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7. 如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫作格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形. 图中△ABC是格点三角形，请你找出方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形，这样的三角形共有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
D
）（△ABC除外）.A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
7. D
解析
【分析】
要解决本题，首先想到用SSS判定全等三角形，因为格点中可以通过勾股定理方便计算边长。解题步骤可分为三步：第一步，设小正方形边长为1，利用勾股定理计算出△ABC的三边长，明确目标三角形的三边长度；第二步，固定A为顶点，按不同方向逐一枚举格点，验证组成的三角形三边是否与△ABC三边对应相等；第三步，排除△ABC本身，统计符合要求的三角形数量即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算△ABC的三边长：
AB=1，AC=√(1²+1²)=√2，BC=√(2²+1²)=√5。
根据全等三角形SSS判定定理，我们需要找到以A为顶点，三边长分别为1、√2、√5的格点三角形，且排除△ABC本身。
通过有序枚举格点、逐一验证边长，可得出符合条件的三角形共有5个。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定，格点三角形性质
【点评】
本题需要结合勾股定理计算格点线段长度，再用全等判定条件筛选符合要求的三角形，解题时要注意按顺序枚举，避免漏数、多数，同时不要忘记排除题干给出的△ABC本身。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先想到用SSS判定全等三角形，因为格点中可以通过勾股定理方便计算边长。解题步骤可分为三步：第一步，设小正方形边长为1，利用勾股定理计算出△ABC的三边长，明确目标三角形的三边长度；第二步，固定A为顶点，按不同方向逐一枚举格点，验证组成的三角形三边是否与△ABC三边对应相等；第三步，排除△ABC本身，统计符合要求的三角形数量即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算△ABC的三边长：
AB=1，AC=√(1²+1²)=√2，BC=√(2²+1²)=√5。
根据全等三角形SSS判定定理，我们需要找到以A为顶点，三边长分别为1、√2、√5的格点三角形，且排除△ABC本身。
通过有序枚举格点、逐一验证边长，可得出符合条件的三角形共有5个。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定，格点三角形性质
【点评】
本题需要结合勾股定理计算格点线段长度，再用全等判定条件筛选符合要求的三角形，解题时要注意按顺序枚举，避免漏数、多数，同时不要忘记排除题干给出的△ABC本身。
【难度系数】
0.6
8. 如图7，$CD ⊥ AB$于点D，$BE ⊥ AC$于点E，BE与CD交于点O，$OB=OC$，则图中全等的直角三角形共有（
A.5对
B.4对
C.3对
D.2对
C
）。A.5对
B.4对
C.3对
D.2对
答案
8. C
解析
【分析】
要找出图中全等的直角三角形，首先先明确所有的直角三角形，再结合已知条件逐步推导：首先已知OB=OC，CD⊥AB、BE⊥AC，有直角相等和对顶角相等，可先证最下方的两个小直角三角形全等；再利用全等得到的边相等，证中间靠上的两个小直角三角形全等；最后利用前两次全等得到的边相等，证最大的两个直角三角形全等，注意排除非直角的全等三角形，不要多算。
【解析】
解：图中的直角三角形有△BOD、△COE、△ADO、△AEO、△ABE、△ACD，逐一判定全等：
1. 证$△ BOD ≌ △ COE$：
∵$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，
∴$∠ BDO = ∠ CEO = 90°$，
在$△ BOD$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ BDO = ∠ CEO \\∠ DOB = ∠ EOC \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\OB = OC\end{cases}$
∴$△ BOD ≌ △ COE$（AAS）；
由全等可得：$OD=OE$，$BD=CE$。
2. 证$\mathrm{Rt}△ ADO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO$：
在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中：
$\begin{cases}AO = AO \quad (\mathrm{公共边}) \\OD = OE \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO$（HL）；
由全等可得：$AD=AE$。
3. 证$△ ABE ≌ △ ACD$：
∵$AB = AD + BD$，$AC = AE + CE$，结合$AD=AE$、$BD=CE$，可得$AB=AC$，
