点是C，再找从C向AE所在直线作的垂线段，观察图形可知CD垂直于AE的延长线，因此CD就是AE边上的高。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。
(1) 在$△ ABC$中，$BC$边所对的顶点为$A$，由图可知$AB⊥ BC$，因此$BC$边上的高是$AB$；
(2) 在$△ AEC$中，$AE$边所对的顶点为$C$，由图可知$CD⊥ AE$所在直线，因此$AE$边上的高是$CD$。
【答案】
(1)$AB$；(2)$CD$
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是准确理解三角形高的定义，注意高是对应顶点到对边所在直线的垂线段，即使垂足落在边的延长线上，只要满足垂直关系，也属于该边上的高。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高。解决第(1)问时，先确定△ABC中BC边对应的顶点是A，再找从A向BC边作的垂线段，观察图形可知AB⊥BC，因此AB就是BC边上的高；解决第(2)问时，先确定△AEC中AE边对应的顶点是C，再找从C向AE所在直线作的垂线段，观察图形可知CD垂直于AE的延长线，因此CD就是AE边上的高。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。
(1) 在$△ ABC$中，$BC$边所对的顶点为$A$，由图可知$AB⊥ BC$，因此$BC$边上的高是$AB$；
(2) 在$△ AEC$中，$AE$边所对的顶点为$C$，由图可知$CD⊥ AE$所在直线，因此$AE$边上的高是$CD$。
【答案】
(1)$AB$；(2)$CD$
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是准确理解三角形高的定义，注意高是对应顶点到对边所在直线的垂线段，即使垂足落在边的延长线上，只要满足垂直关系，也属于该边上的高。
【难度系数】
0.9
4.如图，AB⊥BC于点B，∠ABD=40°。若BE是△BCD的角平分线，则∠ABE的度数是。
答案
$\boldsymbol{65°}$
解析
【分析】
解题先从已知条件入手：首先由AB⊥BC可得∠ABC是直角，度数为90°，结合已知的∠ABD=40°，先计算出∠DBC的度数；再根据BE是△BCD的角平分线，利用角平分线的性质算出∠DBE的度数；最后∠ABE由∠ABD和∠DBE组成，将两个角度相加即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵AB⊥BC
∴∠ABC=90°（垂直的定义）
∵∠ABD=40°
∴∠DBC=∠ABC - ∠ABD=90° - 40°=50°
∵BE是△BCD的角平分线
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠DBC=$\frac{1}{2}$×50°=25°
∴∠ABE=∠ABD + ∠DBE=40° + 25°=65°
【答案】
$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
垂直的定义；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题属于基础的角度运算题，解题核心是理清图中各个角之间的和差关系，结合垂直、角平分线的性质即可求解，对逻辑推导能力要求较低。
【难度系数】
0.8
解题先从已知条件入手：首先由AB⊥BC可得∠ABC是直角，度数为90°，结合已知的∠ABD=40°，先计算出∠DBC的度数；再根据BE是△BCD的角平分线，利用角平分线的性质算出∠DBE的度数；最后∠ABE由∠ABD和∠DBE组成，将两个角度相加即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵AB⊥BC
∴∠ABC=90°（垂直的定义）
∵∠ABD=40°
∴∠DBC=∠ABC - ∠ABD=90° - 40°=50°
∵BE是△BCD的角平分线
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠DBC=$\frac{1}{2}$×50°=25°
∴∠ABE=∠ABD + ∠DBE=40° + 25°=65°
【答案】
$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
垂直的定义；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题属于基础的角度运算题，解题核心是理清图中各个角之间的和差关系，结合垂直、角平分线的性质即可求解，对逻辑推导能力要求较低。
【难度系数】
0.8
5.如图，O是$△ ABC$的重心，延长AO，交BC于点D，延长BO，交AC于点E.若$BC=6$，$AC=4$，则$BD+AE=$.
