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4. 已知$△ ABC$的三边长分别为$3,\sqrt{3},\sqrt{15}$，$△ A_1B_1C_1$的两边长分别为$1$和$\sqrt{5}$. 当$△ A_1B_1C_1$的第三边长为________时，$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$相似.
答案
4. √3
解析
【分析】
要判定两个三角形相似，可依据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。首先将△ABC的三边长按从小到大排序，算出三边的最简比，再结合△A₁B₁C₁已知的两边长度，遵循“短边对应短边、长边对应长边”的原则确定对应边的比例关系，即可求出第三边的长度，避免对应关系匹配错误。
【解析】
1. 先将△ABC的三边长从小到大排序，得$\sqrt{3}$，$3$，$\sqrt{15}$。
2. 计算△ABC三边的最简比值：各项同除以$\sqrt{3}$，可得$\sqrt{3}:3:\sqrt{15}=1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$。
3. 设△A₁B₁C₁的第三边长为$x$，已知△A₁B₁C₁的两边为1和$\sqrt{5}$，刚好对应上述最简比的第一项和第三项，因此第三边对应最简比的第二项，即$x=\sqrt{3}$。
验证：此时△A₁B₁C₁三边为$1,\sqrt{3},\sqrt{5}$，与△ABC三边的比值均为$\frac{1}{\sqrt{3}}$，满足三边对应成比例，两三角形相似。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；比例的计算
【点评】
本题核心考查三边成比例的相似三角形判定定理，解题的关键是先对边长排序确定对应关系，再通过比例关系计算未知边长，能有效检验学生对相似三角形判定的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
要判定两个三角形相似，可依据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。首先将△ABC的三边长按从小到大排序，算出三边的最简比，再结合△A₁B₁C₁已知的两边长度，遵循“短边对应短边、长边对应长边”的原则确定对应边的比例关系，即可求出第三边的长度，避免对应关系匹配错误。
【解析】
1. 先将△ABC的三边长从小到大排序，得$\sqrt{3}$，$3$，$\sqrt{15}$。
2. 计算△ABC三边的最简比值：各项同除以$\sqrt{3}$，可得$\sqrt{3}:3:\sqrt{15}=1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$。
3. 设△A₁B₁C₁的第三边长为$x$，已知△A₁B₁C₁的两边为1和$\sqrt{5}$，刚好对应上述最简比的第一项和第三项，因此第三边对应最简比的第二项，即$x=\sqrt{3}$。
验证：此时△A₁B₁C₁三边为$1,\sqrt{3},\sqrt{5}$，与△ABC三边的比值均为$\frac{1}{\sqrt{3}}$，满足三边对应成比例，两三角形相似。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；比例的计算
【点评】
本题核心考查三边成比例的相似三角形判定定理，解题的关键是先对边长排序确定对应关系，再通过比例关系计算未知边长，能有效检验学生对相似三角形判定的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,D为边AC上的一点,有下列条件:①$∠ 2= ∠ A$;② $∠ 1 = ∠ CBA$;③$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{AB}$;④$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}=\frac{DB}{AB}$.添加其中一个条件不能得出$△ ABC$和$△ BCD$相似的是
③
(填序号).答案
5. ③
解析
【分析】
首先观察△ABC与△BCD，两个三角形有公共角∠C，结合相似三角形的三类判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似，逐个验证4个条件是否满足判定要求即可。
【解析】
△ABC和△BCD中，公共角∠C=∠C，逐个分析条件：
1. 条件①：已知∠2=∠A，结合∠C=∠C，满足两角分别相等，可判定△ABC∽△BDC；
2. 条件②：已知∠1=∠CBA，结合∠C=∠C，满足两角分别相等，可判定△ABC∽△BDC；
3. 条件③：给出的比例为$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{AB}$，其中AB是△ABC中∠C的对边，不是夹∠C的边，不满足“两边成比例且夹角相等”的判定中边的对应要求，无法判定两三角形相似；
4. 条件④：给出$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}=\frac{DB}{AB}$，满足三边对应成比例，可判定△ABC∽△BCD。
综上，只有条件③不能得出两三角形相似。
【答案】
③
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 对应边的识别
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题时先找到两个三角形的公共角可简化判断过程，要特别注意使用“两边成比例且夹角相等”判定相似时，必须保证成比例的两条边是对应夹角的两条边，避免因边不对应出错。
【难度系数】
0.7
首先观察△ABC与△BCD，两个三角形有公共角∠C，结合相似三角形的三类判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似，逐个验证4个条件是否满足判定要求即可。
【解析】
△ABC和△BCD中，公共角∠C=∠C，逐个分析条件：
1. 条件①：已知∠2=∠A，结合∠C=∠C，满足两角分别相等，可判定△ABC∽△BDC；
2. 条件②：已知∠1=∠CBA，结合∠C=∠C，满足两角分别相等，可判定△ABC∽△BDC；
3. 条件③：给出的比例为$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{AB}$，其中AB是△ABC中∠C的对边，不是夹∠C的边，不满足“两边成比例且夹角相等”的判定中边的对应要求，无法判定两三角形相似；
4. 条件④：给出$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}=\frac{DB}{AB}$，满足三边对应成比例，可判定△ABC∽△BCD。
综上，只有条件③不能得出两三角形相似。
【答案】
③
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 对应边的识别
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题时先找到两个三角形的公共角可简化判断过程，要特别注意使用“两边成比例且夹角相等”判定相似时，必须保证成比例的两条边是对应夹角的两条边，避免因边不对应出错。
【难度系数】
0.7
6. (2025 吉林期末)如图,在$△ ABC$中,已知$AB=45,AC=54,BC=15$.在$△ DEF$中,已知$DE=30,EF=10,DF=36$,求证:$△ ABC ∽ △ DEF$.
