一、“A,8”字形及其变形
1. 如图，在$△ ABC$中，D，E分别在边AB，AC上，$DE// BC$，$DE=3$，$AC=5$，$EC=2$，求BC的长。

1. 解: $\because DE// BC,\therefore △ ADE∽ △ ABC,\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$.
$\because DE=3,AC=5,EC=2$,
$\therefore AE=AC-EC=5-2=3,\therefore \frac{3}{BC}=\frac{3}{5},\therefore BC=5$.

【分析】
解题时先观察已知条件，看到$DE// BC$，可联想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的判定定理，得到$△ ADE∽△ ABC$；再根据相似三角形对应边成比例的性质，得到包含$BC$的比例式；比例式中$AE$未知，可通过$AC-EC$计算出$AE$的长度，最后代入比例式求解即可得到$BC$的长。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$。
$\because DE=3,AC=5,EC=2$，
$\therefore AE=AC-EC=5-2=3$，
将数值代入比例式得$\frac{3}{BC}=\frac{3}{5}$，
解得$BC=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定；2. 相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形“A”型基本模型的基础习题，解题核心是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形对应边成比例列等式求解线段长度，熟练掌握相似的基本判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. (2025 泉州期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=60°$,D是线段BC上一点(不与端点B,C重合),连接AD,以AD为边,在AD的右侧作等边$△ ADE$,线段DE与线段AC交于点F.求证:$△ AEF ∽ △ DCF$.

2. 证明: $\because △ ADE$是等边三角形,$\therefore ∠ E=60°$.
$\because ∠ C=60°,\therefore ∠ E=∠ C$.
又$\because ∠ AFE=∠ DFC,\therefore △ AEF∽ △ DCF$.

【分析】
要证明△AEF∽△DCF，可优先使用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理。首先从已知条件推导相等的角：由等边△ADE的性质可得∠E=60°，结合题干给出的∠C=60°，可得到第一组相等的角∠E=∠C；再观察图形特征，∠AFE和∠DFC是对顶角，二者天然相等，两组对应角相等即可判定两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵△ADE是等边三角形，
∴∠E=60°，
∵∠C=60°，
∴∠E=∠C，
又
∵∠AFE=∠DFC（对顶角相等），
∴△AEF∽△DCF（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明: $\because △ ADE$是等边三角形,$\therefore ∠ E=60°$.
$\because ∠ C=60°,\therefore ∠ E=∠ C$.
又$\because ∠ AFE=∠ DFC,\therefore △ AEF∽ △ DCF$.
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定、对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题关键是结合已知条件和图形隐含的对顶角相等的特征，找到两组对应相等的角，熟练掌握相关性质和定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

二、“手拉手”模型
3. 如图①, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ABC=90°$, $AB=8, BC=6, D$ 是 $AB$ 上一点, 且 $AD=2$, 过点 $D$ 作 $DE // BC$ 交 $AC$ 于点 $E$, 将 $△ ADE$ 绕点 $A$ 顺时针旋转到图②的位置, 则图②中 $\frac{BD}{CE}$ 的值为。

3. $\frac{4}{5}$

【分析】
要求旋转后$\frac{BD}{CE}$的比值，我们可以从相似三角形对应边成比例的思路入手：首先先在原$Rt△ ABC$中用勾股定理算出斜边$AC$的长度；再根据原图形中$DE// BC$得到$△ ADE∽△ ABC$，得到对应边的比例关系和角相等的关系；结合旋转的性质可知旋转前后对应角大小不变，通过角的和差推导得到$∠ BAD=∠ CAE$，结合边的比例即可证明$△ ABD$和$△ ACE$相似，最后根据相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{BD}{CE}$的值。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
$\because DE// BC$，$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，且$∠ DAE=∠ BAC$。
将$△ ADE$绕点$A$顺时针旋转后，$∠ DAE$大小不变，仍等于$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
由$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$变形可得$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，
$\therefore △ ABD ∽ △ ACE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质
【点评】
本题是相似三角形手拉手模型的典型应用，解题关键是利用旋转的不变性，结合原有平行线得到的相似关系推导新的相似三角形，熟练掌握基础模型即可快速求解。
【难度系数】
0.7

4. 如图，点 P 在△ABC 的外部，连接 AP，BP，在△ABC 的外部分别作∠1 = ∠BAC，∠2 = ∠ABP，连接 PQ.
(1)求证：AC·AP = AB·AQ；
(2)判断∠PQA 与∠ACB 的数量关系，并说明理由.

4. (1)证明: $\because ∠ 1=∠ BAC$,
$\therefore ∠ 1+∠ PAC=∠ BAC+∠ PAC,\therefore ∠ CAQ=∠ BAP$.
$\because ∠ 2=∠ ABP,\therefore △ CAQ∽ △ BAP$,
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AQ}{AP},\therefore AC· AP=AB· AQ$.
(2)解: $∠ PQA=∠ ACB$. 理由如下:
$\because AC· AP=AB· AQ,\therefore \frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$.
$\because ∠ 1=∠ BAC,\therefore △ APQ∽ △ ABC,\therefore ∠ PQA=∠ ACB$.

【分析】
(1) 要证明等积式$AC·AP = AB·AQ$，需先将其转化为比例式$\frac{AC}{AB}=\frac{AQ}{AP}$，只需证明包含这四条线段的两个三角形相似即可。已知$∠1=∠BAC$，两个角同时加$∠PAC$可得$∠CAQ=∠BAP$，结合已知$∠2=∠ABP$，可证$△CAQ∽△BAP$，利用相似三角形对应边成比例即可推出结论。
(2) 判断两角的数量关系，可考虑证明两角所在的三角形相似。由(1)得到的等积式转化为新的比例式$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，结合已知$∠1=∠BAC$，满足两边对应成比例且夹角相等，可证$△APQ∽△ABC$，根据相似三角形对应角相等即可得到两角关系。
【解析】
(1) 证明: $\because ∠1=∠BAC$,
$\therefore ∠1+∠PAC=∠BAC+∠PAC$，即$∠CAQ=∠BAP$.
$\because ∠2=∠ABP$,
$\therefore △CAQ∽△BAP$,
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AQ}{AP}$,
$\therefore AC·AP=AB·AQ$.
(2) 解: $∠PQA=∠ACB$. 理由如下:
由(1)得$AC·AP=AB·AQ$，变形可得$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$,
$\because ∠1=∠BAC$,
$\therefore △APQ∽△ABC$,
$\therefore ∠PQA=∠ACB$.
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{∠PQA=∠ACB}$，理由见解析。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题关键是掌握等积式与比例式的互相转化方法，能结合已知角的关系快速找到证明相似的条件，解题时注意梳理边和角的对应关系。
【难度系数】
0.6