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ AEB = ∠ ADC = 90° \\∠ BAE = ∠ CAD \quad (\mathrm{公共角}) \\AB = AC\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ ACD$（AAS）。
其余三角形如$△ ABO$和$△ ACO$不是直角三角形，不计入。综上，全等的直角三角形共3对。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定、直角三角形全等判定、对顶角的性质
【点评】
本题解题的关键是明确判定范围为直角三角形，需要结合已知条件逐层推导全等，避免多算非直角的全等三角形，也不要漏找符合条件的全等三角形。
【难度系数】
0.7
要找出图中全等的直角三角形，首先先明确所有的直角三角形，再结合已知条件逐步推导：首先已知OB=OC，CD⊥AB、BE⊥AC，有直角相等和对顶角相等，可先证最下方的两个小直角三角形全等；再利用全等得到的边相等，证中间靠上的两个小直角三角形全等；最后利用前两次全等得到的边相等，证最大的两个直角三角形全等，注意排除非直角的全等三角形，不要多算。
【解析】
解：图中的直角三角形有△BOD、△COE、△ADO、△AEO、△ABE、△ACD，逐一判定全等：
1. 证$△ BOD ≌ △ COE$：
∵$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，
∴$∠ BDO = ∠ CEO = 90°$，
在$△ BOD$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ BDO = ∠ CEO \\∠ DOB = ∠ EOC \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\OB = OC\end{cases}$
∴$△ BOD ≌ △ COE$（AAS）；
由全等可得：$OD=OE$，$BD=CE$。
2. 证$\mathrm{Rt}△ ADO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO$：
在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中：
$\begin{cases}AO = AO \quad (\mathrm{公共边}) \\OD = OE \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO$（HL）；
由全等可得：$AD=AE$。
3. 证$△ ABE ≌ △ ACD$：
∵$AB = AD + BD$，$AC = AE + CE$，结合$AD=AE$、$BD=CE$，可得$AB=AC$，
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ AEB = ∠ ADC = 90° \\∠ BAE = ∠ CAD \quad (\mathrm{公共角}) \\AB = AC\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ ACD$（AAS）。
其余三角形如$△ ABO$和$△ ACO$不是直角三角形，不计入。综上，全等的直角三角形共3对。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定、直角三角形全等判定、对顶角的性质
【点评】
本题解题的关键是明确判定范围为直角三角形，需要结合已知条件逐层推导全等，避免多算非直角的全等三角形，也不要漏找符合条件的全等三角形。
【难度系数】
0.7
9. 如图8，$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BG$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$G$。若$CG=2$，$P$为$AB$上一动点，则$GP$的最小值为（
A.$2$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$1$
D.无法确定
A
）。A.$2$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$1$
D.无法确定
答案
9. A
解析
【分析】
要解决GP最小值的问题，首先根据“垂线段最短”的性质，可知当GP垂直于AB时，GP的长度最小。接下来结合已知条件BG是∠ABC的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，G在角平分线BG上，它到BC边的距离为CG=2，因此G到AB边的距离就等于CG的长度，即可求出GP的最小值。
【解析】
根据垂线段最短可知，当GP⊥AB时，GP的长度最小。
∵ BG平分∠ABC，∠C=90°（即GC⊥BC），GP⊥AB，
∴ 根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得GP=CG。
又
∵ CG=2，
∴ GP的最小值为2。
【答案】
A
【知识点】
垂线段最短、角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础题，将垂线段最短的性质和角平分线的性质结合考查，解题的关键是先确定GP取最小值的位置，再利用角平分线的性质完成线段的等量转化，掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决GP最小值的问题，首先根据“垂线段最短”的性质，可知当GP垂直于AB时，GP的长度最小。接下来结合已知条件BG是∠ABC的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，G在角平分线BG上，它到BC边的距离为CG=2，因此G到AB边的距离就等于CG的长度，即可求出GP的最小值。