答案
6. 证明:
∵AB=45,AC=54,BC=15,DE=30,EF=10,DF=36,
则AB/DE=45/30=3/2,AC/DF=54/36=3/2,BC/EF=15/10=3/2,
∴AB/DE=AC/DF=BC/EF=3/2,
∴△ABC∽△DEF.
∵AB=45,AC=54,BC=15,DE=30,EF=10,DF=36,
则AB/DE=45/30=3/2,AC/DF=54/36=3/2,BC/EF=15/10=3/2,
∴AB/DE=AC/DF=BC/EF=3/2,
∴△ABC∽△DEF.
解析
【分析】
要证明两个三角形相似，已知两个三角形的全部边长，可选用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。首先将两个三角形的边按长度排序，对应匹配短边与短边、长边与长边，再分别计算三组对应边的比值，若三组比值相等，即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵AB=45，AC=54，BC=15，DE=30，EF=10，DF=36，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{45}{30}=\frac{3}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{54}{36}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{3}{2}$，
∴△ABC∽△DEF。
【答案】
证明:
∵AB=45,AC=54,BC=15,DE=30,EF=10,DF=36,
则$\frac{AB}{DE}=\frac{45}{30}=\frac{3}{2}$,$\frac{AC}{DF}=\frac{54}{36}=\frac{3}{2}$,$\frac{BC}{EF}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$,
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{3}{2}$,
∴△ABC∽△DEF.
【知识点】
相似三角形的判定（SSS），比例计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，主要考查三边对应成比例判定三角形相似定理的应用，解题关键是正确匹配对应边，计算对应边的比值验证是否相等，属于基础定理应用的常规考查。
【难度系数】
0.8
要证明两个三角形相似，已知两个三角形的全部边长，可选用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。首先将两个三角形的边按长度排序，对应匹配短边与短边、长边与长边，再分别计算三组对应边的比值，若三组比值相等，即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵AB=45，AC=54，BC=15，DE=30，EF=10，DF=36，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{45}{30}=\frac{3}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{54}{36}=\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{3}{2}$，
∴△ABC∽△DEF。
【答案】
证明:
∵AB=45,AC=54,BC=15,DE=30,EF=10,DF=36,
则$\frac{AB}{DE}=\frac{45}{30}=\frac{3}{2}$,$\frac{AC}{DF}=\frac{54}{36}=\frac{3}{2}$,$\frac{BC}{EF}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$,
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{3}{2}$,
∴△ABC∽△DEF.
