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【例】试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.
答案
相似.理由如下：
在Rt△ABC中,BC=√(AB²−AC²)=√(3²−2.4²)=1.8.
在Rt△DEF中,DF=√(DE²−EF²)=√(6²−3.6²)=4.8.
∴AB/DE=BC/EF=AC/DF=1/2,
∴△ABC∽△DEF.
在Rt△ABC中,BC=√(AB²−AC²)=√(3²−2.4²)=1.8.
在Rt△DEF中,DF=√(DE²−EF²)=√(6²−3.6²)=4.8.
∴AB/DE=BC/EF=AC/DF=1/2,
∴△ABC∽△DEF.
解析
【分析】
要判断两个直角三角形是否相似，可通过验证三组对应边是否成比例的方法判定。首先两个三角形均为直角三角形，已知部分边长，第一步先用勾股定理分别计算出两个三角形未知的直角边长度；第二步计算三组对应边的比值，若三组比值相等，则两个三角形相似，判定依据为三边对应成比例的两个三角形相似。
【解析】
解：两个三角形相似，理由如下：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=\sqrt{9-5.76}=\sqrt{3.24}=1.8$
在$Rt△ DEF$中，$∠ F=90°$，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{DE^2-EF^2}=\sqrt{6^2-3.6^2}=\sqrt{36-12.96}=\sqrt{23.04}=4.8$
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{1.8}{3.6}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{2.4}{4.8}=\frac{1}{2}$
即$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$
$\therefore △ ABC ∽ △ DEF$
【答案】
相似。理由如下：在$Rt△ ABC$中，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=1.8$；在$Rt△ DEF$中，$DF=\sqrt{DE^2-EF^2}=\sqrt{6^2-3.6^2}=4.8$；$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$，$\therefore △ ABC ∽ △ DEF$。
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先利用勾股定理求出两个三角形未知的边长，再准确匹配对应边计算比值，结合相似三角形的判定定理即可得到结论，解题时要注意对应边的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.8
要判断两个直角三角形是否相似，可通过验证三组对应边是否成比例的方法判定。首先两个三角形均为直角三角形，已知部分边长，第一步先用勾股定理分别计算出两个三角形未知的直角边长度；第二步计算三组对应边的比值，若三组比值相等，则两个三角形相似，判定依据为三边对应成比例的两个三角形相似。
【解析】
解：两个三角形相似，理由如下：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=\sqrt{9-5.76}=\sqrt{3.24}=1.8$
在$Rt△ DEF$中，$∠ F=90°$，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{DE^2-EF^2}=\sqrt{6^2-3.6^2}=\sqrt{36-12.96}=\sqrt{23.04}=4.8$
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{1.8}{3.6}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{2.4}{4.8}=\frac{1}{2}$
即$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$
$\therefore △ ABC ∽ △ DEF$
【答案】
相似。理由如下：在$Rt△ ABC$中，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=1.8$；在$Rt△ DEF$中，$DF=\sqrt{DE^2-EF^2}=\sqrt{6^2-3.6^2}=4.8$；$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$，$\therefore △ ABC ∽ △ DEF$。
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先利用勾股定理求出两个三角形未知的边长，再准确匹配对应边计算比值，结合相似三角形的判定定理即可得到结论，解题时要注意对应边的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.8
【变式1】(2025廊坊月考)图中三角形相似的是（
A.①和②
B.①和③
C.②和③
D.③和④
A
）A.①和②
B.①和③
C.②和③
D.③和④
答案
变式1 A
解析
【分析】
要判定两个三角形是否相似，可运用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理。解题步骤为：首先将每个三角形的三边按从小到大的顺序排列，再分别计算每组选项中两个三角形对应边的比值，若三组对应边的比值均相等，则两个三角形相似。
【解析】
先将四个三角形的三边长从小到大整理：
①：15，20，25
②：27，36，45
③：15，15，20
④：30，30，42
分别计算各组对应边的比值：
A选项（①和②）：$\frac{15}{27}=\frac{5}{9}$，$\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$，$\frac{25}{45}=\frac{5}{9}$，三组对应边比值均相等，故①和②相似。