【解析】
根据垂线段最短可知，当GP⊥AB时，GP的长度最小。
∵ BG平分∠ABC，∠C=90°（即GC⊥BC），GP⊥AB，
∴ 根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得GP=CG。
又
∵ CG=2，
∴ GP的最小值为2。
【答案】
A
【知识点】
垂线段最短、角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础题，将垂线段最短的性质和角平分线的性质结合考查，解题的关键是先确定GP取最小值的位置，再利用角平分线的性质完成线段的等量转化，掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 如图9，已知在$△ ABC$中，$CD$是$AB$边上的高，$BE$平分$∠ ABC$，交$CD$于点$E$，$BC=10$，$DE=4$，则$△ BCE$的面积等于（
A.16
B.20
C.28
D.40
B
）。A.16
B.20
C.28
D.40
答案
10. B
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：BE是∠ABC的角平分线，点E在BE上，CD是AB边上的高，即DE是点E到AB边的距离。要求△BCE的面积，已知底BC的长度，只需要求出BC边上的高，也就是点E到BC的距离。结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得点E到BC的距离等于DE的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点E作EF⊥BC，垂足为F。
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得：EF = DE = 4。
三角形的面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，在△BCE中，底BC=10，BC边上的高EF=4，
因此$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×BC×EF=\frac{1}{2}×10×4=20$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查对角平分线性质的应用，解题的关键是通过作辅助线得到△BCE中BC边上的高，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.75
解题时先观察已知条件：BE是∠ABC的角平分线，点E在BE上，CD是AB边上的高，即DE是点E到AB边的距离。要求△BCE的面积，已知底BC的长度，只需要求出BC边上的高，也就是点E到BC的距离。结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得点E到BC的距离等于DE的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点E作EF⊥BC，垂足为F。
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得：EF = DE = 4。
三角形的面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，在△BCE中，底BC=10，BC边上的高EF=4，
因此$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×BC×EF=\frac{1}{2}×10×4=20$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查对角平分线性质的应用，解题的关键是通过作辅助线得到△BCE中BC边上的高，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.75
11. 如图10，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙AD=24 cm，CE=12 cm. 木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺，点B在DE上，点A和点C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离DE为
36 cm
.答案
11. 36 cm
解析
【分析】
解题时先提取题目隐含条件：等腰直角三角尺满足AB=BC、∠ABC=90°，两堵木块墙与地面垂直可得∠D=∠E=90°。接下来通过同角的余角相等推导得到一组相等的角，即可利用AAS判定△ABD和△BCE全等，再根据全等三角形对应边相等，将DE拆分为DB与BE的和，对应替换为已知的CE、AD长度即可求解。
【解析】
解：由题意可知：AB=BC，∠ABC=90°，AD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠D=∠E=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=180°-∠ABC=90°，
∴∠DAB=∠CBE。
在△ABD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}∠D=∠E \\∠DAB=∠CBE \\AB=BC\end{array} $
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴AD=BE=24cm，DB=CE=12cm，
