17. 如图16，某村有一块五边形的田地，$AB=AE=CD=60\ \mathrm{m}$，$∠ ABC=∠ AED=90°$，连接对角线$AC$，$AD$，$∠ BAE=2∠ CAD$。
（1）$∠ BAC$，$∠ DAE$与$∠ CAD$之间的数量关系是。
（2）为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边围上一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长$CB$至点$G$，使$BG=DE$）

17. （1）∠BAC+∠DAE=∠CAD
（2）如答图13，延长CB至点G，使GB=ED，连接AG.
∴BC+DE=BC+BG=GC. 在△AGB 与△ADE 中，$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ABG=∠E, \\ GB=DE, \end{cases}$
∴△AGB ≌ △ADE（SAS）.
∴∠GAB=∠DAE，AG=AD.
∵∠BAC+∠DAE=∠CAD，
∴∠BAC+∠GAB=∠CAD，即∠GAC=∠CAD. 在△AGC与△ADC中，$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠GAC=∠DAC, \\ AG=AD, \end{cases}$
∴△AGC≌△ADC（SAS）.
∴GC=DC，
∴BC+ED=CD=60（m）. 五边形ABCDE的周长=3×60+60=240（m），240×50=12 000（元）

【分析】
（1）根据角的和差关系可知$∠ BAE=∠ BAC+∠ CAD+∠ DAE$，结合已知$∠ BAE=2∠ CAD$，对等式化简即可得到三个角的数量关系。
（2）按照提示作辅助线：延长$CB$至点$G$，使$BG=DE$。首先利用SAS证明$△ AGB≌△ ADE$，得到对应角相等、对应边相等；结合（1）的角的数量关系可推出$∠ GAC=∠ CAD$，再用SAS证明$△ AGC≌△ ADC$，即可将$BC+DE$转化为$CD$的长度，进而求出五边形周长，最后用周长乘每米成本得到总花费。
【解析】
（1）$\because ∠ BAE=∠ BAC+∠ CAD+∠ DAE$，且$∠ BAE=2∠ CAD$
$\therefore ∠ BAC+∠ CAD+∠ DAE=2∠ CAD$
整理得$∠ BAC+∠ DAE=∠ CAD$。
（2）如答图13，延长$CB$至点$G$，使$GB=ED$，连接$AG$，
$\therefore BC+DE=BC+BG=GC$。
在$△ AGB$和$△ ADE$中：
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ ABG=∠ E=90°, \\ GB=DE, \end{cases}$
$\therefore △ AGB≌△ ADE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ GAB=∠ DAE$，$AG=AD$。
由（1）得$∠ BAC+∠ DAE=∠ CAD$，
$\therefore ∠ BAC+∠ GAB=∠ CAD$，即$∠ GAC=∠ CAD$。
在$△ AGC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠ GAC=∠ DAC, \\ AG=AD, \end{cases}$
$\therefore △ AGC≌△ ADC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore GC=DC$，
$\therefore BC+DE=CD=60\ \mathrm{m}$。
五边形$ABCDE$的周长为$AB+AE+CD+BC+DE=60+60+60+60=240\ \mathrm{m}$，
总费用为$240×50=12000$元。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠BAC+∠DAE=∠CAD}$
（2）如答图13，延长CB至点G，使GB=ED，连接AG.
∴BC+DE=BC+BG=GC. 在△AGB 与△ADE 中，$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ABG=∠E, \\ GB=DE, \end{cases}$
∴△AGB ≌ △ADE（SAS）.
∴∠GAB=∠DAE，AG=AD.
∵∠BAC+∠DAE=∠CAD，
∴∠BAC+∠GAB=∠CAD，即∠GAC=∠CAD. 在△AGC与△ADC中，$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠GAC=∠DAC, \\ AG=AD, \end{cases}$
∴△AGC≌△ADC（SAS）.
∴GC=DC，
∴BC+ED=CD=60（m）. 五边形ABCDE的周长=3×60+60=240（m），240×50=12 000（元）
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，角的和差运算
【点评】
本题的核心是通过构造辅助线得到全等三角形，将分散的线段和转化为已知长度的线段，实现边的等量代换，这种构造全等的辅助线方法是解决几何线段和差问题的常用思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6

18.【知识再现】学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法.
【简单应用】（1）如图17，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，点$D$，$E$分别在边$AC$，$AB$上.若$CE=BD$，则线段$AE$和线段$AD$的数量关系是.
【拓展延伸】（2）如图18，在$△ ABC$中，$∠ BAC=α$（$90°＜α＜180°$），$AB=AC=m$，点$D$在边$AC$上.若点$E$在边$AB$上，且$CE=BD$，则线段$AE$与线段$AD$相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由.

18. （1）AE=AD
（2）AE=AD. 证明：如答图14，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于点N.
∵∠M = ∠N = 90°，∠CAM = ∠BAN，AC = AB，
∴△CAM≌△BAN（AAS）.
∴CM=BN，AM=AN.
∵∠M=∠N=90°，CE=BD，CM=BN，
∴Rt△CME ≌ Rt△BND（HL）.
∴EM = DN.
∵AM=AN，
∴AE=AD

【分析】
（1）本小问可直接利用HL定理推导线段关系：已知△ABC中∠BAC=90°，则△ABD和△ACE均为直角三角形，结合已知AB=AC、CE=BD，满足HL全等判定条件，证得两三角形全等后即可得到AE与AD的数量关系。
（2）本小问中∠BAC为钝角，无现成直角三角形可直接用HL定理，因此需要构造直角三角形：分别过B、C作CA、BA延长线的垂线，先利用AAS证明△CAM≌△BAN得到一组直角边相等，再结合已知CE=BD，用HL证明Rt△CME≌Rt△BND，最后通过线段和差推导即可得到AE与AD的关系。
【解析】
（1）
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE=90°，即△ABD和△ACE都是直角三角形，
在Rt△ABD和Rt△ACE中：
$\begin{cases} AB=AC \\ BD=CE \end{cases}$
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），
∴AE=AD。
（2）AE=AD，证明过程如下：
过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于点N，
∵∠M=∠N=90°，∠CAM=∠BAN（对顶角相等），AC=AB，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM=BN，AM=AN，
在Rt△CME和Rt△BND中：
$\begin{cases} CE=BD \\ CM=BN \end{cases}$
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM=DN，
又
∵EM=AM+AE，DN=AN+AD，且AM=AN，
∴AE=AD。
【答案】
（1）$\boldsymbol{AE=AD}$
（2）$\boldsymbol{AE=AD}$，证明：如答图14，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于点N.
∵∠M = ∠N = 90°，∠CAM = ∠BAN，AC = AB，
∴△CAM≌△BAN（AAS）.
∴CM=BN，AM=AN.
∵∠M=∠N=90°，CE=BD，CM=BN，
∴Rt△CME ≌ Rt△BND（HL）.
∴EM = DN.
∵AM=AN，
∴AE=AD
【知识点】
HL定理，全等三角形判定，全等三角形性质
【点评】
本题围绕全等三角形的核心知识设计，从特殊的直角等腰三角形到一般的钝角等腰三角形，既考察了基础定理的直接应用，也要求学生掌握构造辅助线转化几何问题的方法，对知识迁移能力和几何逻辑思维有较好的考察效果。
【难度系数】
0.6