B选项（①和③）：$\frac{15}{15}=1$，$\frac{20}{15}=\frac{4}{3}$，比值不相等，不相似。
C选项（②和③）：②三边均不相等，③是等腰三角形，对应边比值不相等，不相似。
D选项（③和④）：$\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$，$\frac{20}{42}=\frac{10}{21}≠\frac{1}{2}$，比值不相等，不相似。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题关键是先将各三角形边长排序，再准确计算对应边的比值，验证是否全部相等即可。
【难度系数】
0.75
要判定两个三角形是否相似，可运用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理。解题步骤为：首先将每个三角形的三边按从小到大的顺序排列，再分别计算每组选项中两个三角形对应边的比值，若三组对应边的比值均相等，则两个三角形相似。
【解析】
先将四个三角形的三边长从小到大整理：
①：15，20，25
②：27，36，45
③：15，15，20
④：30，30，42
分别计算各组对应边的比值：
A选项（①和②）：$\frac{15}{27}=\frac{5}{9}$，$\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$，$\frac{25}{45}=\frac{5}{9}$，三组对应边比值均相等，故①和②相似。
B选项（①和③）：$\frac{15}{15}=1$，$\frac{20}{15}=\frac{4}{3}$，比值不相等，不相似。
C选项（②和③）：②三边均不相等，③是等腰三角形，对应边比值不相等，不相似。
D选项（③和④）：$\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$，$\frac{20}{42}=\frac{10}{21}≠\frac{1}{2}$，比值不相等，不相似。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题关键是先将各三角形边长排序，再准确计算对应边的比值，验证是否全部相等即可。
【难度系数】
0.75
【变式2】如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上.求证:△ABC∽△DEF. 
答案
证明:由图可知,AB=EF=√(1²+1²)=√2,AC=√(1²+2²)=√5,DF=√(1²+3²)=√10,
∴BC/EF=AB/DE=AC/DF=√2/2,
∴△ABC∽△DEF.
∴BC/EF=AB/DE=AC/DF=√2/2,
∴△ABC∽△DEF.
解析
【分析】
要证明△ABC∽△DEF，本题给出的是格点三角形，没有直接的角度相等条件，因此选择“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。解题思路为：首先利用勾股定理分别计算出△ABC和△DEF的所有边长；其次找到两个三角形的对应边，分别计算三组对应边的比值；最后验证三组比值是否相等，若相等即可判定两个三角形相似。
【解析】
证明：根据勾股定理分别计算两个三角形的各边长度：
在△ABC中，$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=1$，$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
在△DEF中，$EF=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$DE=2$，$DF=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
计算三组对应边的比值：
$\frac{BC}{EF}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得$\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，故△ABC∽△DEF。
【答案】
证明:由图可知,AB=EF=√(1²+1²)=√2,AC=√(1²+2²)=√5,DF=√(1²+3²)=√10,
∴BC/EF=AB/DE=AC/DF=√2/2,
∴△ABC∽△DEF.
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是格点类几何证明的基础常考题，解题关键是利用勾股定理准确求出各边长度，再验证对应边比值相等，解题过程中要注意对应边的匹配，避免比值计算出错。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC∽△DEF，本题给出的是格点三角形，没有直接的角度相等条件，因此选择“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。解题思路为：首先利用勾股定理分别计算出△ABC和△DEF的所有边长；其次找到两个三角形的对应边，分别计算三组对应边的比值；最后验证三组比值是否相等，若相等即可判定两个三角形相似。
【解析】
证明：根据勾股定理分别计算两个三角形的各边长度：
在△ABC中，$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=1$，$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
在△DEF中，$EF=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$DE=2$，$DF=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
计算三组对应边的比值：
$\frac{BC}{EF}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得$\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，故△ABC∽△DEF。
【答案】
证明:由图可知,AB=EF=√(1²+1²)=√2,AC=√(1²+2²)=√5,DF=√(1²+3²)=√10,
∴BC/EF=AB/DE=AC/DF=√2/2,
∴△ABC∽△DEF.