∴DE=DB+BE=12+24=36（cm）。
【答案】
36 cm
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题属于全等三角形在实际场景中的应用题型，解题核心是通过角的互余关系推导等角，结合等腰直角三角形的边相等特征证明三角形全等，进而实现线段的等量代换求解长度，是几何基础应用类的常考题。
【难度系数】
0.7
解题时先提取题目隐含条件：等腰直角三角尺满足AB=BC、∠ABC=90°，两堵木块墙与地面垂直可得∠D=∠E=90°。接下来通过同角的余角相等推导得到一组相等的角，即可利用AAS判定△ABD和△BCE全等，再根据全等三角形对应边相等，将DE拆分为DB与BE的和，对应替换为已知的CE、AD长度即可求解。
【解析】
解：由题意可知：AB=BC，∠ABC=90°，AD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠D=∠E=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=180°-∠ABC=90°，
∴∠DAB=∠CBE。
在△ABD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}∠D=∠E \\∠DAB=∠CBE \\AB=BC\end{array} $
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴AD=BE=24cm，DB=CE=12cm，
∴DE=DB+BE=12+24=36（cm）。
【答案】
36 cm
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题属于全等三角形在实际场景中的应用题型，解题核心是通过角的互余关系推导等角，结合等腰直角三角形的边相等特征证明三角形全等，进而实现线段的等量代换求解长度，是几何基础应用类的常考题。
【难度系数】
0.7
12. 如图11，$△ ABC$的三边$AB$，$BC$，$CA$长分别是10，15，20。其三条角平分线交于点$O$，将$△ ABC$分为三个三角形，则$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=$
2:3:4
。答案
12. 2:3:4
解析
【分析】
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。由此可知三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，即三个小△ABO、△BCO、△CAO的高都相等。根据三角形面积公式，当高相等时，三角形的面积比等于对应底边长的比，因此只需计算△ABC三边的长度比再化简，即可得到三个三角形的面积比。
【解析】
过点O分别作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F。
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得：OD=OE=OF，设OD=OE=OF=h。
根据三角形面积公式：
$S_{△ABO}=\frac{1}{2}×AB×h=\frac{1}{2}×10×h$
$S_{△BCO}=\frac{1}{2}×BC×h=\frac{1}{2}×15×h$
$S_{△CAO}=\frac{1}{2}×CA×h=\frac{1}{2}×20×h$
则$S_{△ABO}:S_{△BCO}:S_{△CAO}=(\frac{1}{2}×10h):(\frac{1}{2}×15h):(\frac{1}{2}×20h)=10:15:20=2:3:4$
【答案】
2:3:4
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比例化简
【点评】
本题是几何比例类基础题，核心考查角平分线性质的灵活应用，解题的突破口是意识到三个小三角形的高相等，将面积比转化为对应底边的长度比，简化了计算过程，掌握角平分线的基本性质是解此类题的关键。
【难度系数】
0.8
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。由此可知三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，即三个小△ABO、△BCO、△CAO的高都相等。根据三角形面积公式，当高相等时，三角形的面积比等于对应底边长的比，因此只需计算△ABC三边的长度比再化简，即可得到三个三角形的面积比。
【解析】
过点O分别作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F。
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得：OD=OE=OF，设OD=OE=OF=h。
根据三角形面积公式：
$S_{△ABO}=\frac{1}{2}×AB×h=\frac{1}{2}×10×h$
$S_{△BCO}=\frac{1}{2}×BC×h=\frac{1}{2}×15×h$
$S_{△CAO}=\frac{1}{2}×CA×h=\frac{1}{2}×20×h$
则$S_{△ABO}:S_{△BCO}:S_{△CAO}=(\frac{1}{2}×10h):(\frac{1}{2}×15h):(\frac{1}{2}×20h)=10:15:20=2:3:4$
【答案】
2:3:4
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比例化简
【点评】
本题是几何比例类基础题，核心考查角平分线性质的灵活应用，解题的突破口是意识到三个小三角形的高相等，将面积比转化为对应底边的长度比，简化了计算过程，掌握角平分线的基本性质是解此类题的关键。