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形重心的定义：三角形的重心是三条中线的交点，由此可得AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线；再根据三角形中线平分对边的性质，分别求出BD和AE的长度，最后求和即可得到结果。
【解析】
解：
∵O是△ABC的重心
∴AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线
即D为BC的中点，E为AC的中点
∴$BD = \frac{1}{2}BC$，$AE = \frac{1}{2}AC$
又
∵$BC=6$，$AC=4$
∴$BD = \frac{1}{2}×6 = 3$，$AE = \frac{1}{2}×4 = 2$
∴$BD+AE = 3+2 = 5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
三角形重心的性质，三角形中线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用三角形重心与中线的关系，结合中线平分对边的性质计算，熟练掌握基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形重心的定义：三角形的重心是三条中线的交点，由此可得AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线；再根据三角形中线平分对边的性质，分别求出BD和AE的长度，最后求和即可得到结果。
【解析】
解：
∵O是△ABC的重心
∴AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线
即D为BC的中点，E为AC的中点
∴$BD = \frac{1}{2}BC$，$AE = \frac{1}{2}AC$
又
∵$BC=6$，$AC=4$
∴$BD = \frac{1}{2}×6 = 3$，$AE = \frac{1}{2}×4 = 2$
∴$BD+AE = 3+2 = 5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
三角形重心的性质，三角形中线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用三角形重心与中线的关系，结合中线平分对边的性质计算，熟练掌握基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6. 提升题 如图，$∠ 1 = ∠ ACB$，$∠ 2 = ∠ 3$，$FH ⊥ AB$于点$H$. 试说明$CD$是$△ ABC$的高.
答案
证明：
∵ ∠1 = ∠ACB，
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2 = ∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
又∵ ∠2 = ∠3，
∴ ∠3 = ∠BCD，
∴ HF//CD（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠CDB = ∠FHB。
∵ FH⊥AB，
∴ ∠FHB = 90°，
∴ ∠CDB = 90°，即CD⊥AB。
∴ CD是△ABC的高。
∵ ∠1 = ∠ACB，
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2 = ∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
又∵ ∠2 = ∠3，
∴ ∠3 = ∠BCD，
∴ HF//CD（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠CDB = ∠FHB。
∵ FH⊥AB，
∴ ∠FHB = 90°，
∴ ∠CDB = 90°，即CD⊥AB。
∴ CD是△ABC的高。
解析
【分析】
要说明CD是△ABC的高，核心是证明CD⊥AB。已知FH⊥AB，因此只需推导CD与FH平行即可：第一步先根据∠1=∠ACB判定DE//BC，得到∠2与∠BCD相等；第二步结合已知∠2=∠3，推出∠3=∠BCD，即可判定HF//CD；第三步根据平行线的性质得到∠CDB与∠FHB相等，结合FH⊥AB的条件得到∠CDB=90°，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠1 = ∠ACB，
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2 = ∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠2 = ∠3，
∴ ∠3 = ∠BCD，
∴ HF//CD（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠CDB = ∠FHB。
∵ FH⊥AB，
∴ ∠FHB = 90°，
∴ ∠CDB = 90°，即CD⊥AB。
∴ CD是△ABC的高。
【答案】
CD是△ABC的高
【知识点】
平行线的判定与性质、垂直的定义、三角形高的定义
【点评】
本题是典型的几何逻辑推导题，重点考查平行线的判定和性质的综合运用，解题时需要紧扣目标梳理角与线的关系，逐步推导得到结论，能够有效锻炼逻辑推理能力，解题时需注意区分平行线的判定定理和性质定理，避免混淆使用。
【难度系数】
0.6
要说明CD是△ABC的高，核心是证明CD⊥AB。已知FH⊥AB，因此只需推导CD与FH平行即可：第一步先根据∠1=∠ACB判定DE//BC，得到∠2与∠BCD相等；第二步结合已知∠2=∠3，推出∠3=∠BCD，即可判定HF//CD；第三步根据平行线的性质得到∠CDB与∠FHB相等，结合FH⊥AB的条件得到∠CDB=90°，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠1 = ∠ACB，
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2 = ∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠2 = ∠3，
∴ ∠3 = ∠BCD，
∴ HF//CD（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠CDB = ∠FHB。
∵ FH⊥AB，
∴ ∠FHB = 90°，
∴ ∠CDB = 90°，即CD⊥AB。
∴ CD是△ABC的高。
【答案】
CD是△ABC的高
【知识点】
平行线的判定与性质、垂直的定义、三角形高的定义
【点评】
本题是典型的几何逻辑推导题，重点考查平行线的判定和性质的综合运用，解题时需要紧扣目标梳理角与线的关系，逐步推导得到结论，能够有效锻炼逻辑推理能力，解题时需注意区分平行线的判定定理和性质定理，避免混淆使用。
【难度系数】
0.6