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是格点类几何证明的基础常考题，解题关键是利用勾股定理准确求出各边长度，再验证对应边比值相等，解题过程中要注意对应边的匹配，避免比值计算出错。
【难度系数】
0.8
1.若$△ ABC$的三边长分别是3,5,6,则与$△ ABC$相似的$△ DEF$的边可能是(
A.$DE=6,DF=8,EF=10$
B.$DE=9,EF=18,DF=25$
C.$DE=1,EF=2,DF=2.5$
D.$DE=6,DF=10,EF=12$
D
)A.$DE=6,DF=8,EF=10$
B.$DE=9,EF=18,DF=25$
C.$DE=1,EF=2,DF=2.5$
D.$DE=6,DF=10,EF=12$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个三角形与△ABC相似，需用到相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似。解题时首先将△ABC的三边按从小到大排序，得到其三边的比值，再依次把每个选项中三角形的三边按从小到大排序，化简比值后和原三角形的比值对比，比值一致的选项就是正确答案。
【解析】
已知△ABC的三边长为3、5、6，按从小到大排序后，三边之比为3:5:6。根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐一分析选项：
A选项：△DEF三边长为6、8、10，从小到大排序后比值为6:8:10=3:4:5，和3:5:6不相等，排除；
B选项：△DEF三边长为9、18、25，从小到大排序后比值为9:18:25，和3:5:6不相等，排除；
C选项：△DEF三边长为1、2、2.5，从小到大排序后比值为1:2:2.5=2:4:5，和3:5:6不相等，排除；
D选项：△DEF三边长为6、10、12，从小到大排序后比值为6:10:12=3:5:6，与△ABC三边比相等，两三角形相似，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比的化简
【点评】
本题是基础的相似三角形判定题，解题时先将三角形的边按大小排序再计算比值，能避免对应边混淆出错，核心是掌握相似三角形的三边判定规则。
【难度系数】
0.8
要判断哪个三角形与△ABC相似，需用到相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似。解题时首先将△ABC的三边按从小到大排序，得到其三边的比值，再依次把每个选项中三角形的三边按从小到大排序，化简比值后和原三角形的比值对比，比值一致的选项就是正确答案。
【解析】
已知△ABC的三边长为3、5、6，按从小到大排序后，三边之比为3:5:6。根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐一分析选项：
A选项：△DEF三边长为6、8、10，从小到大排序后比值为6:8:10=3:4:5，和3:5:6不相等，排除；
B选项：△DEF三边长为9、18、25，从小到大排序后比值为9:18:25，和3:5:6不相等，排除；
C选项：△DEF三边长为1、2、2.5，从小到大排序后比值为1:2:2.5=2:4:5，和3:5:6不相等，排除；
D选项：△DEF三边长为6、10、12，从小到大排序后比值为6:10:12=3:5:6，与△ABC三边比相等，两三角形相似，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比的化简
【点评】
本题是基础的相似三角形判定题，解题时先将三角形的边按大小排序再计算比值，能避免对应边混淆出错，核心是掌握相似三角形的三边判定规则。
【难度系数】
0.8
2. 在$△ ABC$和$△ DEF$中，$AB=2$，$BC=3$，$AC=DF=4$，$DE=6$，$EF=8$，那么一定与$∠ A$相等的角是（
A.$∠ C$
B.$∠ D$
C.$∠ E$
D.$∠ F$
D
）A.$∠ C$
B.$∠ D$
C.$∠ E$
D.$∠ F$
答案
2. D
解析
【分析】
要找到与∠A相等的角，核心是利用相似三角形对应角相等的性质求解。首先将两个三角形的三边长分别按从小到大的顺序排列，计算对应边的比值，验证是否满足三边对应成比例，判定两个三角形相似后，再通过“边对应其所对的角”的关系找到∠A的对应角即可。
【解析】
1. 首先列出两个三角形的三边长度：
△ABC三边长：$AB=2$，$BC=3$，$AC=4$，从小到大排序为$2、3、4$；
△DEF三边长：$DF=4$，$DE=6$，$EF=8$，从小到大排序为$4、6、8$。
2. 计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DF}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{EF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{AB}{DF}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{EF}$。
3. 根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可得$△ ABC ∽ △ FDE$。
4. 找对应角：∠A是△ABC中边BC所对的角，相似三角形中BC的对应边是DE，DE在△FDE中所对的角为∠F，因此∠A=∠F。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定（SSS）；相似三角形的性质
【点评】
本题解题的关键是准确匹配两个三角形的对应边，避免对应关系混淆，只要能正确利用三边成比例判定相似，再对应找到角的关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要找到与∠A相等的角，核心是利用相似三角形对应角相等的性质求解。首先将两个三角形的三边长分别按从小到大的顺序排列，计算对应边的比值，验证是否满足三边对应成比例，判定两个三角形相似后，再通过“边对应其所对的角”的关系找到∠A的对应角即可。
【解析】
1. 首先列出两个三角形的三边长度：
△ABC三边长：$AB=2$，$BC=3$，$AC=4$，从小到大排序为$2、3、4$；
△DEF三边长：$DF=4$，$DE=6$，$EF=8$，从小到大排序为$4、6、8$。