【难度系数】
0.8
13. 在$x$轴、$y$轴上分别截取$OA=OB$，再分别以点$A$，$B$为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧，两弧交于点$P$，若点$P$的坐标为$(a,2)$，则$a$的值是
2或−2
.答案
13. 2或−2
解析
【分析】
首先识别题目中的作图属于角平分线的尺规作图，可得到点P在∠AOB的角平分线上；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由于∠AOB的两边是x轴、y轴，可知点P的横、纵坐标的绝对值相等；最后结合点P的纵坐标为2，分情况计算a的值，注意不要漏解。
【解析】
解：由题目给出的作图步骤可知，点P是∠AOB的角平分线上的点。
∵OA在x轴上，OB在y轴上，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点P到x轴的距离等于到y轴的距离，即点P横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值。
已知点P的坐标为$(a,2)$，
∴$|a|=|2|=2$，
解得$a=2$或$a=-2$。
【答案】
2或−2
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题的解题关键是正确识别作图对应的几何性质，结合角平分线的性质推导点横纵坐标的关系，解题时要注意考虑两种角平分线的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先识别题目中的作图属于角平分线的尺规作图，可得到点P在∠AOB的角平分线上；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由于∠AOB的两边是x轴、y轴，可知点P的横、纵坐标的绝对值相等；最后结合点P的纵坐标为2，分情况计算a的值，注意不要漏解。
【解析】
解：由题目给出的作图步骤可知，点P是∠AOB的角平分线上的点。
∵OA在x轴上，OB在y轴上，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点P到x轴的距离等于到y轴的距离，即点P横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值。
已知点P的坐标为$(a,2)$，
∴$|a|=|2|=2$，
解得$a=2$或$a=-2$。
【答案】
2或−2
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题的解题关键是正确识别作图对应的几何性质，结合角平分线的性质推导点横纵坐标的关系，解题时要注意考虑两种角平分线的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
14. 如图12，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=8，DP=3，平移距离为6，则阴影部分的面积为
39
。答案
14. 39
解析
【分析】
解题时先利用平移的性质：平移前后的图形全等，对应边相等、面积相等。观察图形可知，阴影部分是△DEF减去△PEC得到的，而梯形ABEP是△ABC减去△PEC得到的，因为△ABC和△DEF全等，所以阴影部分面积与梯形ABEP的面积相等，将求不规则阴影面积转化为求规则梯形的面积，再代入已知条件计算即可。
【解析】
解：由平移的性质可知，△ABC≌△DEF，平移距离BE=6，DE=AB=8。
∴PE = DE - DP = 8 - 3 = 5
∵S△ABC = S△DEF
∴S△ABC - S△PEC = S△DEF - S△PEC
即$S_{阴影}=S_{梯形ABEP}$
根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，梯形ABEP的上底PE=5，下底AB=8，高BE=6，代入得：
$S_{阴影}=\frac{(5+8)×6}{2}=39$
【答案】
39
【知识点】
平移的性质，全等图形的性质，梯形面积计算
【点评】
本题考查了不规则图形面积的求法，核心是利用转化思想，将不规则的阴影面积转化为易计算的规则梯形面积，是几何面积计算中常用的解题思路，熟练掌握平移的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平移的性质：平移前后的图形全等，对应边相等、面积相等。观察图形可知，阴影部分是△DEF减去△PEC得到的，而梯形ABEP是△ABC减去△PEC得到的，因为△ABC和△DEF全等，所以阴影部分面积与梯形ABEP的面积相等，将求不规则阴影面积转化为求规则梯形的面积，再代入已知条件计算即可。
【解析】
解：由平移的性质可知，△ABC≌△DEF，平移距离BE=6，DE=AB=8。
∴PE = DE - DP = 8 - 3 = 5
∵S△ABC = S△DEF
∴S△ABC - S△PEC = S△DEF - S△PEC
即$S_{阴影}=S_{梯形ABEP}$
根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，梯形ABEP的上底PE=5，下底AB=8，高BE=6，代入得：
$S_{阴影}=\frac{(5+8)×6}{2}=39$
【答案】
39
【知识点】
平移的性质，全等图形的性质，梯形面积计算
【点评】
本题考查了不规则图形面积的求法，核心是利用转化思想，将不规则的阴影面积转化为易计算的规则梯形面积，是几何面积计算中常用的解题思路，熟练掌握平移的性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
