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三、解答题
15. 如图13，在△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，DE分别交BC，AC于点F，G，连接AF.
（1）求证：∠C=∠E.
（2）若∠CAE=24°，求∠AFB的度数.
15. 如图13，在△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，DE分别交BC，AC于点F，G，连接AF.
（1）求证：∠C=∠E.
（2）若∠CAE=24°，求∠AFB的度数.
答案
15. （1）证明：
∵∠BAD = ∠CAE，
∴∠BAD + ∠DAC = ∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE. 在△BAC和△DAE 中，$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAC=∠DAE, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△BAC ≌ △DAE（SAS）.
∴∠C = ∠E
（2）
∵∠C = ∠E，∠CGF = ∠AGE，
∴∠CFG = ∠CAE = 24°，
∴∠BFE=180°−∠CFG=156°. 如答图12，过点A分别作AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N. 在△ACM和△AEN中，$\begin{cases} ∠C=∠E, \\ ∠AMC=∠ANE=90°, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△ACM≌△AEN（AAS）.
∴AM = AN，
∴AF 平分∠BFE，
∴∠AFB = $\frac{1}{2}$∠BFE=78°
解析
【分析】
（1）要证明∠C=∠E，可通过证明两角所在的△BAC和△DAE全等来推导。已知∠BAD=∠CAE，给两个角同时加上公共角∠DAC，即可得到两三角形的夹角∠BAC=∠DAE，再结合题目给出的AB=AD、AC=AE的边相等条件，利用SAS判定定理可证两三角形全等，根据全等三角形对应角相等即可得∠C=∠E。
（2）求∠AFB的度数时，首先利用已证的∠C=∠E，结合对顶角∠CGF=∠AGE，可推出∠CFG=∠CAE=24°，再根据邻补角性质得到∠BFE的度数。接下来过点A分别作BC、DE的垂线，通过AAS证明两个直角三角形全等，得到两条垂线段长度相等，根据角平分线的判定定理可知AF平分∠BFE，因此∠AFB为∠BFE的一半，计算即可得到结果。
【解析】
（1）证明：
∵∠BAD = ∠CAE，
∴∠BAD + ∠DAC = ∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
在△BAC和△DAE 中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAC=∠DAE, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△BAC ≌ △DAE（SAS），
∴∠C = ∠E。
（2）解：
∵∠C = ∠E，∠CGF = ∠AGE（对顶角相等），
∴∠CFG = ∠CAE = 24°，
∴∠BFE=180°−∠CFG=156°。
如答图12，过点A分别作AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N。
在△ACM和△AEN中，
$\begin{cases} ∠C=∠E, \\ ∠AMC=∠ANE=90°, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△ACM≌△AEN（AAS），
∴AM = AN，
∴AF平分∠BFE，
∴∠AFB = $\frac{1}{2}$∠BFE=$\frac{1}{2}×156°=78°$。
【答案】
（1）∠C=∠E得证；
（2）∠AFB的度数为$78°$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的判定
3. 对顶角与邻补角的性质
【点评】
本题考查全等三角形的综合应用，第一问是基础的全等判定题型，第二问需要通过构造垂直辅助线证明角平分线，对知识的灵活运用和辅助线构造能力有一定要求，是全等三角形章节的典型综合题。
【难度系数】
0.6
（1）要证明∠C=∠E，可通过证明两角所在的△BAC和△DAE全等来推导。已知∠BAD=∠CAE，给两个角同时加上公共角∠DAC，即可得到两三角形的夹角∠BAC=∠DAE，再结合题目给出的AB=AD、AC=AE的边相等条件，利用SAS判定定理可证两三角形全等，根据全等三角形对应角相等即可得∠C=∠E。
（2）求∠AFB的度数时，首先利用已证的∠C=∠E，结合对顶角∠CGF=∠AGE，可推出∠CFG=∠CAE=24°，再根据邻补角性质得到∠BFE的度数。接下来过点A分别作BC、DE的垂线，通过AAS证明两个直角三角形全等，得到两条垂线段长度相等，根据角平分线的判定定理可知AF平分∠BFE，因此∠AFB为∠BFE的一半，计算即可得到结果。
【解析】
（1）证明：
∵∠BAD = ∠CAE，
∴∠BAD + ∠DAC = ∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
在△BAC和△DAE 中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAC=∠DAE, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△BAC ≌ △DAE（SAS），
∴∠C = ∠E。
（2）解：
∵∠C = ∠E，∠CGF = ∠AGE（对顶角相等），
∴∠CFG = ∠CAE = 24°，
∴∠BFE=180°−∠CFG=156°。
如答图12，过点A分别作AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N。
在△ACM和△AEN中，
$\begin{cases} ∠C=∠E, \\ ∠AMC=∠ANE=90°, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△ACM≌△AEN（AAS），
∴AM = AN，
∴AF平分∠BFE，
∴∠AFB = $\frac{1}{2}$∠BFE=$\frac{1}{2}×156°=78°$。
【答案】
（1）∠C=∠E得证；
（2）∠AFB的度数为$78°$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的判定
3. 对顶角与邻补角的性质
【点评】
本题考查全等三角形的综合应用，第一问是基础的全等判定题型，第二问需要通过构造垂直辅助线证明角平分线，对知识的灵活运用和辅助线构造能力有一定要求，是全等三角形章节的典型综合题。
【难度系数】
0.6
16. 如图14，在一个支架的横杆点O处用一根绳悬挂一个小球A，小球A可以摆动. 如图15，OA表示小球静止时的位置，当小球从OA摆到OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直，过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=24 cm，OA=30 cm，求AD的长.