2. 计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DF}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{DE}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{EF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{AB}{DF}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{EF}$。
3. 根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可得$△ ABC ∽ △ FDE$。
4. 找对应角：∠A是△ABC中边BC所对的角，相似三角形中BC的对应边是DE，DE在△FDE中所对的角为∠F，因此∠A=∠F。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定（SSS）；相似三角形的性质
【点评】
本题解题的关键是准确匹配两个三角形的对应边，避免对应关系混淆，只要能正确利用三边成比例判定相似，再对应找到角的关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在大小为$4×4$的正方形网格中,是相似三角形的是（
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.②和④
C
）A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.②和④
答案
3. C
解析
【分析】
要判断网格中的相似三角形，我们可以利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理来解题。第一步，设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算四个三角形的三条边长，将每条边的长度从小到大排列；第二步，分别计算每组三角形对应边的比值，判断是否三边对应成比例，比值相等的就是相似三角形。
【解析】
设每个小方格的边长为1，利用勾股定理计算各三角形的三边长：
三角形①的三边长分别为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，从小到大排列为$\sqrt{2},2,\sqrt{10}$，边长比值为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
三角形②的三边长分别为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$3$，从小到大排列为$\sqrt{2},\sqrt{5},3$，边长比值为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$；
三角形③的三边长分别为：$2$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，从小到大排列为$2,2\sqrt{2},2\sqrt{5}$，边长比值为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
三角形④的三边长分别为：$3$，$\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，$\sqrt{3^2+4^2}=5$，从小到大排列为$3,\sqrt{17},5$，边长比值为$3:\sqrt{17}:5$。
对比可知，三角形①和③的三边比值相等，三边对应成比例，故①和③是相似三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题考查网格背景下相似三角形的判断，解题的核心是准确运用勾股定理计算三角形各边长度，再结合相似三角形的判定定理验证边长是否成比例，是几何中比较典型的基础题型。
【难度系数】
0.7
要判断网格中的相似三角形，我们可以利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理来解题。第一步，设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算四个三角形的三条边长，将每条边的长度从小到大排列；第二步，分别计算每组三角形对应边的比值，判断是否三边对应成比例，比值相等的就是相似三角形。
【解析】
设每个小方格的边长为1，利用勾股定理计算各三角形的三边长：
三角形①的三边长分别为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，从小到大排列为$\sqrt{2},2,\sqrt{10}$，边长比值为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
三角形②的三边长分别为：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$3$，从小到大排列为$\sqrt{2},\sqrt{5},3$，边长比值为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$；
三角形③的三边长分别为：$2$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，从小到大排列为$2,2\sqrt{2},2\sqrt{5}$，边长比值为$2:2\sqrt{2}:2\sqrt{5}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$；
三角形④的三边长分别为：$3$，$\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，$\sqrt{3^2+4^2}=5$，从小到大排列为$3,\sqrt{17},5$，边长比值为$3:\sqrt{17}:5$。
对比可知，三角形①和③的三边比值相等，三边对应成比例，故①和③是相似三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题考查网格背景下相似三角形的判断，解题的核心是准确运用勾股定理计算三角形各边长度，再结合相似三角形的判定定理验证边长是否成比例，是几何中比较典型的基础题型。
【难度系数】
0.7