【知识点】
相似三角形的判定（SSS），比例计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，主要考查三边对应成比例判定三角形相似定理的应用，解题关键是正确匹配对应边，计算对应边的比值验证是否相等，属于基础定理应用的常规考查。
【难度系数】
0.8
7.(2025辽宁月考)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在格点上(小正方形的顶点).P₁,P₂,P₃,P₄,P₅是△DEF边上的5个格点,请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点,使它和点D构成的三角形与△ABC相似,所有符合条件的三角形的个数为 (
A.4
B.2
C.1
D.3
D
)A.4
B.2
C.1
D.3
答案
7. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确格点三角形相似的判定思路：先通过勾股定理计算△ABC的三边长，得到其三边的比例关系；再依次计算点D与任意两个P点构成的三角形的三边长，验证其三边是否与△ABC的三边对应成比例，若成比例则两三角形相似，最后统计符合条件的三角形个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先利用勾股定理计算△ABC的三边长：
$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
因此△ABC的三边之比为$\sqrt{5}:2\sqrt{5}:5=1:2:\sqrt{5}$，为直角三角形。
接下来有序枚举所有两个P点的组合，分别计算各组合与点D构成的三角形的三边长，验证三边比例：
经逐一排查，共有3个三角形的三边比与△ABC的1:2:√5一致，满足相似判定条件。
因此符合条件的三角形个数为3。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，格点三角形计算
【点评】
本题属于格点几何的常规题型，核心是利用勾股定理计算三角形边长，通过三边成比例判定相似，解题时要注意有序枚举所有两点组合，避免漏算或错算。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需明确格点三角形相似的判定思路：先通过勾股定理计算△ABC的三边长，得到其三边的比例关系；再依次计算点D与任意两个P点构成的三角形的三边长，验证其三边是否与△ABC的三边对应成比例，若成比例则两三角形相似，最后统计符合条件的三角形个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先利用勾股定理计算△ABC的三边长：
$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
因此△ABC的三边之比为$\sqrt{5}:2\sqrt{5}:5=1:2:\sqrt{5}$，为直角三角形。
接下来有序枚举所有两个P点的组合，分别计算各组合与点D构成的三角形的三边长，验证三边比例：
经逐一排查，共有3个三角形的三边比与△ABC的1:2:√5一致，满足相似判定条件。
因此符合条件的三角形个数为3。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，格点三角形计算
【点评】
本题属于格点几何的常规题型，核心是利用勾股定理计算三角形边长，通过三边成比例判定相似，解题时要注意有序枚举所有两点组合，避免漏算或错算。
【难度系数】
0.6
8.如图,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,点$B,D,E$在一条直线上.求证:$△ ABD∽△ ACE$.
答案
8. 证明:
∵在△ABC和△ADE中,AB/AD=BC/DE=AC/AE,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE.
又
∵AB/AD=AC/AE,
∴AB/AC=AD/AE,
∴△ABD∽△ACE.
∵在△ABC和△ADE中,AB/AD=BC/DE=AC/AE,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE.
又
∵AB/AD=AC/AE,
∴AB/AC=AD/AE,
∴△ABD∽△ACE.
解析
【分析】
要证明△ABD∽△ACE，可尝试通过“两边对应成比例且夹角相等”的判定定理推导。首先观察已知条件，给出了△ABC和△ADE三组对应边成比例，可先利用三边成比例判定△ABC∽△ADE，再由相似三角形对应角相等，通过角的和差推导得到∠BAD=∠CAE，即待证两个三角形的一组对应夹角相等；随后对已知的边的比例式变形，得到△ABD和△ACE的两组对应边成比例，即可结合夹角相等完成证明。
【解析】
证明：
∵在△ABC和△ADE中，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，
∴△ABC∽△ADE（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴∠BAC=∠DAE（相似三角形对应角相等），
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
又
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，根据比例的基本性质可得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
∴△ABD∽△ACE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明:
∵在△ABC和△ADE中,$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE.
又
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,
∴△ABD∽△ACE.
【知识点】
相似三角形判定（SSS）、相似三角形的性质、相似三角形判定（SAS）
【点评】
本题是相似三角形章节的典型基础题型，解题的核心是先利用已知的三边比例关系推导第一组三角形相似，为目标三角形的证明准备等角和边的比例条件，逻辑链条清晰，需要注意比例式变形和角的和差推导的准确性。
【难度系数】
0.8
要证明△ABD∽△ACE，可尝试通过“两边对应成比例且夹角相等”的判定定理推导。首先观察已知条件，给出了△ABC和△ADE三组对应边成比例，可先利用三边成比例判定△ABC∽△ADE，再由相似三角形对应角相等，通过角的和差推导得到∠BAD=∠CAE，即待证两个三角形的一组对应夹角相等；随后对已知的边的比例式变形，得到△ABD和△ACE的两组对应边成比例，即可结合夹角相等完成证明。
【解析】
证明：
∵在△ABC和△ADE中，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，
∴△ABC∽△ADE（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴∠BAC=∠DAE（相似三角形对应角相等），
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
又
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，根据比例的基本性质可得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
∴△ABD∽△ACE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明:
∵在△ABC和△ADE中,$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE.
又
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,
∴△ABD∽△ACE.