答案
∵当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直，
∴∠BOD+∠COE=90°. 又
∵CE⊥OA于点E，BD⊥OA于点D，
∴∠CEO=∠ODB=90°，
∴∠BOD + ∠B = 90°，
∴∠COE = ∠B. 在△COE和△OBD中，$\begin{cases} ∠CEO=∠ODB, \\ ∠COE=∠B, \\ OC=BO, \end{cases}$
∴△COE≌△OBD（AAS）.
∴CE=OD.
∵CE=24 cm，OA=30 cm，
∴OD=24 cm，
∴AD=OA−OD=6（cm），
∴AD 的长为6 cm
解析
【分析】
首先，小球摆动时绳子长度保持不变，可得到隐含条件OA=OB=OC=30cm；其次结合OB⊥OC、CE⊥OA、BD⊥OA的垂直条件，利用“同角的余角相等”可推出∠COE=∠B；此时观察△COE和△OBD，两组角对应相等，加上斜边OC=OB，可通过AAS证明两个三角形全等，得到对应边CE=OD，最后用OA的长度减去OD的长度即可求出AD的长。
【解析】
∵当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直，
∴∠BOD+∠COE=90°.
又
∵CE⊥OA于点E，BD⊥OA于点D，
∴∠CEO=∠ODB=90°，
∴∠BOD + ∠B = 90°，
∴∠COE = ∠B.
在△COE和△OBD中，
$\begin{cases} ∠CEO=∠ODB, \\ ∠COE=∠B, \\ OC=BO, \end{cases}$
∴△COE≌△OBD（AAS）.
∴CE=OD.
∵CE=24 cm，OA=30 cm，
∴OD=24 cm，
∴AD=OA−OD=30-24=6（cm）.
【答案】6 cm
【知识点】全等三角形的判定与性质；余角的性质；垂线的定义
【点评】本题结合生活中小球摆动的场景命题，解题的关键是抓住摆动过程中绳长不变的隐含条件，结合垂直关系推导相等的角，进而通过全等三角形实现未知线段与已知线段的转化，是几何基础知识的典型应用题目。
【难度系数】0.7
首先，小球摆动时绳子长度保持不变，可得到隐含条件OA=OB=OC=30cm；其次结合OB⊥OC、CE⊥OA、BD⊥OA的垂直条件，利用“同角的余角相等”可推出∠COE=∠B；此时观察△COE和△OBD，两组角对应相等，加上斜边OC=OB，可通过AAS证明两个三角形全等，得到对应边CE=OD，最后用OA的长度减去OD的长度即可求出AD的长。
【解析】
∵当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直，
∴∠BOD+∠COE=90°.
又
∵CE⊥OA于点E，BD⊥OA于点D，
∴∠CEO=∠ODB=90°，
∴∠BOD + ∠B = 90°，
∴∠COE = ∠B.
在△COE和△OBD中，
$\begin{cases} ∠CEO=∠ODB, \\ ∠COE=∠B, \\ OC=BO, \end{cases}$
∴△COE≌△OBD（AAS）.
∴CE=OD.
∵CE=24 cm，OA=30 cm，
∴OD=24 cm，
∴AD=OA−OD=30-24=6（cm）.
【答案】6 cm
【知识点】全等三角形的判定与性质；余角的性质；垂线的定义
【点评】本题结合生活中小球摆动的场景命题，解题的关键是抓住摆动过程中绳长不变的隐含条件，结合垂直关系推导相等的角，进而通过全等三角形实现未知线段与已知线段的转化，是几何基础知识的典型应用题目。
【难度系数】0.7