【知识点】
相似三角形判定（SSS）、相似三角形的性质、相似三角形判定（SAS）
【点评】
本题是相似三角形章节的典型基础题型，解题的核心是先利用已知的三边比例关系推导第一组三角形相似，为目标三角形的证明准备等角和边的比例条件，逻辑链条清晰，需要注意比例式变形和角的和差推导的准确性。
【难度系数】
0.8
9.如图，矩形ABEF由三个边长一样的正方形拼成.
(1)求证:$△ ACE ∽ △ DCA$；
(2)求$∠ ADC+∠ AEC$的大小.
(1)求证:$△ ACE ∽ △ DCA$；
(2)求$∠ ADC+∠ AEC$的大小.
答案
9.(1) 证明:设正方形的边长为1,
由勾股定理,得AC=√2,AD=√5,AE=√10,
∴AC/DC=√2/1=√2,EC/AC=2/√2=√2,AE/DA=√10/√5=√2,
∴AC/DC=EC/AC=AE/DA,
∴△ACE∽△DCA.
(2) 解:由(1)可得△ACE∽△DCA,
∴∠AEC=∠DAC.
而∠ADC+∠DAC=∠ACB=45°,
∴∠ADC+∠AEC=45°.
由勾股定理,得AC=√2,AD=√5,AE=√10,
∴AC/DC=√2/1=√2,EC/AC=2/√2=√2,AE/DA=√10/√5=√2,
∴AC/DC=EC/AC=AE/DA,
∴△ACE∽△DCA.
(2) 解:由(1)可得△ACE∽△DCA,
∴∠AEC=∠DAC.
而∠ADC+∠DAC=∠ACB=45°,
∴∠ADC+∠AEC=45°.
解析
【分析】
(1)要证明△ACE∽△DCA，可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理：先设正方形边长为单位1，通过勾股定理分别计算两个三角形各边的长度，再验证三组对应边的比值是否相等即可完成证明。
(2)求∠ADC+∠AEC的度数，可借助第一问的相似结论，得到对应角相等，将∠AEC转化为与∠ADC相关的角，再结合三角形外角性质和正方形对角线的角度特征求解。
【解析】
(1)证明：设每个正方形的边长为1，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
又$DC=1$，$EC=2$，
计算对应边比值：
$\frac{AC}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，$\frac{EC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{AE}{DA}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{AC}{DC}=\frac{EC}{AC}=\frac{AE}{DA}$，
∴△ACE∽△DCA。
(2)解：由(1)得△ACE∽△DCA，
∴∠AEC=∠DAC，
∵∠ACB是△ADC的外角，根据三角形外角性质可得$∠ ADC+∠ DAC=∠ ACB$，
又AC为正方形对角线，$∠ ACB=45°$，
∴$∠ ADC+∠ AEC=∠ ADC+∠ DAC=45°$。
【答案】
(1) 已证△ACE∽△DCA；
(2) $\boxed{45°}$
【知识点】
勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形外角性质
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题目，通过设单位长度计算边长比例证明相似是解题的核心技巧，第二问利用相似性质转化角，结合外角性质快速求解，方法具有普遍性，熟练掌握后可快速解决同类型角度求和问题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ACE∽△DCA，可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理：先设正方形边长为单位1，通过勾股定理分别计算两个三角形各边的长度，再验证三组对应边的比值是否相等即可完成证明。
(2)求∠ADC+∠AEC的度数，可借助第一问的相似结论，得到对应角相等，将∠AEC转化为与∠ADC相关的角，再结合三角形外角性质和正方形对角线的角度特征求解。
【解析】
(1)证明：设每个正方形的边长为1，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
又$DC=1$，$EC=2$，
计算对应边比值：
$\frac{AC}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，$\frac{EC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{AE}{DA}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{AC}{DC}=\frac{EC}{AC}=\frac{AE}{DA}$，
∴△ACE∽△DCA。
(2)解：由(1)得△ACE∽△DCA，
∴∠AEC=∠DAC，
∵∠ACB是△ADC的外角，根据三角形外角性质可得$∠ ADC+∠ DAC=∠ ACB$，
又AC为正方形对角线，$∠ ACB=45°$，
∴$∠ ADC+∠ AEC=∠ ADC+∠ DAC=45°$。
【答案】
(1) 已证△ACE∽△DCA；
(2) $\boxed{45°}$
【知识点】
勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形外角性质
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题目，通过设单位长度计算边长比例证明相似是解题的核心技巧，第二问利用相似性质转化角，结合外角性质快速求解，方法具有普遍性，熟练掌握后可快速解决同类型角度求和问题。
【难度系数】
0.7
